Алгебраические_уравнения (835788), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Системы трех и более уравнений43Задача решена. Вычислительный процесс, на первый взгляд,не вызывает затруднений. Однако, как показывает практика, чтобы научиться выполнять его без ошибок, надо потрудиться. Результаты желательно проверять подстановкой.Ошибки делают все – от младшего школьника до академика! Только не все умеют вовремя их обнаружить.До сих пор мы исходили из того, что решение существует иединственно. Но так бывает невсегда.Пример 2. Решить систему уравнений 190⎧⎪ + 2 + 5 = −9;⎪⎪⎨ − + 3 = 2;⎪⎪⎪⎩2 + + 8 = −7.Решение:⃒⎛⃒1 2 5 ⃒ −9⎜⃒⎜ 1 −1 3 ⃒ 2⃒⎝⃒2 1 8 ⃒ −7⃒⎞⃒1 25 ⃒ −9⎟ 1 ⎜⃒⎟ 2⎟ → ⎜ 0 −3 −2 ⃒ 11 ⎟ →⃒⎠⎝⎠⃒0 −3 −2 ⃒ 11⎞⎛⃒)︃(︃5 ⃒⃒ −913→→⃒0 −3 −2 ⃒ 110⃒(︃)︃(︃1 2 ⃒⃒ −9 −5144→→⃒11200 1 ⃒ −3 = 3(︃212⃒)︃2 ⃒⃒ −9 −54→⃒−3 ⃒ 11 2⃒)︃0 ⃒⃒ − 53 − 113.⃒1 ⃒ − 11 − 23344ГЛАВА 1.
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯОтвет:⎧⎨ = − 5 − 11 · 33или, что то же самое,⎩ = − 11 − 2 · 33}︂{︂11 25 11· ; = − − · ; ∈ ℜ .(; ; )| = − −3333После первого шага у нас оказались две эквивалентные строки, одну из них мы убрали. На третьем шаге перенесли столбец коэффициентов при в правую часть. Привели левуючасть матрицы к диагональному виду при помощи все техже трех простых операций, после чего осталось только записать ответ. Решения образуют бесконечное множество. Впространстве ему соответствует прямая, по которой пересекаются две плоскости. 190Пример 3. Решить систему уравнений⎧⎪ + 2 + 5 = −9;⎪⎪⎨ − + 3 = 2;⎪⎪⎪⎩2 + + 8 = 0.Решение:⎛1 2 5⎜⎜ 1 −1 3⎝2 1 8⃒⎞⎛⃒1 25⃒ −9⃒⎟ 1 ⎜⃒ 2 ⎟ → ⎜ 0 −3 −2⃒⎠⎝⃒⃒ 00 −3 −2⃒⎞⃒⃒ −9⃒⎟⃒ 11 ⎟ .⃒⎠⃒⃒ 18§ 1.5. Неравенства45Ответ: система не имеет решения.Последним двум строкам соответствуют две параллельныеплоскости, которые не могут иметь общих точек:⎧⎨−3 − 2 = 11;⎩−3 − 2 = 8.Поскольку с системами линейных уравнений приходится сталкиваться довольно часто, желательно довести навыки их решения «до подкорки».
Нужное количество заданий вы найдете в любом сборнике задач по линейной алгебре.Задачи к параграфу на с. 189, п. 4.§ 1.5. Неравенства35⇔55Объединим в одной таблице схемы решения ли-нейных неравенств с рассмотренной нами на с. 19 схемойрешения соответствующего уравнения.<0=0>0∀<0=0>0∀·<( ; +∞)ØØℜ(−∞; )·≤[ ; +∞)Øℜℜ(−∞; ]·=ØℜØ·≥(−∞; ]ℜℜØ[ ; +∞)·>(−∞; )ℜØØ( ; +∞)Неравенство46 190ГЛАВА 1.
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯКак видно из таблицы, если коэффициент при неизвестнойв уравнении = отличен от нуля, точка делит вещественную ось на два луча, на одном из которых уравнениепревращается в неравенство > , на другом – < .Пример 1. Решить неравенство (2 + − 2) · < 2 + 2 − 3.Решение:1) 2 + − 2 < 0 ⇒ ( − 1)( + 2) < 0 ⇒ ∈ (−2; 1). При делениилевой и правой частей неравенства на отрицательную величину,знак неравенства меняет направление:>( − 1)( + 1)+12 + 2 − 3⇒>⇒>.2 +−2( − 1)( + 3)+32) 2 + − 2 = 0 ⇒ = −2 или = 1.2.1) = −2 ⇒ 0 · < −3.
