Алгебраические_уравнения (835788), страница 7
Текст из файла (страница 7)
УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА⎧⎨1 = − +1−1иначе.3)⎩ = − −12+2Причем при = − 15 оба корня совпадают.Квадратный трехчлен может быть правой частью не только уравнения, но и неравенства. Вернемся к рис. 7 и 8 (с. 60).Если дискриминант меньше нуля, квадратный трехчлен имеет постоянный знак на всей вещественной оси, который совпадает со знаком коэффициента при квадрате переменной.Если дискриминант равен нулю, то в одной точке трехчленобращается в ноль, в остальных точно также сохраняет постоянный знак. Наконец, если дискриминант больше нуля,трехчлен имеет два корня, которые делят вещественную осьна три промежутка знакопостоянства (см.
рис. 7 и 8). 192Пример 7. Решить неравенство 22 + 3 − 2 ≥ 0.Решение. Квадратный трехчлен имеет корни 1 = −2 и2 = 21 , которые делят вещественную ось на три промежутка знакопостоянства (рис. 9). Знаки чередуются, поэтомуРис. 9.Промежутки знакопостоянствадостаточно определить знак () = 22 + 3 − 2 на одноминтервале. (0) < 0. Значит, на интервале (−2; 12 ) выражение () < 0. Тогда на интервалах (−∞; −2) и (− 21 ; +∞),§ 2.2. Квадратный трехчлен67наоборот, () > 0. Мы ищем множество значений , длякоторых () ≥ 0.Ответ: ∈ (−∞; −2] ∪ [ 12 ; +∞).Если говорить об уравнениях и неравенствах с параметром,для их решения иногда необходимо провести небольшое исследование.
Рассмотрим на примере уже решенного намиуравнения (с. 64) один когда-то «модный» на вступительных экзаменах класс задач.Пример 8. При каких значениях параметра уравнение(︀)︀(︀)︀2 + − 2 2 + 22 + + 3 + 2 − 1 = 0имеет два корня 1 и 2 , таких, что 1 < 1 < 2 ?Решение. Пусть () = 2 + + – произвольный квадратный трехчлен. Определим необходимые и достаточныеусловия существования двух его корней, расположенных поразные стороны от заданного числа , т. е. 1 < < 2 . Каквидно на рис. 10, это возможно в двух случаях: > 0 и () < 0 (график слева); < 0 и () > 0 (график справа).То есть корни лежат по разные стороны от тогда и толькоРис.
10.Корни расположены по разные стороны от заданного числа 19268ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКАтогда, когда · () < 0, иначе говоря, когда коэффициентпри 2 и значение () в точке, разделяющей корни, имеютразные знаки. В нашем примере = 1 и (1) = 2 + − 2 + 22 + + 3 + 2 − 1 = 42 + 2 = 2(2 + 1).Коэффициент при 2 – это 2 + − 2.
Значит, должно выполняться условие2(2 + 1)(2 + − 2) < 0, т. е. (2 + 1)( + 2)( − 1) < 0.Многочлен в левой части неравенства обращается в ноль вточках −2; − 12 ; 0; 1, разбивающих вещественную ось на пятьпромежутков знакопостоянства, как показано на рис.
11.Определим знак на одном из интервалов, например послед-Рис. 11.Промежутки знакопостоянстванем, подставив вместо очень большое вещественное число. На интервале (1; +∞) выражение принимает знак «+».Расставим знаки в остальных интервалах по принципу чередования. Интересующее нас неравенство выполняется наинтервалах (−2; −0, 5) и (0; 1).Ответ: при ∈ (−2; −0, 5) ∪ (0; 1).Теперь рассмотрим квадратное неравенство с параметром.Это уже довольно серьезная работа, но именна та, которой§ 2.2. Квадратный трехчлен69занимается настоящий инженер или экономист, – исследование зависимости решений от меняющихся параметров.Пример 9.
