1625913083-a0ecf492c20bbb43d8038d2ed0c79acf (840065), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Ускорение пропорционально силам, а силы зависят от расположения точек. Это расположение одно и то же для всех системкоординат.x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1при данном tx′2 − x′1 , y2′ − y1′ , z2′ − z1′Уравнения движения одни для всех систем S и S ′ . Формулы (16)и (17) — галилеевы преобразования.С точки зрения классической механики скорость света c (скоростьраспространения электромагнитных волн), относительно системы отсчета, движущейся со скоростью v должна быть c + v, если свет движется навстречу системе и c − v, если он "догоняет"ее.

Но движениесистемы отсчета не нарушает законов электродинамики.46Не только законы механики, но и электродинамики выглядят совершенно одинаково в любой инерциальной системе отсчета; в частности, скорость света (в вакууме) постоянна и равна c в любой инерциальной системе координат. Вместо одной покоящейся системе отсчета возникает класс инерциальных систем, в которых законы физикиформулируются одинаково и которые движутся относительно другдруга равномерно и прямолинейно.Будем рассматривать 4-мерное пространство событий.Событие - элементарное событие, т.е. происходящее в столь маломобъеме пространства и в короткий промежуток времени → заданиеопределенного места (точки) в пространстве и в определенный моментвремени.Новые формулы преобразования:S′x , y ′ , z ′ , t′Sx, y, z, t′1. Эта зависимость будет линейной, т.е. t′ , x′ , y ′ , z ′ → линейнаяфункция от t, x, y, z.

Лишь при линейной зависимости обеспечивается соблюдение законов инерции в любой инерционной системе.2. Скорость света была бы одна и та же и равнялась cf—Событие M — из некоторой точки подается сигнал. Событие Mсигнал принимается в другой момент времени.вSM(t, x, y, z)в S′M(t , x , y ′ , z ′ )′′fM(et, xe, ye, ze)fM′ee(t , x′ , ye′ , ze′ )Сигнал распространяется со скоростью света c относительно Sp(ex − x)2 + (ey − y)2 + (ez − z)2 = c(et − t)−(cet − ct)2 + (ex − x)2 + (ey − y)2 + (ez − z)2 = 0(18)−(cte′ − ct′ )2 + (xe′ − x′ )2 + (ye′ − y ′ )2 + (ze′ − z ′ )2 = 0(19)С точки зрения S′47(18) ⇒ (19) и наоборот.fПотребуем большего.

Для любых M , M− (cet − ct)2 + (ex − x)2 + (ey − y)2 + (ez − z)2≡ −(cte′ − ct′ )2 + (xe′ − x′ )2 + (ye′ − y ′ )2 + (ze′ − z ′ )2(20)потребуем это и тогда, когда правая часть НЕ обращается в нуль.Линейная зависимость t′ , x′ , y ′ , z ′ от t, x, y, z при переходеот одной инерционной системы к другой такова, чтобы длялюбых двух событий было выполнено (20).Связь с геометрией 4-мерного псевдозвклидова пространства.В ортонормированной координатной системе x0 , x1 , x2 , x3x2 = −(x0 )2 + (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2В частности2f = −(eMMx0 − x0 )2 + (ex1 − x1 )2 + (ex2 − x2 )2 + (ex3 − x3 )2Выберем инерциальную систему S, (t, x, y, z) — координаты с точки зрения S.Выберем в псевдоэвклидовом пространстве ортонормированнуюсистему x0 , x1 , x2 , x3x0 = ct,x1 = x,x2 = y,x3 = z.отображениеПространство событий⇐⇒на псевдоэвклидово пространствоПусть есть другая инерционная система S ′ .M −→ (t′ , x′ , y ′ , z ′ )′x0 = ct′ ,′′x1 = x′ ,, x2 = y ′ ,′′x3 = z ′ .xi тоже ортонормированная.′Т.к.

