1625913083-a0ecf492c20bbb43d8038d2ed0c79acf (840065), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Тензор является симметричным,если и только если a P b = b P a для любых векторов a и b.9Доказательство. Обозначим компоненты тензора pij , пусть тензорсимметричный, т.е.pij = pji⇒ai pij bj = bj pji ai , т.к. матрица симметрична⇐пустьai pij bj = bj pij aj = bj pji ai = ai pji bjв силу произвольности ai и bjТеорема.Если тензор симметричный, то все собственные значения вещественные.Пусть λ — какое либо собственное значение, т.е.

корень уравненияP x = λ x. Имеем систему уравнений pij xj = λxi или(p11 − λ)x1 + p12 x2 + p13 x3 = 0,p12 x1 + (p22 − λ)x2 + p23 x3 = 0,p13 x1 + p21 x2 + (p33 − λ)x3 = 0.Умножим эти уравнения на x∗p = x̄p — комплексно-сопряженное к xpx∗i pij xj = λx∗i xi ,где x∗i xi — вещественно и неотрицательно xi x∗i > 0.p11 x1 x∗1 + p12 x∗1 x2 + p13 x∗1 x3 ++p12 x∗2 x1 + p22 x∗2 x2 + p23 x∗2 x3 ++p13 x∗3 x1 + p23 x∗3 x2 + p33 x∗3 x3 == λ(x1 x∗1 + x2 x∗2 + x3 x∗3 ),где (x1 x∗1 +x2 x∗2 +x3 x∗3 ) > 0.

Произведения x∗i xi — вещественные числа.Поэтому те члены суммы, для которых i = j — вещественные числа.Те члены, для которых i 6= j объединим попарно, например, для i = 1,j = 2 и i = 2, j = 1 получим p12 (x∗1 x2 + x∗2 x1 ), выражение в скобках(a1 − b1 i)(a2 + b2 i) + (a2 − b2 i)(a1 + b1 i) — вещественное число.10Таким образом все λ вещественные числаДокажем, что векторы, соответствующие этим собственным числам ортогональны.Пусть λ1 — корень и соответствующее собственное направлениеобозначим e′1 .P e′1 = λ1 e′1(13)Пусть E2 — плоскость, перпендикулярная e′1 . Докажем, что всевекторы этой плоскости переходят в векторы той же плоскости. Пустьx — вектор плоскости E2 , так что x ⊥ e′1e′1 x = 0.Умножая обе части равенства (13) на x получаемx P e′1 = λ1 e′1 x = 0.По критерию симметричностиx P e′1 = 0,(14)т.е.

векторы, перпендикулярные e′1 , переходят в векторы перпендикулярные e′1 .Теперь можно рассматривать тензор P на плоскости E2 , поскольку он переводит векторы плоскости E2 в векторы этой же плоскости. Вводим на плоскости E2 прямоугольные декартовы координатыи ищем собственные направления с упрощением, рассматривая вместо трехмерного пространства двумерное. Матрица координат будетиметь вид ′p11 p′12, p′12 = p′21p′21 p′22. А характеристическое уравнение будет иметь вид ′p11 − λp′12 ′= 0.

p21p′22 − λМы снова обнаружим наличие собственного направления, которое зададим вектором e′2 . Соответствующее собственное значение обозначим λ2 . Так как вектор e′2 принадлежит E2 , то он перпендикуляренe′1 .Наконец, построим единичный вектор e′3 , ортогональный e′2 . Из(14) следует, что P e′3 будет ортогонален e′1 и e′2 .11Т.к. e′1 , e′2 , e′3 взаимно перпендикулярны, то λ1 , λ2 , λ3 дают растяжение или сжатие пространства в отношении λ1 , λ2 , λ3 . Каждой точкес координатами x′1 , x′2 , x′3 соответствует точка y1 = λ1 x′1 y2 = λ2 x′2y3 = λ3 x′3 .Если λ1 = 0, то все пространство переходит в точки плоскости.Если они все различны, то существуют три собственных вектора(направления)Если λ1 = λ2 6= λ3 , то существует плоскость собственных векторов.Если λ1 = λ2 = λ3 , то y1 = λ1 x′1 , y2 = λ2 x′2 , y3 = λ3 x′3 . Любоенаправление является собственным.Кососимметричные тензоры.Двухвалентный кососимметричный тензор aij = −aji называетсябивектором.u1 = −a23 , u2 = −a31 , u3 = −a12 , a11 a12 a130−u3 u2a21 a22 a23  =  u30−u1 a31 a32 a33−u2 u10Ax = u×x.В левой координатной системе u1 = a23 , u2 = a31 , u3 = a12 .Трехвалентный кососимметрический тензор — тривектор.Рассмотрим трехвалентный кососимметрический тензор с элементами cijk .Для любых индексов имеет место соотношениеcijk = −cikj .Если среди индексов есть одинаковые, то cijj = −cijj = 0.Все отличные от нуля — индексы различны — получаем 6 координат.c123 = c231 = c312 = −c213 = −c321 = −c132При четной подстановке индексов координаты тривектора не меняется, при нечетной — меняется.

