Алгебраические_уравнения (835788), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Длязакрепления пройденного материала попробуйте решить тоже неравенство, считая величину неизвестной, а – параметром:(2 − 1) · 2 + 2 · ( − 1) · + 1 > 0.После того как мы раскроем скобки в левой части неравенства и произведем группировку по степеням , задачуможно сформулировать так: решить неравенство · 2 + 2 · − ( − 1)2 > 0,§ 2.2. Квадратный трехчлен77где – неизвестная величина, – параметр. Интересно,что решение опять отлично будет иллюстрировать рис. 14(с. 74).
Рассмотрим еще один пример.Пример 10. Решить неравенство с параметром 1922 + 2 + 1 > 0.Решение:1) = 0 ⇒ 2 + 1 > 0 ⇒ ∈ (−0, 5; +∞);2) ̸= 0. Найдем дискриминант = 4(1 − ).2.1) < 0 ⇒ > 1. Поскольку дискриминант меньше нуляи ветви параболы направлены вверх, как на рис. 7а (с. 60),множество решений – ℜ.2.2) > 0 ⇒ 1 − > 0 ⇒ ∈ (−∞; ) ∪ (0; 1).Корни: 1 =−1 −√1−и 2 =−1 +√1−.2.2.1) ∈ (−∞; 0) ⇒ 2 < 1 , и ветви параболы направленывниз, как на рис. 8в (с. 60).(︂∈−1 +√1 − −1 −;√1−)︂.2.2.2) ∈ (0; 1).
Положение параболы, как на рис. 7в (с. 60).√√(︂)︂ (︂)︂−1 − 1 − −1 + 1 − ∈ −∞;∪; +∞ .78ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА2.3) = 0 ⇒ = 1. Квадратный трехчлен принимает вид2 + 2 + 1 = ( + 1)2 , а ( + 1)2 > 0 при всех значениях ,кроме = −1, т. е. ∈ (−∞; −1) ∪ (−1; +∞).Ответ:(︁)︁√√1) −1+ 1− ; −1− 1− при ∈ (−∞; 0);2) (−0,при = 0;(︁ 5; +∞))︁)︁ (︁√√−1− 1−−1+ 1−3) −∞;; +∞ при ∈ (0; 1);∪4) (−∞; −1) ∪ (−1; +∞) при = 1;5) ℜ при ∈ (1; +∞).Данных в ответе достаточно, чтобы в первом приближениипостроить график, как на рис. 14 (с.
74), но мы предпочли сначала найти ряд пределов. Серая область на рис. 15– множество пар (; ), для которых выполняется неравенство 2 + 2 + 1 > 0. Граница не входит в решение. Припостроении графиков мы опирались на пределыРис. 15.Области знакопостоянства§ 2.2. Квадратный трехчленlim−1 +→079√√1−1 − 1 − 1−= − и lim= +∞.2 →0−0√−1− 1−Хотя функции параметра 1 () =√и 2 () −1+ 1− ,ограничивающие интервал значений в первом пункте ответа, не определены при = 0, в пределе они переходят вграницы интервала второго пункта ответа.
Обратите внимание, что во втором пределе стремится к нулю слева.Аналогично при , стремящемся к нулю справа,lim−1 −→0+0√1−= −∞,и первый интервал области значений из третьего пунктав пределе «убегает в минус бесконечность», а второй переходит в интервал из второго пункта ответа. Также следуетобратить внимание на то, что в ходе исследования неравенства установлено: < 0 ⇒ 2 < 1 и > 0 ⇒ 1 < 2 . Инаконец,lim→−∞−1 +√1−= lim−1 −→−∞√1−= 0.Таким образом, при построении графика мы опирались не только на зафиксированную в ответе информацию, но также нанайденные предельные значения.Задачи к параграфу на с.
192, п. 8–11.80ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА§ 2.3. Уравнения с двумя неизвестными59⇔84 В этом разделе мы можем немного расслабиться.Теория уравнений второго порядка с двумя неизвестнымисейчас нас интересует только на описательном уровне. Вобщем виде уравнение можно записать так:11 2 + 22 2 + 212 + 1 + 2 + 0 = 0.(5)Разумеется, здесь 11 , 22 и 12 не должны одновременноравняться нулю, иначе мы получим линейное уравнение.Кривые, заданные уравнениями второго порядка, называют кривыми второго порядка, или коническими сечениями. Одной и той же кривой могут соответствоватьразные уравнения в зависимости от ее положения в принятой системе координат.