Решить неравенство с параметром(2 − 1)2 + 2( − 1) + 1 > 0.Решение. Найдем дискриминант = 42 − 8 + 4 − 42 + 4 = −8( − 1) и классифицируем возможные исходы в зависимости от значения старшего члена.1) В случае нулевого старшего члена неравенство перестаетбыть квадратным: 2 − 1 = 0 ⇒ = ±1.1.1) При = −1 неравенство принимает вид утверждения−4 + 1 > 0 ⇒ ∈ (−∞; 0, 25).1.2) При = 1 получим 1 > 0, что справедливо при любом ∈ (−∞; +∞).2) Рассмотрим случай, когда старший член отрицателен,т.
е. когда ветви параболы направлены вниз:2 − 1 < 0 ⇒ ( + 1)( − 1) < 0 ⇒ ∈ (−1; 1). Здесь в своюочередь классифицируем возможные исходы в зависимостиот значения дискриминанта.2.1) < 0 ⇒ > 1.Эти значения не попадают в интервал (−1; 1).2.2) = 0 ⇒ = 1. Это значение также не попадает в рассматриваемый интервал.2.3) > 0 ⇒ < 1 ⇒ ∈ (−1; 1). На этом интервале 19270ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКАквадратный трехчлен имеет два вещественных корня:√√−2 + 2 + −8 + 8−2 + 2 − −8 + 82 =< 1 =.2 · (2 − 1)2 · (2 − 1)Сократив числитель и знаменатель дробей на 2, получим:√√− + 1 + −2 + 2− + 1 − −2 + 2< 1 =.2 =2 − 12 − 1Поскольку − + 1 −√√−2 + 2 < − + 1 + −2 + 2, но2 − 1 < 0, а при делении на отрицательную величину знакнеравенства меняет направление, 2 < 1 .
Ветви параболынаправлены вниз, и > 0 (как на рис. 8в). Следовательно,квадратный трехчлен больше нуля на интервале (2 ; 1 ).3) Положительный старший член:2 − 1 > 0 ⇒ ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞). Снова рассмотрим всевозможные значения дискриминанта.3.1) < 0 ⇒ > 1 ⇒ ∈ (1; +∞). Это случай, когда весьграфик параболы лежит выше оси . Решением будет всемножество вещественных числел: ∈ (−∞; +∞).3.2) = 0 ⇒ = 1. Это значение не входит в рассматриваемую область значений.3.3) > 0 ⇒ < 1 ⇒ ∈ (−∞; −1). Поскольку ветви параболы направлены вверх, квадратный трехчлен больше нуляпри значениях ∈ (−∞; 1 ) ∪ (2 ; +∞) (как на рис. 7в). Мытакже учли, что на рассматриваемом интервале 2 − 1 > 0,§ 2.2.
Квадратный трехчлен71а значит, 1 < 2 .Теперь нам предстоит собрать все результаты, полученныена ветвях дерева, отражающего произведенный нами перебор вариантов, в Ответ: При этом вовсе не обязательно придерживаться той же нумерации пунктов. Ответ – это результат, и его следует формулировать четко и просто.Ответ:1) (−∞; 1 ) ∪ (2 ; +∞) при ∈ (−∞; −1);2) (−∞; 0, 25) при = −1;3) (2 ; 1 ) при ∈ (−1; 1);4) ℜ при ∈ [1; +∞),√√− + 1 − −2 + 2− + 1 + −2 + 2где 1 =, 2 =.2 − 12 − 1В четвертом пункте ответа мы объединили результаты двухпунктов решения: 1.2 и 3.1.
То есть как при = 1, так и при ∈ (1; +∞) множество решений – ℜ. Проанализируем полученный результат. Выражение в левой части исследуемогонеравенства есть функция двух переменных и : (, ) = (2 − 1) · 2 + 2 · ( − 1) · + 1.Тогда уравнение = (, ) задает некоторую поверхностьв трехмерном пространстве (рис. 12). Условия задачи теперь можно сформулировать так: при каких значениях и поверхность лежит выше плоскости ? Значение функ-72ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКАРис. 12.Поверхность = (, )ции (, ) можно интерпретировать как высоту над уровнем моря в точке с координатами (; ).