В результате у тривектора есть единственная существенная координата c123 .Вычислим сверткуI = cijk xi yj zkx, y, z — произвольные векторы.12Формально в этой сумме 27 членов, но большинство из них равнынулю.ПолучимI= c123 (x1 y2 z3 + x2 y3 z1 + x3 y1 z2 −−x2 y1 z3 − x3 y2 z1 − x1 y3 z2 )x1 x2 x3 = c123 y1 y2 y3 z1 z2 z3 c123 (x, y, z) правая система координат=−c123 (x, y, z) левая система координатc123 — относительный инвариантТаким образом получаем1, ijk — четнаяεijk =−1, ijk — нечетнаятензор Ле́ви-Чиви́ты в правом базисе.w = u×vwi = εijk uj vk — правое векторное произведение в правой координатной системе.В левом базисе наоборот.Кососимметрические тензоры большей валентности в трехмерномпространстве равны нулю.Аксиальные и полярные векторы.Пусть система координат изменяется следующим образомx′ = −x,y ′ = y,z′ = zсоставляющие полярного вектора изменяются по формуламax′ = −ax ,ay′ = ay ,az′ = azbx′ = −bx ,by′ = by ,bz′ = bzСоставляющие аксиального вектора меняют знак, например, составляющие векторного произведения изменятся по закону(a × b)x′ = (a × b)x ,(a × b)y′ = −(a × b)y ,13(a × b)z′ = −(a × b)zАльтернированиеЕсли дан aijk , то его можно альтернировать.cijk =1(aijk + ajki + akij − aikj − akji − ajik )3!Похоже на определитель.

Если в качестве aijk взять произведениетрех векторов x, y, z, то выражение в скобках — относительныйинвариант.Можно получить абсолютный инвариант. 6-тивалентный тензорci1 i2 i3 j1 j2 i3 кососимметричный по индексам первой и второй тройкиимеет единственную существенную координату c123123 . При переходеот правой координатной системы к левой она 2 раза умножается на(-1), т.е. не меняет знак, это абсолютный инвариант.Пусть задан произвольный 6-валентный тензор ai1 i2 i3 j1 j2 i3 Проальтернируем по 1 и 2 тройке индексовci1 i2 i3 j1 j2 j3 = a[i1 i2 i3 ][j1 j2 j3 ]Частный случайci1 i2 i3 j1 j2 j3ci1 i2 i3 j1 j2 j3 = ai1 j1 ai2 j2 ai3 j3aai1 j21 i1 j1= ai1 i2 i3 [j1 j2 j3 ] = ai2 j1 ai2 j26ai3 j1 ai3 j2ai1 j3 ai2 j3 ai3 j3 Близкие процессы альтернация и составление определителя.

Полученный тензор кососимметричен и по первой тройке индексов. Можнопросто переставить строки определителя.Этот закон можно пояснить другими словамиa′pq = Api Aqj akjdet |a′pq | = det kApi k det kAqj k det kaij kИнвариант имеет геометрический смысл: так меняется объем телапри преобразовании aij1Симметрирование: bijk = (aijk + ajki + akij + aikj + ajki + akji )3!141.5Теоремы сокращенияТеорема 1Если для любой прямоугольной системы координат Ox1 x2 x3 мыимеем совокупность трех величин b1 , b2 , b3 и если при переходе к любой другой системе координат (прямоугольной) и для любого вектораa выполненоa′1 b′1 + a′2 b′2 + a′3 b′3 = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ,то величины b1 , b2 , b3 определяют вектор bДоказательство:Пусть a′1 = 1, a′2 = 0, a′3 = 0b′1 = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3Система координат преобразуется по законуe′i = Aik ekei = Aki e′kxi = Aki x′kТ.к.

a — вектор, то a1 = A11 , a2 = A12 , a3 = A13 .b′1 = A11 b1 + A12 b2 + A13 b3т.е. преобразуется по закону преобразования векторов. Аналогичнодля b′2 , b′3 .Имеет место аналогичная теорема для тензоров:Теорема 2.Пусть для любой прямоугольной системы координат имеем совокупность девяти величин pkj , k, j = 1, 2, 3 и пусть линейные соотношенияb1b2= p11 a1 + p12 a2 + p13 a3= p21 a1 + p22 a2 + p23 a3b3= p31 a1 + p32 a2 + p33 a3(или bk = pkj aj ) определяют в любой координатной системе совокупность трех величин b1 , b2 , b3 . Если это компоненты вектора всегда,15так только за ai взяты компоненты какого либо вектора, то pij определяют тензор P .Доказательство. Выберем систему координат Ox′1 x′2 x′3Выразим p′kl через prs .