Нет решения.2.2) = 1 ⇒ 0 · < 0. Нет решения.3) 2 + − 2 > 0 ⇒ ( − 1) · ( + 2) > 0 ⇒ ∈ (−∞; −2) ∪ (1; +∞).При делении левой и правой частей неравенства на положительную величину направление знака неравенства не меняется:<2 +2−32 +−2⇒<(−1)(+1)(−1)(+3)⇒<+1+3 .Ответ:1) Ø при = −2 и = 1.+1; +∞) при ∈ (−2; 1).2) ( +3+13) (−∞; +3) при ∈ (−∞; −2) ∪ (1; +∞).Рассмотрим уравнение с двумя неизвестными + = .Если коэффициенты при неизвестных не равны одновременно нулю, уравнению соответствует прямая на плоскости§ 1.5. Неравенства47(с.
20). Последняя делит плоскость на две полуплоскости.На одной уравнение + = превращается в неравенство + < , а на другой – + > . Чтобы определить направление знака неравенства в каждой полуплоскости, достаточно подставить в уравнение любую точку полуплоскости и посмотреть, в какое неравенство превратится уравнение. Если начало координат (0; 0) не лежит на прямой, т. е. ̸= 0, удобно подставлять значения = 0, = 0.Пример 2. Отобразить на плоскости геометрическоеместо точек (; ), заданное неравенствами⎧⎪6 + ≥ 10;⎪⎪⎨ + ≤ 5;⎪⎪⎪⎩3 − 2 ≤ 10.Решение.
Построим графики прямых:6 + = 10; + = 5 и 3 − 2 = 10.Для этого достаточно знать две точки на каждой прямой,например точки попарного пересечения прямых. Знание ихкоординат позволит сделать график более информативным.К тому же нам представляется случай еще раз закрепитьнавыки решения систем линейных уравнений с двумя неиз- 19048ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯвестными (с.
28).:⎧⎨1⎩2:⎧⎨2⎩3:⎧⎨1⎩3⎧⎨6 + = 10⇒⎩ + = 5⎧⎨ + = 5⇒⎩3 − 2 = 10⎧⎨3 − 2 = 10⇒⎩6 + = 10⇒⎧⎨ = 1⎩ = 4⇒⎧⎨ = 4⎩ = 1⎧⎨ = 2⇒⎩ = −2Построим уравнения прямых 1 , 2 и 3 . Отметим на графикеточки , , и проведем через них прямые:ПрямаяТочкиУравнение прямой1, 6 + = 102, + =53, 3 − 2 = 10Графики прямых 1 , 2 и 3 изображены на рис. 5. Теперь,чтобы найти полуплоскость, на которой 6 + > 10, подставим в левую часть неравенства координаты любой не лежащей на прямой 6 + = 10 точки.
Мы подставим координаты точки (0; 0). Неравенство не выполняется, значит,6 + < 10 по другую сторону прямой 1 , на графике поправую сторону. Аналогичная подстановка показывает, чтонеравенство + < 5 выполняется для точек, лежащих§ 1.5. Неравенства49Рис. 5.Треугольник ABCслева от прямой 2 , а неравенство 3 − 2 < 10 – для точек,расположенных левее прямой 3 − 2 = 10. Поскольку насинтересует геометрическое место точек, для которых выполняются одновременно три неравенства, решением системыбудет множество пар (; ), являющихся координатами точек, принадлежащих одновременно всем трем рассмотренным полуплоскостям.Ответ: решением будет множество точек треугольника ,включая границу, поскольку все неравенства нестрогие.Пример 3.
Допустим, наше предприятие может выпускать 191два пользующихся спросом на рынке изделия и , дляпроизводства которых требуются три вида ресурсов: токарный станок, фрезерный станок и сварочная аппаратура. По50ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯдоговору аренды, в этом квартале мы располагаем 800 часами рабочего времени токарного станка, 700 – фрезерногои 640 часами сварочной аппаратуры. Для производства одной партии изделия требуется 8 часов времени токарногостанка, 3 – фрезерного и 8 часов сварочной аппаратуры.Для производства партии изделия те же ресурсы нужны в объемах 10, 10 и 5 соответственно. Изделие можнореализовать на рынке по цене 30 тысяч рублей за партию,изделие – 60 тысяч рублей за партию. Требуется составить план производства изделий и , при котором доходс продаж будет максимальным.