t′ , x′ , y ′ , z ′ линейно зависят от t, x, y, z, то xi — аффинные координаты.48Выполнено (20), поэтому− (ex0 − x0 )2 + (ex1 − x1 )2 + (ex2 − x2 )2 + (ex3 − x3 )2 =′′′′′′′′x3 − x3 )2x2 − x2 )2 + (ex1 − x1 )2 + (e= (ex0 − x0 )2 + (e2f = −(eMMx0 − x0 )2 + (ex1 − x1 )2 + (ex2 − x2 )2 + (ex3 − x3 )2′′′′′′′′′xi — аффинные координаты, в которых скалярный квадрат векто2f выражается через сумму-разность квадратов его координатра M M′′xei − xi . Это может быть только в ортонормированной системе координат.Вывод формул Лоренца.e0 +β e1p,± 1 − β2e2′ = e2 ,β e0 + e1p± 1 − β2e 3′ = e 3e0′ =e1 =Преобразование координат′x0 =x0 − βx1p,± 1 − β2′x1 =−βx0 + x1p,± 1 − β2′x2 = x2 ,′x3 = x3 .В первой формуле оставляем только “+”, т.к.

иначе возрастание t велобы к убыванию t′ . Во второй формуле устранение знака минус не связано с принципиальными соображениями и достигается изменениемположительного направления оси X ′ на обратное, вследствие чего x′меняет знак. Окончательно формулы выглядят следующим образом:t − β x1t′ = p c,1 − β2′−βct + x,x′ = p1 − β2y ′ = y,z ′ = z.Дифференцируя почленно три из четырех уравнений и учитывая,что в нашем случае dx′ = dy ′ = dz ′ , т.к.

мы рассматриваем одну и туже точку в разные моменты времени t′ , получаем:−βcdt + dv0= p,1 − β20 = dy,490 = dz.dx= βcdtОбозначим скорость движения S ′ относительно S через v = βc,−1 < β < 1. Получили преобразование Лоренца.Преобразования Лоренца.Формулы Лоренца:t − v2 xt′ = q c;21 − vc2−vt + xx′ = q21 − vc2y ′ = y;z′ = zОбратные:t′ + v2 x′t= q c,x21 − vc2vt′ + x′=q21 − vc2y = y′z = z′Система S ′ движется относительно S со скоростью v, S движетсяотносительно S ′ со скоростью −v.Анализ преобразований Лоренца.rv2В классической механике 1 − 2 ≈ 1, t′ ≈ t, x′ ≈ x, y ′ ≈ y, z ′ ≈ z.c1.

Сокращение продольных размеров движущихся телПусть в S ′ на оси X ′ покоится стержень длины l. Обозначим абсциссы концов этого стержня через x′1 , x′2 .x′2 − x′1 = lОтносительно S этот стержень движется вместе с системой S ′ соскоростью v в направлении оси X, вдоль которой он расположен, осиX и X ′ все время совпадают. Обозначим координаты концов стержняв системе S через x1 , x2 .−vt + x2x′2 = q21 − vc2−vt + x1,x′1 = q21 − vc2x2 − x1x′2 − x′1 = q21 − vc2с точки зрения S50Через l′ обозначим длину стержня в системе S ′ .rl′v2′l= q, l =l 1− 2.2c1 − vc22. Относительный характер одновременности.Пусть x1 , x2 — различные, t1 = t2 = t.t − v2 x2t′2 = q c21 − vc2t − v2 x1t′1 = q c21 − vc2Это разновременность для событий, происходящих в разных точках пространства.Если два события таковы, что их последовательность относительно разных инерционных систем может быть различной, возмущение,вызванное первым, пришло к месту совершения второго не позже, чемв момент его совершения.3.

