1625913083-a0ecf492c20bbb43d8038d2ed0c79acf (840065), страница 9
Текст из файла (страница 9)
все символы Кристоффеля равны нулю. В любой системекоординат имеем равенствоdiv a = ∇i ai = ∇i ai = g ik ∇k ai = ∇k (g ik ai ).Если воспользоваться формулой для ковариантной производной∇i ak =∂ak+ aλ Γkiλ ,∂xiполагая в этой формуле k = i, суммируя по i и пользуясь формулой√1 ∂ giΓiλ = √,y ∂xλполучим∇i ai =√√∂ai1 λ∂ g1 ∂( gai )+a=√√∂xig ∂xλg ∂xiи, следовательно,√√1 ∂( gg iλ aλ )1 ∂( gai )=.div a = √√g ∂xig∂xiВ ортогональной криволинейной системе координат, пользуясьформулами для физических компонент1√ iλgg aλ = H1 H2 H3 2 ai = H1 H2 H3 axi ,Hiполучаемdiv a =∂(H2 H3 ax1 ) ∂(H3 H1 ax2 ) ∂(H1 H2 ax3 )1++.H1 H2 H3∂x1∂x2∂x3813) Лапласиан.Применим полученную для div a формулу к a = grad fai =∂f,∂xiai = g ik1 ∂∆f = div grad f = √g ∂xi△f =1H1 H2 H3∂∂x1H2 H3 ∂fH1 ∂x1+∂f∂xk√ ik ∂fgg∂xk∂∂x2,H3 H1 ∂f+H2 ∂x2H1 H2 ∂f∂.+ 3∂xH3 ∂x34) Ротор.В декартовой системе координат для составляющих ротора имеемвыражения вида∂ay3∂ay2−(rot a)y1 =∂y3∂y2Однако, если заменим обыкновенные производные на тензорные и составим выражение вида∇i ak − ∇k ai ,то получим ковариантный тензор 2-го ранга∇i ak − ∇k ai =∂ak∂ai∂ai∂ak− aλ Γλik −+ aλ Γλik =−∂xi∂xk∂xi∂xkИз этого тензора сделаем вектор, умножив его на eijk ,1e123 = e312 = e231 = √g1e132 = e321 = e213 = − √grλ = eijk ∇i ak82составляющие1r =√g11r =√g21r3 = √g∂a3∂a2−∂x2∂x3∂a2∂a1−1∂x∂x2∂a1∂a3−3∂x∂x1В декартовой системе координат g = 1 и выражение совпадаетс тем, что было написано ранее Ковариантные составляющие будутвычисляться по общему правилуri = giα rαтак что1ri = √g ∂a3∂a1∂a2∂a2∂a3∂a1gi1−+g−+g−.i2i3∂x2∂x3∂x3∂x1∂x1∂x2В физических составляющих для случая ортогональных координатполучим∂(H3 ax3 ) ∂(H2 ax2 )1−(rot a)x1 =H2 H3∂x2∂x3и две аналогичные формулы для остальных осей.3.6Тензор Римана-КристоффеляРассмотрим поле какого-либо контравариантного вектора Aα , составим для него вторые контравариантные производные ∇β ∇i Aα и∇i ∇β Aα и образуем их разность.
Мы имеем прежде всего∇i Aα =∂Aα+ Aλ Γαλi∂xi83и далее∇β ∇i Aα∂∇i Aαρρα+ Γαρβ ∇i A − Γiβ ∇ρ A∂xβ∂Aα∂Aρ∂λ αλ ρα+ A Γλi + Γρβ+ A Γλi=∂xβ ∂xi∂xi α∂A−Γρiβ+ Aλ Γα=λρ∂xρ==∂Aλ∂Aρ∂Aα∂ 2 Aα+ Γα+ Γα− Γρiβλiρββiβiρ∂x ∂x∂x ∂x ∂xαρλ ∂Γλi+ Γα−Aλ Γρiβ Γαρβ Γλi .λρ + A∂xβПри перестановке индексов i и β сумма первых пяти членов последнего выражения останется неизменной; последние два члена превратятся в α∂Γλβα ρAλ+ΓΓρi λβ .∂xiПоэтому получаем следующее важное равенство α∂Γαλβραααλ ∂Γλiα ρ−+ Γρβ Γλi − Γρi Γλβ . (24)∇β ∇i A − ∇i ∇β A = A∂xβ∂xiТак как это равенство имеет место для произвольного вектораAλ и так как слева стоит тензор третьего ранга, два раза ковариантный, один раз контравариантный, то выражение в квадратныхскобках является тензором четвертого ранга, три раза ковариантным,раз контравариантным.