Различают три основных типа конических сечений: эллипсы, гиперболы и параболы (рис. 16).Кроме основных конических сечений, существуют еще и вы-Рис. 16.Конические сечения: а) эллипс, б) гипербола, в) параболарожденные случаи: прямая, пара пересекающихся прямых§ 2.3. Уравнения с двумя неизвестными81и точка. Термин «коническое сечение» возник в ДревнейГреции. Греки рассматривали эти кривые как сечения конуса плоскостью. В зависимости от наклона плоскости поотношению к оси конуса, получались эллипсы (как частныйслучай – окружность), гиперболы и параболы. Если плоскость касалась поверхности конуса, получалась прямая; если плоскость пересекала конус вдоль его оси, – пара пересекающихся прямых, а если проходила через вершину конусапод соответствующим углом, – точка.
Рассекание конусовплоскостями может показаться праздным занятием, но конические сечения обладают рядом интересных свойств. Вчастности, у них есть фокусы. Если в фокус параболы поместить точечный источник света, то отраженные от нее лучи образуют пучок параллельных, а значит, могут освещатьбесконечно удаленные цели. Если точечный источник светапоместить в один из фокусов эллипса, то отраженные лучипересекутся в другом фокусе. На самом деле точечных источников не бывает, так же как и идеальных поверхностей,но тем не менее поверхности прожекторов делают именно ввиде параболоида, а источник света помещают в его фокус.
Не менее важен и тот факт, что траектории движенияматериальных точек в поле центральной силы, напримергравитационном, – кривые второго порядка. И хотя в идеальные траектории вносят возмущения другие менее весомые небесные тела, с большой степенью точности мы можем82ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКАсчитать, что орбиты планет солнечной системы – эллипсы, аСолнце находится в одном из фокусов каждого эллипса.
Таким образом, уравнения второго порядка довольно неплохоописывают окружающий нас мир и уже поэтому заслуживают внимания.Задача определения типа кривой второго порядка по ее уравнению решается в курсе аналитической геометрии. Однако сами кривые можно определить, не прибегая к услугамконуса и даже не вводя на плоскости систему координат.Эллипс – это геометрическое место всех точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (фокусов) постоянна.Гипербола – это геометрическое место всех точек, разностьрасстояний от каждой из которых до двух заданных точек(фокусов) постоянна.Парабола – это геометрическое место всех точек, одинакого удаленных от заданной точки (фокуса) и некоторойфиксированной прямой.Для любого конического сечения можно найти систему координат, в которой его уравнение принимает канонический вид.
Это уравненияэллипса:2 22 2+=1;гиперблы:− 2 =1222и параболы: 2 − 2 = 0,§ 2.3. Уравнения с двумя неизвестными83где , и – вещественные константы. Кривые второго порядка также делят плоскость на области знакопостоянства,внутри которых уравнения превращаются в соответствующие неравенства:Рис. 17.Области знакопостоянства2 2+ 2 ≤ 1 (рис.
17а);22 2− 2 ≤ 1 (рис. 17б);2 2 − 2 ≤ 0 (рис. 17в).Как вы, вероятно, заметили, уравнения гиперболы и параболы в канонической форме несколько отличаются от тех,к которым мы привыкли в школе. На это есть свои причины. Так, более привычное для многих уравнение =определяет только семейство гипербол с перпендикулярными ассимптотами, но ассимптоты могут образовывать любой84ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКАугол.
Хотя теория уравнений и, соответственно, кривых второго порядка доступна человеку, владеющему математикойв рамках школьной программы, ее изучение требует времени и определенных усилий. Мы же пока запомним одно полезное наблюдение. Кривая второго порядка не можетиметь более двух общих точек с прямой. Для доказательства достаточно в уравнении прямой выразить одну изпеременных или и подставить в уравнение (5).§ 2.4. Симметричные формы80⇔94Выражение (, ) называют симметричнойформой, если (, ) ≡ (, ),т. е. форма, полученная при перестановке переменных и тождественна исходной.
Аналогично для любого числа переменных выражение называют симметричной формой, если после любой перестановки любой пары переменных мыприходим к форме, тождественной исходной. Примеры симметричных форм: +; ; 2 + 2 . В § 2.2, когда применялитеорему Виета, мы столкнулись с системами уравнений, содержащими две симметричные формы:⎧⎨1 + 2 = −;⎩ = .1 2§ 2.4. Симметричные формы85Эти уравнения устанавливают связь корней квадратного трехчлена 2 + + с его коэффициентами и иногда помогаютнам сразу угадать корни. Теперь мы, наоборот, используемквадратный трехчлен для решения системы уравнений⎧⎨ + = ;⎩ = .При решении таких систем часто в первом уравнении выражают одну переменную через другую, делают подстановку во второе уравнение и получают квадратное уравнение,которое теперь надо решить. Сколько лишних шагов! Мыможем сразу заметить, что, согласно теореме Виета, и должны быть корнями уравнения 2 − + = 0.Пример 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