Выберем a так, что a′1 = 1 , a′k = 0, k = 2, 3.b′k = p′k1 , т.к. b и a — векторы.b′k = Akr br , as = A1s a′1 .p′k1 = b′k = Akr br = Akr prj aj = Akr A1j prj , т.е. изменяется по тензорному закону.1.6Тензор моментов инерции.Пусть твердое тело вращается около неподвижной точки 0ω0rMВыразим главный момент количества движения относительно точки 0 через вектор угловой скорости ω.M → r, тогда скорость точки Mv =ω×rЕсли взять малый элемент dm, количество движенияv dm = ω × r dmпо определению моментом количества движения будетr × v dm = r(ω × r)dmСумма всех этих моментов будетZI = r ×(ω × r)dmПользуясь равенством a ×(b × c) = b(a, c) − c(a, b),r ×(ω × r) = ωr2 − r(rω) = ω(x21 + x22 + x23 ) − r(x1 ω1 + x2 ω2 + x3 ω3 ),16получаемl1l2l3ZZZ(x22 + x23 )dm − ω2 x1 x2 dm − ω3 x1 x3 dmZZZ= −ω1 x2 x1 dm + ω2 (x21 + x23 )dm − ω3 x2 x3 dmZZZ= −ω1 x3 x1 dm − ω2 x2 x3 dm + ω3 (x21 + x22 )dm= ω1Формулы могут быть записаны в видеl = Jωилиl1= J11 ω1 + J12 ω2 + J13 ω3l2l3= J21 ω1 + J22 ω2 + J23 ω3= J31 ω1 + J32 ω2 + J33 ω3Тензор моментов инерции, очевидно, симметричен.

При замене координат он преобразуется по тензорному закону.1.7Тензорные поля.Будем говорить, что дано тензорное поле, если в каждой точке Мпространства задан некоторый тензор постоянной валентности, меняющийся от точки к точке.Тензорное поле нулевой валентности — скалярное поле (температура). Одновалентное тензорное поле — векторное поле. Примеры векторных полей: вектор электрического или магнитного поля, векторскорости движения жидкости в среде.Операции для тензорных полей определяются в каждой точке.Дифференцирование по скалярному аргументу — дифференцируется каждая компонента.Градиент вектора по другому вектору∇=i∂∂∂+j+k,∂x∂y∂z((v ·∇) a)1 = vx∂ax∂ax∂ax+ vy+ vz.∂x∂y∂z17Рассмотрим векторное полеa(r) = a(x1 , x2 , x3 )Дадим r бесконечно малое приращение, тогдаda1=da2=da3=∂a1dx1 +∂x1∂a2dx1 +∂x1∂a3dx1 +∂x1∂a1dx2 +∂x2∂a2dx2 +∂x2∂a3dx2 +∂x2∂a1dx3∂x3∂a2dx3∂x3∂a3dx3∂x3На основании теоремы о сокращении можно сделать выводы, чтокоэффициенты образуют тензор.Тензор, производный от вектора a по вектору r∂a1 ∂a1 ∂a1 ∂x1 ∂x2 ∂x3 d a  ∂a2 ∂a2 ∂a2 (15)=d r  ∂x1 ∂x2 ∂x3  ∂a3 ∂a3 ∂a3 ∂x1 ∂x2 ∂x3Формулы можно записать следующим образомda =da· drdrВведем в рассмотрение тензор, сопряженный с (15),∂a1 ∂a2 ∂a3 ∂x1 ∂x1 ∂x1  ∂a∂a2 ∂a3 1∇a =  ∂x2 ∂x2 ∂x2  ∂a1 ∂a2 ∂a3 ∂x3 ∂x3 ∂x3Можно записатьd a = d r ·∇ a18daна симметричную и кососимметричную часть.dr ∂a11 da1da21 da1da3++∂x12 dx2dx32 dx3dx1   1 da11dada∂ada2223=+ 2 dx2 + dx3∂x22 dx3dx2   1 da1da31 da2da3∂a3++2 dx3dx12 dx3dx2∂x31 da=+ ∇a2 drРазложимПусть a — вектор смещения частиц упругого тела.

Характеристики

Список файлов книги