Алгебраические_уравнения (835788), страница 2
Текст из файла (страница 2)
ℜ = (−∞; +∞) – множество вещественных чисел. Поскольку каллиграфы сейчас стали большой редкостью,в конспектах и на доске этот символ обычно изображают как с двойной вертикальной чертой.18. ∈ ℜ – является вещественным числом.19. {(, 2)}, где ∈ ℜ – множество всех пар (, ), в которых – произвольное вещественное число, а = 2.20. {(, 2)| ∈ ℜ} – то же, что и {(, 2)}, где ∈ ℜ.21. (ℜ, 2) – то же, что и {(, 2)| ∈ ℜ}.22. {(, )}, где , ∈ ℜ – множество всех пар вещественных чисел или всех точек плоскости.23. (ℜ, ℜ) – то же, что и {(, )}, где , ∈ ℜ.1124.
() – некоторый многочлен степени от переменной . Для этой цели также в книге иногда используются обозначения: (), () или ().25. () – некоторый линейный член, т. е. выражение вида + , где и – константы.26. & – логическое «И».27. ∨ – логическое «ИЛИ».28. ( ̸= 2)&( ̸= 3) – истинны одновременно два утверждения: ( ̸= 2) и ( ̸= 3).29. ( ̸= 2) ∨ ( ̸= 3) – истинно утверждение ( ̸= 2), или( ̸= 3) или ( ̸= 2)&( ̸= 3).30. ∀ – любое .31. ∃ – существует .Введение9⇔19 Как следует из названия книги, нам предстоит заняться поиском неизвестных. Поиск «неизвестных» – уделне только математиков.
Ежедневно этим делом занимаютсялюди, профессии которых не связаны с точными науками.Так, врач, опираясь на результаты осмотров, обследованийи анализов, пытается установить болезнь; сыщик на основании порой несвязных показаний очевидцев ищет преступника; археолог по найденым артефактам изучает быт давноисчезнувших цивилизаций. Все перечисленные выше ситуации объединяет то обстоятельство, что нельзя непосредственно увидеть, измерить интересующий нас объект – внашем распоряжении имеется лишь ряд фактов, зафиксированных в утверждениях о нем, и каждое утверждение сужает круг поиска.
Как когда-то заметил Платон, «мы видимтолько тени вещей». И по этим теням нам надо воспроизвести объект. Пусть, например, фирма N ищет сотрудника свысшим экономическим образованием не старше 40 лет, владеющего английским языком и имеющего навыки работы наперсональном компьютере.
Значит, фирма ищет некоторого13гражданина X, для которого истинны утверждения:⎧⎪имеет высшее экономическое образование;⎪⎪⎪⎪⎪⎨не старше 40 лет;⎪⎪владеет английским языком;⎪⎪⎪⎪⎩имеет навыки работы на персональном компьюторе.Фигурная скобка означает, что все указанные выше четыре утверждения должны быть истинными одновременно, тоесть между утверждениями можно поставить «логическоеИ».
Если бы в объявлении было написано: «Требуются слесари, электрики и сварщики», утверждения следовало поместить в квадратную скобку:⎡X слесарь;⎢⎢ X электрик;⎣X сварщик.В данном случае квадратная скобка говорит о том, что длякандидата на рабочее место должно быть выполнено хотябы одно из перечисленных условий, между утверждениямиподразумевается «логическое ИЛИ», несколько отличающееся от того «ИЛИ», которое мы часто используем в быту. Вбыту, говоря «А ИЛИ Б», мы можем подразумевать «либо А, либо Б». «Логическое ИЛИ» всегда означает «либо А,14ВВЕДЕНИЕлибо Б, либо А и Б одновременно». В нашем случае допускается, что слесарь одновременно может быть и электриком,и сварщиком.Любое уравнение или неравенство с одной или несколькиминеизвестными по сути является утверждением о равенствеили соответственно неравенстве двух выражений, и его решениями будут те наборы неизвестных, при которых утверждение истинно.
Набор таких утверждений, заключенный вфигурную (квадратную) скобку, называют системой уравнений и (или) неравенств. Отдельное уравнение или неравенство также можно рассматривать как частный случайсистемы, состоящей из одного утверждения. Две системыназывают эвивалентными или равносильными, если множества их решений совпадают. В таком случае уравнения−1 = ( − 1), 2 = 0 и ( − 1)2 = 0 эквивалентны.Хорошей физической моделью уравнения являются весы, наодной чаше которых стоит груз неизвестного веса, а на другой – гири. Единственный недостаток модели – отсутствиегирь и грузов с отрицательным весом.Алгебраическим уравнением (неравенством) называют уравнение (неравенство), в левой части которого находится многочлен степени ≥ 0, а в правой – ноль.
Многочлен или полином можно рассматривать как сумму одночленов или мономов, каждый из которых представляетсобой произведение с числовым коэффициентом нескольких15переменных, возведенных в целые неотрицательные степени. Степенью, или порядком, монома называют суммустепеней входящих в него переменных. Степень многочлена– наибольшая степень входящего в него монома. В частности, многочленом, или полиномом, степени от одной переменной называется выражение вида () = 0 + 1 −1 + .
. . + −1 + .При этом 0 называют старшим членом, соответственно0 – старшим коэффициентом многочлена, а – свободнымчленом. Коэффициенты многочлена , где = 0, 1, . . . ,в общем случае мы будем считать вещественными числами.Многочлен степени = 1 называют линейным членом.В курсе математики средней школы мы сталкиваемся такжес «многочленами бесконечной степени»:11= 1 + + 2 + 3 + . . .