Этот тензор называется тензором РиманаКристоффеля и обозначается следующим образом∂Γνλβ∂Γνλi−+ Γνρβ Γρλi − Γνρi Γρλβ .(25)∂xβ∂xiПри этом обозначении равенство перепишется следующим образом···νRiβλ·=···α∇β ∇i Aα − ∇i ∇β Aα = Aλ Riβλ·.(26)Из него следует, что при ковариантном дифференцировании порядокдифференцирования можно изменять только в том случае, если тензор Римана-Кристоффеля обращается в нуль. Если в основной квадратичной форме пространстваds2 = gik dxi dxk84(27)коэффициенты gik не зависят от координат, то все символя Кристоффеля обращаются в нуль.
Но тогда по формулам (25) и тензор Римана-Кристоффеля обращается в нуль.Можно показать, что если тензор Римана-Кристоффеля во всехточках пространства обращается в нуль, то в этом пространстве можно выбрать такие координаты x1 , x2 , ..., xn , чтобы основная квадратичная форма приняла вид (27) с постоянными коэффициентами,ясно, что в этом случае ковариантное дифференцирование совпадает с обыкновенным, и поэтому делается понятным, почему порядокдифференцирования не влияет на результат.4Основы теории поверхностей в тензорном изложенииПусть Φ — регулярная поверхность, т.е.
допускает регулярную параметризацию, задана в параметрической форме, где функции k разнепрерывно дифференцируемы, r = r(u, v), n — единичная нормаль вточке (u, v)Первая квадратичная форма.I = d r2 — положительно определенная, т.к. равна нулю толькопри du = 0 и dv = 0.Будем обозначать(ru , ru ) = E,(ru , rv ) = F,(rv , rv ) = GI = d r2 = Edu2 + 2F dudv + Gdv 2это выражение для вычисления длины кривой на поверхности.Пусть Φ — поверхность, γ — кривая на ней, P0 — точка, общая длякривой и поверхности, r(u, v) — параметризация поверхности, r(t) —параметризация кривой P0 → u0 , v0 , t0При достаточно малом δ точка P (t) кривой |t − t0 | < δ принадлежит параметризованной окрестности точки P0 .
P (t) соответствуетu(t), v(t) т.е.r(t) = r (u(t), v(t)) ,где u(t), v(t) — уравнение кривой на поверхности22u′ + v ′ 6= 085Кривую на поверхности всегда можно задать уравнениемr(t) = r(u(t), v(t)).Длина кривой от P0 (t0 ) до P (t)s(t0 , t) =Zt′| r (t)|dt =t0Zt′| r (u(t), v(t))|dt =t0Z|d r(u, v)| =γ(P0 ,P )Z√I.γ(P0 ,P )Первая квадратичная форма задает матрицу и ее называют линейным элементом поверхности.Площадь поверхности.