Трехмерный графикповерхности не всегда достаточно информативен, поэтому вматематике часто для изображения поверхностей применяют линии уровня, хорошо знакомые нам по географическимкартам. Для нашей поверхности линии уровня изображенына рис. 13а. Каждой линии соответствует некоторое фиксированное значение (, ) = – «высота над уровнемморя». Кривая, помеченная числом 0, – «берег моря». Поэтому графику вы легко можете установить части поверхности, расположенные выше «уровня моря». График кривой (, ) = 0, т. е. «линии берега», мы разместили отдельно нарис.
13б. Осталось только раскрасить карту (рис. 14). Итак,в соответствии с ответом, на интервале ∈ (−∞; −1) «су-§ 2.2. Квадратный трехчленРис. 13.73Линии уровня (а); нулевая линия уровня (б)ша» располагается по обе стороны от 1 ; 2 , на интервале ∈ (−1; −1) – по разные стороны от 1 ; 2 , а при ∈ [1; +∞)– «суша, и ничего, кроме суши». Корни квадратного трехчлена являются функциями параметра :1 () =√−+1− −2+2;2 −12 () =√−+1+ −2+2.2 −1Традиционно на графике ось абсцисс отводят аргументам,74ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКАРис. 14.Области знакопостоянстваа ось ординат – функциям, но не запрещено поступать и наоборот.
Мы только что записали уравнения «линий берега».Рассмотрим их ассимптоты. Одна ассимптота имеет уравнение = 1 и, как зафиксировано в ответе, целиком «принадлежит суше». Берег может приближаться к ней скольугодно близко, но никогда не достичь ее. На языке высшейматематики это означает, что для пределов снизу (слева)функций 1 () и 2 () выполняются равенства:√− + 1 − −2 + 2lim= −∞;→1−02 − 1√− + 1 + −2 + 2lim= +∞.→1−02 − 1Утверждение под знаком предела → 1 − 0 означает, чтов обоих случаях стремится к 1 слева (на нашем графике§ 2.2. Квадратный трехчлен75«снизу», но все равно принято говорить «слева» в смыслеположения величин на своей вещественной оси).
Пределысправа мы не можем рассмотреть, поскольку при > 1функции 1 () и 2 () не определены. Другая ассимптота– прямая = −1, она заслуживает отдельного рассмотрения. При = −1 обе «линии берега» имеют разрыв. Причемдля 1 () разрыв устранимый, поскольку существует общийпредел, т. е. пределы слева и справа совпадают:√− + 1 − −2 + 21lim 1 () = lim= .2→−1→−1 −14Для устранения разрыва достаточно доопределить функцию в точке разрыва 1 (−1) = 0, 25.
В выражении для 2 ()числитель при → −1 – конечная положительная величина,а знаменатель стремится к нулю. При этом знак знаменателя зависит от того, как стремится к единице : слева илисправа. Таким образом,lim 1 () = +∞; lim 2 () = −∞.→−1−0→−1+0Мы сознательно не приводим выкладки для нахожденияпределов, чтобы не отвлекаться от задачи. К тому же втрех случаях мы использовали правило Лопиталя, которое обычно в курсе математики средней школы не изучается. Итак, при переходе через точку = −1 меняется от-76ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКАносительное положение 1 () и 2 () на вещественной оси:до этой точки 1 () < 2 (), после нее 2 () < 1 ().
Таким образом, «линии берега» 1 () и 2 () ограничиваютобласть, на которой (, ) > 0 (см. рис. 14), но сами врешение не входят. Если бы неравенство было нестрогим (, ) ≥ 0, граница вошла бы в решение.При исследовании неравенства мы сделали больше, чем обычно требуется от школьника. В частности, приведенные выше графики трудно построить без соответствующих программных средств. Мы просто хотели проиллюстрироватьпример. Провести все исследование, не сделав ни одной ошибки, очень трудно, поэтому в конечном итоге успех дела зависит от того, как быстро вы умеете находить ошибки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