и= 1 − + 2 − 3 + . . .1−1+Это, безусловно, суммы бесконечных геометрических прогрессий со знаменателями, соответственно и (−), которые сходятся при ||< 1 и определяются как)︀(︀lim 1 + + 2 + 3 + . . . + →∞(︀)︀и lim 1 − + 2 − 3 + . . . + (−1) .→∞16ВВЕДЕНИЕВ высшей математике такие «многочлены» называют степенными рядами. Степенные ряды позволяют нам находить значения элементарных и ряда других функций.
3 5 7+−+ ...,3!5!7!2 4 6cos() = 1 −+−+ ...,2!4!6!2 3 4 = 1 + ++++ . . . , где ! = 1 · 2 · 3 . . . .2!3!4!Например, sin() = −Так,(︂ )︂11111sin≈ −= −≈ 0, 4792.22 8 · 3!2 48Значение этой величины с точностью до семи цифр послезапятой – 0, 4794255. Таким образом, уже первые два членастепенного ряда позволили нам найти значение функции сточностью до трех значащих цифр. Однако в курсе среднейшколы со степенными рядами знакомятся только учащиесяфизико-математических классов и непосредственного отношения к теме нашей книги эти ряды не имеют.В курсе алгебры мы привыкли иллюстрировать рассуждения и их результаты графиками, то есть некоторыми геометрическими объектами, и само слово «алгебра» у многихассоциируется с изображением параболы.
Тем не менее длительное время алгебра развивалась в отрыве от геометрии,и только в XVII веке французский философ и математикРене Декарт ввел на плоскости систему координат, которая17позволила установить соответствие между алгебраическимиуравнениями и кривыми на плоскости. Оказалось, уравнению = + соответствует прямая, пересекающая ось в точке (0; ) и составляющая с осью угол , такой, что () = ; уравнению ( − )2 + ( − )2 = 2 –окружность радиуса с центром в точке с координатами(; ); а уравнению 2 − 2 = 0 – пара прямых + = 0 и− = 0. Таким образом, решениям уравнения соответствует геометрическое место точек с координатами (; ), приподстановке которых уравнение обращается в тождество,а решениям систем – точки пересечения соответствующихгеометрических мест.
Однако уравнение, связывающее двепеременные, не всегда определяет кривую. Так, уравнение2 + 2 = 0 имеет единственное решение – (0; 0). Если уравнениям, связывающим три переменные , и , соответствуютповерхности в трехмерном пространстве, то системам двухуравнений обычно соответствуют линии их пересечения, атрех – точки. Определить, что будет решением уравнения,иногда непросто. Для примера возьмем точку трехмерногопространства с координатами (1; 2; 3).
Системы⎧⎪=1⎪⎪⎨=2⎪⎪⎪⎩=3⎧⎪=1⎪⎪⎨⇔ = 2⎪⎪⎪⎩ = 3⎧⎪−1=0⎪⎪⎨⇔ − 2 = 0⎪⎪⎪⎩ − 3 = 0эквивалентны. В свою очередь последняя система уравне-18ВВЕДЕНИЕний эквивалентна уравнению (−1)2 +(−2)2 +(−3)2 = 0,посколькуоно имеет единственное решение (1; 2; 3). Рас-крыв скобки и приведя подобные, мы придем к уравнению142 − 2 − 4 − 6 + 2 + 2 + 1 = 0.Согласитесь, если б не мы составили это уравнение, решитьего было бы непросто. Но мы-то точно знаем его единственное решение: = 1; = 2; = 3, которому соответствуетне поверхность, а точка трехмерного пространства.Предлагаемая книга состоит из трех глав, в каждой из которых материал расположен по нарастанию сложности.
Благодаря системе ссылок и других средств навигации, книгуможно читать с любого места и в любом направлении. Поэтому если при первом чтении какой-либо вопрос вызываетзатруднение, можно пропустить его и двигаться дальше илиобратиться к дополнительной литературе. Биться головой остену не лучшее занятие, но, прежде чем отложить решениезадачи, приложить усилия все-таки надо. Решение задачи, над которым вы долго думали, дня через три можетсамо прийти в голову, но никогда само не придет в головурешение задачи, над которым вы не думали.
Если что-тосразу не получится – это нормально. Мы растем на решении тех задач, которые не умеем решать!Глава 1. Линейные уравненияЛинейные уравнения – первые уравнения, с которыми мывстречаемся в школе и пройти мимо которых нам не удастсяни в одном разделе высшей математики.§ 1.1. Уравнения с одной неизвестной12 ⇔ 20 В общем виде линейное уравнение с одной неизвестной можно записать так: = , где – неизвестнаявеличина, а и – параметры.
В зависимости от значенийпараметров уравнение может иметь бесконечное множестворешений, одно единственное или же не иметь решений:1) = 0. Здесь могут быть два случая.1.1) = 0. Уравнение принимает вид 0 · = 0. Его решениембудет любое вещественное . Иначе говоря, множество решений ℜ = (−∞; +∞).1.2) ̸= 0. Решений нет, т. е. множество решений – Ø.2) ̸= 0. Единственное решение = .Пример.Дано уравнение(2 − 5 · + 6) = 22 − 3 − 2.Найти решение относительно неизвестной величины .Решение:1) Коэффициент при равен нулю, если 2 − 5 + 6 = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