Пусть Φ — гладкая поверхность, G — область на поверхности, ограниченная конечным числом гладких кривых.P —касательная плоскость, спроектируем ее на поверхностьdS = | r′u du × r′v dv| = | ru × rv |dudv| ru × rv |2 = r2u r2v −(ru , rv )2 = EG − F 2Z Z pS=EG − F 2 dudvВторая квадратичная форма.r = r(u, v) — параметризация поверхности, n(u, v) — единичныйвектор нормали в точке P (u, v)Вторая квадратичная форма:−d r ·d n = (− ru nu )du2 + (− ru nv − rv nu )dudv + (− rv nv )dv 2Обозначим− ru nu = L,− rv nv = N,− ru nv − rv nu = 2Md r · n = 0 =⇒ d(d r · n) = d2 r · n +d r d n = 0II = d r2 · n = ruu n du2 + 2 ruv · n dudv + rvv n dv 2L = ruu · n, M = ruv · n, N = rvu · npr × rvn= u,| ru × rv | = EG − F 2| ru × rv |86 xuu yuu zuu xuyuzu xvyvzv (ruu , ru , rv )√L==| ru × rv |EG − F 2 xuv yuv zuv xu yu zu xvyvzv (ruv , ru , rv )√=M=| ru × rv |EG − F 2 xvv yvv zvv xu yu zu xvyvzv (rvv , ru , rv )√=.N=| ru × rv |EG − F 2Если поверхность задана уравнением z = f (x, y), тоL= pzxx,1 + zx′ + zy′M=pzxy,1 + zx′ + zy′N=pzyy.1 + zx′ + zy′Кривизна.Обозначим Θ — угол между касательными в точках P и QКривизной будем называть величинуlim∆S→0∆Q= k1∆SТеорема.Регулярная (дважды непрерывно дифференцируемая) криваяимеет в каждой точке определенную кривизну k1 .Если r = r(s) — естественная параметризация, то k1 = |r′′ (s)|.(естественная параметризация — параметром является длина дуги.)Доказательство.P −→ sQ −→ s + ∆sτ (s) = r′ (s)τ (s + ∆s) = r′ (s + ∆s)87|τ (s + ∆s) − τ (s)| = 2 sin∆Θ22 sin ∆Θsin ∆Θ ∆Θ|τ (s + ∆s) − τ (s)|2== ∆Θ2|∆s|∆s∆s2∆Θ −−−−→ 0∆s→0по непрерывности получаемk1 = | r′′ (s)|Величина, обратная кривизне - радиус кривизны ρ = k11Кручение.P — точка, Q — точка (γ)∆Θ — угол между соприкасающимися плоскостями кривой в точках P и Q.Абсолютное кручение k2 :lim∆Q= k2∆SТеорема.Трижды дифференцируемая кривая в каждой точке, где кривизнане равна, имеет определенное кручение |k2 |.Если r = r(s)|(r′ , r′′ , r′′′ )||k2 | =k12r′| r′ |Главная нормаль — нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости.Бинормаль - нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости.Соприкасающаяся плоскость.τ · τ ′ = 0, r′′ ⊥ r′ так как τ 2 = 1 τ =h−−−−→ 0d2 Q→PСоприкасающаяся плоскость параллельна r′ (t) и r′′ (t)Кривизна кривой на поверхности88(r′′ , n)| r′′ | = k, r′′ направлен по нормали к кривой| r′′ , n| = k cos ΘΘ — угол между главной нормалью и кривой и нормалью к поверхности.(r′′ , n) = (ruu u′2 + 2 ruv u′ v ′ + rvv v ′2 + ru u′′ + rv v ′′ ) · n == (ruu , n)u′2 + 2(ruv , n)u′ v ′ + (rvv , n)v ′2Вторая квадратичная формаrv ⊥ nru ⊥ n,k cos Θ =Ldu2 + 2M dudv + N dv 2II=22Edu + 2F dudv + GdvIТаким образомk cos Θ = k0 = const,напоминание:Edu2 + 2F dudv + Gdv 2 = ds2k0 — нормальная кривизна поверхности в данном направлении(du, dv).
