Алгебраические_уравнения (835788), страница 10
Текст из файла (страница 10)
195, п. 16.§ 2.6. Уравнения с тремя неизвестными94⇔102 Уравнения второго порядка с тремя неизвестнымив задачах средней школы встречаются нечасто. Общий видуравнения:11 2 + 22 2 + 33 2 + 212 + 213 + 223 ++1 + 2 + 3 + 0 = 0.100ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКАЗа исключением вырожденных случаев, каждому такомууравнению соответствует поверхность в трехмерном пространстве. Несмотря на большое количество членов уравнения, соответствующих типов поверхностей не так уж много. Просто существует континиум способов расположенияповерхности в системе координат.
Как и в случае уравнений второго порядка, в некоторой системе координат запись уравнений имеет канонический вид. Прежде всего заметим, что каждой кривой второго порядка плоскости в пространстве соответствует цилиндрическая поверхность.Это эллиптический (рис. 19а), гиперболический (рис. 19б) ипараболический (рис. 19в) цилиндры. Действительно, каж-Рис. 19.Цилиндрические поверхностидой точке плоскости с координатами (0 ; 0 ) соответствует впространстве прямая, т.
е. множество точек с координатами(0 ; 0 ; ), где ∈ ℜ. Если прямую перемещать параллельносамой себе вдоль некоторой плоской кривой, она опишет впространстве цилиндрическую поверхность. Однако класс§ 2.6. Уравнения с тремя неизвестными101поверхностей второго порядка несколько шире (рис. 20):1.
Эллипсоид:22+22+22= 1 (20а).2. Эллиптический параболоид: =223. Гиперболический параболоид: =4. Двуполостный гиперболоид:225. Однополостный гиперболоид:6. Конус:Рис. 20.22+22−22+22+2222+22−−22(20б).2222−(20в).= −1 (20г).22= 1 (20д).= 0 (20е).Основные типы поверхностей второго порядкаCечение любой поверхности второго порядка плоскостью –кривая второго порядка.Глава 3. Уравнения старшего порядка§ 3.1. Операции над многочленами99⇔107 Операции умножения и сложения многочленов,как и аналогичные операции на множестве вещественныхчисел (с.
55), обладают свойствами коммутативности и ассоциативности и связаны дистрибутивным законом. В математике множество, на котором определены операции сложенияи умножения, удовлетворяющие таким свойствам, называют кольцом. Относительно сложения в этом кольце существует «ноль», который просто совпадает с числом ноль, идля каждого многочлена существует противоположный, такой, что сумма исходного многочлена и противоположногоему равна нулю.
В этом кольце вещественные числа будутмногочленами нулевой степени. Пусть даны два многочленастепени и . Тогда1) степень их произведения равна + ;2) cтепень суммы не превышает {, }.Обратите внимание: сумма может иметь степень, меньшую,чем у слагаемых. Это связано с тем, что старшие степенимогут сократиться. Таким образом, множество многочленов замкнуто относительно операций сложения, вычитанияи умножения в том смысле, что результат этих операцийвсегда многочлен. Однако этого нельзя сказать о делении.Многочлен делится на многочлен , если существует§ 3.1. Операции над многочленами103такой многочлен , что = · . Например,3 () = 3 + 2 − 3; 2 () = 2 − 1;5 () = 3 ()·2 () = (3 +2−3)·(2 −1) = 5 +3 −32 −2+3.Тогда многочлен 5 делится без остатка, как на 3 , так ина 2 .
Напрашивается аналогия с множеством целых чисел.Множество целых чисел также замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения, но не деления.Чтобы определить, делится ли число 3251 на 12, выполнимизвестный алгоритм:32245112270858411В таком случае говорят, что при делении 3251 на 12 мы получили 270 и 11 в остатке. Остаток всегда неотрицательноецелое число, меньшее делителя. Таким образом,325111= 270 +или 3251 = 170 · 12 + 11.1212Теперь вспомним суть десятичной записи числа:3251 = 3 · 103 + 2 · 102 + 5 · 10 + 1.104ГЛАВА 3.
УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАЕсли в этой записи заменить 10 на , получится многочлентретьей степени 33 + 22 + 5 + 1. Алгоритм деления многочлена на многочлен практически ничем не отличается оталгоритма деления целых чисел. Он даже проще, поскольку не приходится рассматривать единицу старшего разрядакак 10 единиц младшего. 196Пример 1. Разделить многочлен5 () = 5 +33 +2 −2+1 на многочлен 2 () = 2 +2+1.Решение. Выполним деление многочлена на многочлен поаналогии с известным алгоритмом:5+33 +2 −2 +15 +24 +32 + 2 + 13 − 22 + 6 − 9−24 +23 +2−24 −43 −2263 32 −263 122 +6−92 −8 +1−92 −18 −910x +10Ответ:5 + 33 + 2 − 2 + 110 + 10= 3 − 22 + 6 − 9 + 2.2 + 2 + 1 + 2 + 1§ 3.1. Операции над многочленами105С учетом тождества 2 + 2 + 1 = ( + 1)2 , последнюю дробьможно сократить на + 1:105 + 33 + 2 − 2 + 132=−2+6−9+.2 + 2 + 1+1Другой способ записи результата:5 +33 +2 −2+1 = (3 −22 +6−9)·(2 +2+1)+10+10.Из применяемого в алгоритме метода исключения старшихчленов следует, что в остатке всегда получится многочленстепени, меньшей, чем у делителя.
В частности, при делениимногочлена на линейный член в остатке будет получатьсявещественное число.Деление многочлена на линейный член также можно производить лесенкой, но существует более компактная схема –схема Горнера. Суть ее заключается в следующем. Пустьмногочлен 0 + 1 −1 + . . . + −1 + требуется разделить на линейный член ( − ).Положим 0 −1 + 1 −2 + .
. . + −2 + −1 – результатделения, а – остаток. Тогда0 + 1 −1 + . . . + −1 + == (0 −1 + 1 −2 + . . . + −2 + −1 ) · ( − ) + .106ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАРаскроем скобки в правой части последнего равенства иприведем подобные:0 + 1 −1 + . . . + −1 + = 0 + (1 − 0 )−1 + . .
.Отсюда 0 = 0 ; 1 = 1 − 0 ; 2 = 2 − 1 и т. д. Наконец,−1 = −1 − −2 и = − −1 . Теперь из последних равенств поочередно выражаем: 0 = 0 ; 1 = 1 + 0 ;2 = 2 + 1 и т. д., пока не дойдем до −1 = −1 + −2 и = + −1 . Таким образом, зная коэффициенты исходного многочлена и линейный член ( − ), мы можем последовательно найти все коэффициенты результата деленияи остаток.
Вычисления удобно выполнять в таблице. Тогдапосле некоторой тренировки вы доведете выполнение этойоперации до автоматизма. 196Пример 2. Разделить многочлен 4 − 53 + 22 − 3 + 7на линейный член − 2.Решение. Составим таблицу из трех строк. В первую строку занесем степени коэффициентов от четвертой до нулевой, во вторую поместим соответствующие коэффициентыисходного многочлена, а третью, где должны быть коэффициенты результата выполнения операции и остаток, будемзаполнять в ходе выполнения схемы Горнера.§ 3.2.
Разложение многочленов на множители107Степень43210Остатокa1−52−37–b01−3−4−11−15Заполним строку коэффициентов . В ячейке, соответствующей степени 4, ставим 0, поскольку результат деления –многочлен степени 3. Далее каждую следующую ячейку получаем из двух ячеек предыдущего столбца: строки и .Для этого к значению из предыдущего столбца прибавляем значение из того же столбца, умноженное на 2, поскольку в нашей задаче = 2. В последней ячейке помещаем значение остатка. Осталось только записать результат втерминах математической символики.Ответ:4 − 53 + 22 − 3 + 7 = ( − 2) · (3 − 32 − 4 − 11) − 15.Проверьте результат, применив алгоритм деления лесенкой.Задачи к параграфу на с. 196, п.
17–18.§ 3.2. Разложение многочленовна множители102⇔125В курсе средней школы мы чаще имеем дело смногочленами от одной переменной, при этом как переменную , так и все коэффициенты многочлена считаем веще-108ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАственными числами. Решить уравнение с многочленом в левой части () = 0 – значит найти все его корни, т. е. такиезначения , при которых многочлен обращается в ноль. Всвою очередь задача нахождения корней существенно облегчается, если удается разложить многочлен на множители. Но сначала о корнях. Мы пока признаем только вещественные корни.
Для квадратного трехчлена эта задачавыполнима, если его дискриминант неотрицателен. Многочлен третьей степени всегда имеет хотя бы один вещественный корень, и его корни находятся по формуле, открытойв XVI веке Кардано (с. 149). В этом же веке итальянскимматематиком Лудовико Феррари получено общее решениеуравнения четвертой степени. Таким образом, после Феррари математики сосредоточились на задаче нахождения корней многочлена пятой степени, но не тут-то было. Только вXIX веке норвежский математик Нильс Абель доказал, чтокорни уравнения пятой степени в общем случае не выражаются через радикалы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