Иными словами, перед нами стоит вопрос: в каком объеме мы должны производитькаждое изделие?Решение. Оформим условия задачи в виде таблицы:Изделие Изделие ЛимитТокарный станок810800Фрезерный станок310700Сварочное оборудование856403060РесурсЦенаОбозначим количество партий изделий и переменными и соответственно, тогда каждому реальному производственному плану будет соответствовать точка на плоскостис координатами (; ) (рис.
6). На производство партийизделия уйдет 8 часов работы токарного станка, а напроизводство партий изделия – 10 часов. Значит, для§ 1.5. НеравенстваРис. 6.51Область производственных возможностейвыполнения плана (; ) потребуется 8 + 10 часов работытокарного станка, при этом мы не можем затратить более800 часов.
Таким образом, должно выполняться неравенство 8 + 10 ≤ 800. Учитывая также естественные ограничения ≥ 0 и ≥ 0, изобразим на плоскости область наших производственных возможностей, геометрическое место всех пар (; ), которые реально можно произвести, если52ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯединственным ограничением является рабочее время токарного станка. Эта область представлена на рис. 6а. На графике прямая 8 + 10 = 800 обозначена 1 . Аналогично ограничения, связанные с арендой фрезерного станка, выразятсянеравенством 3 + 10 ≤ 700, и область производственныхвозможностей сузится до изображенной на рис. 6б.
Прямая3 + 10 = 700 обозначена на графике 2 . Наконец, ограниченность последнего ресурса означает 8 + 5 ≤ 640 и область производственных возможностей примет окончательный вид (рис. 6в). Это множество всех пар (; ), которыемы в состоянии произвести. Таким образом, область производственных возможностей задана системой неравенств⎧⎪⎪8 · + 10 · ≤ 800;⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 · + 10 · ≤ 700;⎪⎪⎨8 · + 5 · ≤ 640;⎪⎪⎪⎪⎪ ≥ 0;⎪⎪⎪⎪⎪⎩ ≥ 0.Осталось решить, какой производственный план будет оптимальным? В соответствии с условиями задачи, партийизделия дадут доход с продаж 30, а партий изделия – 60 тысяч рублей. Итого: 30 + 60.
Пусть – доход с§ 1.5. Неравенства53продаж, тогда решениями уравнения 30 + 60 = при соблюдении известных ограничений будут все пары (; ), дающие доход . Например, доход 2 миллиона 400 тысяч рублей можно получить, приняв план, соответствующий точкам (0; 40) или (80; 0), а также любой другой точке, лежащей на отрезке ,т. е.на пересечении прямой30 + 60 = 2400 с областью производственных возможностей.
Но, вероятно, это неоптимальные планы. Если мы переместим прямую вверх параллельно самой себе, то новой прямой будет соответствовать большее значение . Так,если прямая 30 + 60 = пройдет через точку (0; 60) наоси , доход составит 3 миллиона 600 тысяч рублей. Однако мы не можем поднять прямую на любую высоту. Мыможем двигать ее вверх параллельно самой себе до тех пор,пока она имеет общие точки с областью производственныхвозможностей. Таким образом, мы остановимся тогда, когда прямая 30 + 60 = пройдет через точку . Найдем еекоординаты::⎧⎨1⎩2⇒⎧⎨8 + 10 = 800⎩3 + 10 = 700⎧⎨ = 20⇒⎩ = 64Тогда доход с продаж: 30 · 20 + 60 · 64 = 4440.Ответ: оптимальный план выпуска – 20 партий изделия и 64 партии изделия . Доход с продаж при этом составит54ГЛАВА 1.
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ4 миллиона 440 тысяч рублей.Задача на оптимизацию, которую мы сейчас рассмотрели,относится к классу задач линейного программирования. Этотраздел математики появился в 30-х годах XX века после выхода статьи Леонида Витальевича Канторовича «Математические методы организации и планирования производства».В линейном программировании предполагается наличие линейной целевой функции и линейных ограничений. Задача о Леше и Гоше (с. 23) также является задачей линейногопрограммирования. Когда для достижения максимума илиминимума целевой функции мы варьируем только двумя переменными, задача имеет простую геометрическую интерпретацию. В случае трех переменных областью производственных возможностей стал бы многогранник в трехмерном пространстве.
Рисовать трехмерные чертежи не каждому по силам. В случае еще большего числа переменныхнам пришлось бы выйти в многомерное пространство. Например, если бы в последнем примере наше предприятиемогло производить 10 видов изделий, задачу пришлось бырешать в 10-мерном пространстве на некотором гипермногограннике, а двигать пришлось бы не прямую, а 9-мернуюгиперплоскость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