Она равна кривизне кривой, которая получается в сеченииплоскостью, перпендикулярной касательной плоскости и содержащейнаправление (du, dv).Направление называется главным направлением, если норм. кривизна поверхности в этом направлении является экстремальной.Два главных направления перпендикулярны и сопряжены.(L − k0 E)du2 + 2(M − k0 F )dudv + (N − k0 G)dv 2 = 0t=dudvϕ = (L − k0 E)t2 + 2(M − k0 F )t + (N − k0 G) = 0k0 = k0 (t)89Для минимума и максимума k0′ (t) = 0.k0′ (t) = −∂ϕ∂t∂ϕ∂k01 ∂ϕ= (L − k0 E)t + (M − k0 F ) = 02 ∂t(L − k0 E)du + (M − k0 F )dv = 0Аналогично:dvdu(M − k0 F )du + (N − k0 G)dv = 0t1 =M − k0 FL − k0 E=M − k0 FN − k0 G(L − k0 E)(N − k0 G) = (M − k0 F )2k02 (EG − F 2 ) + 2(F M − EN − GL)k0 + (LN − M 2 ) = 0K = k0 1 · k0 2 — гауссова кривизна, это степень разброса пучканормалей поверхности точке элемента.H = 21 (k01 + k02 ) — средняя кривизнаK=LN − m2,EG − F 2H=F M − EN − GLEG − F 2(Ldu + M dv) = k0 (Edu + F dv)(M du + N dv) = k0 (F du + Gdv)Делим и получаем уравнение на направления(EM − F L)du2 + (EN − GL)dudv + (F N − GM )dv 2 = 0dvdv= ϕ1 (u, v),= ϕ2 (u, v)duduВыберем систему координат так, чтобы ось z была направлена так,что xy лежат в касательной плоскости.Средняя кривизна поверхности, натянутой на контур, равна нулю.90Пусть S — поверхность, (u, v) — параметризация, r(u, v) — еерадиус-вектор.
Будем варьировать по нормали.r(1) (u, v) = r(u, v) + d(u, v) n(u, v)′′r(1)u = ru +αu n +α nu′′r(1)v = rv +αv n +α nvE1 = (r′u +αu′ n +α n′u )2 = r′u +2αu′ (r′u · n) + 2 n(ru · n′ )(r′u · n) = 0E1 = E − 2αLF1 = F − 2αMG1 = G − 2αNE1 G1 − F12 = EG − F 2 − 2α(En − 2F M + GL)ZZ qS1= (EG − F 2 )(1 − 4αH)qp4αH22E1 G1 − F1 = EG − F 1 −+ o(H)2E1 G1 −F12 dudv−ZZ pEG − F 2 dudv =(S)=−Z ZSδS = −Z Z2αHpEG − F 2 dudv2αHdSSТаким образом получаем, что H должно быть равно нулю.Формула Эйлера.Индикатриса кривизныВведем в касательной плоскости поверхности декартовы координаты, приняв точку касания за начало координат, а прямые, содержащие ru и rv за оси координат, сами векторы ru и rv за базисныевекторы.
Пусть x, y — точки на индикатрисе.91(x, y)(ru rv )x ru +y rv =√Rru du + rv dv| ru du + rv dv|Возведем в квадрат и используем, что (x, y) k (du, dv)Ex2 + 2F xy + Gy 2 =Ex2 + 2F xy + Gy 2Edu2 + 2F dudv + Gdv 2=22|Ldu + 2M dudv + N dv ||Lx2 + 2M xy + N y 2 |Lx2 + 2M xy + N y 2 = 1Теперь выберем так параметризацию так, чтобы главное направление было по оси x.cos2 Θ sin2 Θ1=+RR1R2R1 — максимальный радиус, R2 — минимальный радиус. Θ —угол.Символы Кристоффеля.(n, ru ) = 0u = u1(n, rv ) = 0v = u2∂(n, ri ) = (nj , ri ) + (n, rij ) = 0∂ujГде (n, rij ) — вторая квадратичная формаРазложим частные производные n1 , n2 по r1 , r2 , n; они лежат вкасательной плоскостиn1 = −b11 r1 −b21 r2 = −bα1 rαn2 = −b12 r1 −b22 r2 = −bα2 rαУмножим скалярно на r1 , r2bi1 = ni r1 = −b1i r1 r1 −b2i r1 r2bi2 = ni r2 = −b1i r2 r1 −b2i r2 r2r1 r1 = g11r1 r2 = g12r2 r1 = g2192r2 r2 = g22обозначимrij =∂r∂ui ∂ujrij = G1ij r1 + G2ij r2 + αij nУмножим на nrij n = αij ← коэффициент второй квадратичной формыrij = G1ij r1 +G2ij r2 +bij nУмножим последнее равенство скалярно на r1 , r2Обозначимrij rk = Gk,ij = Γk,ij .Пользуясьri rj = gij ,rik rj + ri rjk =∂gij,∂ukполучаем символы Кристоффеля1 ∂gki∂gkj∂gijΓk,ij =+−.2 ∂uj∂ui∂ukСписок литературы[1] Кочин Н.Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