Отставание движущихся часов.В системе S ′ неподвижно укреплены часы, отсчитывающие время′t , их координаты x′ , y ′ , z ′ = const.t′2 − cv2 x′t2 = q21 − vc2t′1 − cv2 x′,t1 = q21 − vc2t′ − t′1t2 − t1 = q221 − vc2rv2′′t2 − t1 = 1 − 2 (t2 − t1 )cдвижущиеся часы отстают4. Формула сложения скоростейОтносительно S ′ точка движется.dy ′dz ′dx′= vx′ ,= vy′ ,= vz′ .dtdtdtСистема S ′ движется относительно S со скоростью v в направлении xvdt′ + 2 dx′vdt′ + dx′c,dx = r,dt = rv2v21− 21− 2cc51dy = dy ′ ,dx′v+ ′dxdt ,=v dx′dt1+ 2 ′c dtdz=dtv + vx′vx =vvx ,1+ 2cvy =rdz = dz ′ .dy=dtrrv21− 2cdy ′dt′1+v dx′c2 dt′,′dzv2dt′1− 2′ .c 1 + cv2 dxdt′vy′v21− 2,c 1 + vvxc2vz =r1−vz′v22c 1 + vvxc2Уравнения Максвелла.1 ∂Hc ∂t4π1 ∂E+ρurot H =c ∂tcdiv H = 0,rot E = −div E = 4πρρ — плотность электрического заряда;u — векторная скорости его движения в данной точке и в данныймомент времени.С классической точки зрения уравнения неинвариантны относительно перехода от одной инерциальной системы к другой.С точки зрения 4-мерного пространства-времени уравнения инвариантны.∂Hx∂Hy∂Hz++=0∂x∂y∂z∂Ey1 ∂Hx∂Ez+=−∂y∂zc ∂tВведем тензор 0−Ex−Ex0 Ey −Hz EzHy−EyHz0−Hx−Ez −Hy = kFij k,Hx 0 52i, j = 0, 1, 2, 3.s — 4-мерный вектор плотности токаs0 = ρ,s1 = ρuxcs2 = ρuy,cs3 = ρuz.c∂F20∂F30∂F10++= 4πs012∂x∂x∂x3∂F12∂F13∂F10∂F10∂F12∂F13−=+ 4πs1 =⇒ −+−= 4πs1∂x2∂x3∂x0∂x0∂x2∂x3Пользуясь кососимметричностью Fij = −Fji :F ij = g ip g jq Fpq ,F ji = g jq g iq Fqp ,g00 = −1,gλλ = 1,g 00 = −1,g λλ = 1,F 00 = F00 ,F λµ , = Fλµ ,F 0λ = −F0λ ,∂F31∂F12∂F23++= 0,∂x1∂x2∂x3∂F30∂F20∂F23−=−.23∂x∂x∂x0Первая группа уравнений Максвелла сводится к∂Fjk∂Fki∂Fij++= 0.∂xk∂xi∂xjВ аффинном случае в результате частного дифференцированиятензора получается поле нового тензора с добавочным ковариантныминдексом.∂FijFijk =.∂xkΛijk = Fijk + Fjki + Fkij — тоже тензор.Λijk = 0 т.е.

и в других системах тоже ноль.53∂Ey∂Ez∂Ex++= 4πρ,∂x∂y∂z∂Hz∂Hy1 ∂Ex4π−=+ρux ,∂y∂zc ∂tcИ еще два уравнения, получающиеся из последнего круговой перестановкой x, y, z.∂F 01∂x1∂F 10∂x0∂F 20∂x0∂F 30∂x0∂F 02∂x2∂F 12+∂x2∂F 23+∂x3∂F 31+∂x1+∂F 03∂x3∂F 13+∂x3∂F 21+∂x1∂F 32+∂x2+= 4πs0 ,= 4πs1 ,= 4πs2 ,= 4πs3 .∂F ij= 4πsi ,F ii = 0.∂xjПолучили тензор дважды контравариантный и один раз ковариантный.2.9Полилинейные формыОпределение: Определение:Функция H(x1 , .

. . , xm ) от m векторных аргументов x1 , . . . , xm , меняющихся в линейном пространстве K, называется полилинейной (m— линейной) формой, если она линейна по любому аргументу xj ,где j = 1, m при фиксированном значении остальных аргументовx1 , . . . , xj−1 , xj+1 , . . . , xmПолилинейная форма называется симметричной, если она не изменяется при перемене местами двух своих аргументов.Полилинейная форма называется антисимметричной, если при перемене мест двух аргументов она изменяет значение.Пример: Полилинейная форма — определитель. Это антисимметричная полилинейная форма.x1 = (a11 , . . .

, a1n ). . .. . . . . . . . . . . . . . . . .xn = (an1 , . . . , ann )54 a11aA(x1 ...xn ) = 21. . .an1a12a22....an2............a1n a2n . . . .ann Тензор — полилинейная форма.Преобразование полилинейной формы при замене системы координат.Имеем nk коэффициентов.ei′ = Aii′ ei ,hj1 ,...,jk = H(ej1 , .

Характеристики

Список файлов книги