Алгебраические_уравнения (835788), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Здесь придется отказаться от наглядностии привлечь аппарат линейной алгебры.Задачи к параграфу на с. 190, п. 5–7.Глава 2. Уравнения второго порядка§ 2.1. Основные алгебраические тождества45⇔59 В представленной ниже таблице сформулированыосновные свойства операций сложения и умножения вещественных чисел.№Сложение№Умножение1Коммутативный закон:1Коммутативный закон: · = · .
+ = + .2Ассоциативный закон:2( · ) · = · ( · ).( + ) + = + ( + ).345Существует такоеАссоциативный закон:3Существует такоечисло 0, что для ∀ число 1, что для ∀ + 0 = . · 1 = .Для ∀ 4Для ∀ ̸= 0существует такое числосуществует такое число−, что + (−) = 0−1 , что · −1 = 1Дистрибутивный закон: · ( + ) = · + · При решении уравнений и неравенств трудно избежать тождественных преобразований. Смысл тождественного преобразования состоит в замене одного выражения другим, тождественным исходному. Выражение тождественно исходному, если при любом наборе значений входящих в негопеременных оно принимает то же значение, что и исходное.
Основные алгебраические тождества выводятся непо-56ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКАсредственно из представленных выше свойств операций сложения и умножения. Как вы, наверно, заметили, первые4 свойства для сложения и умножения чем-то похожи.
В математике множество, элементы которого относительно какойлибо операции обладают свойствами (1–4), называют коммутативной группой. Множествам такого рода посвященцелый раздел математики, который называюттеориейгрупп. Таким образом, вещественные числа образуют коммутативную группу относительно операций сложения и умножения. Пятое свойство устанавливает связь между операциями. Наличие противоположных и обратных чисел позволяет ввести еще две операции, без которых в принципе можнообойтись, но с которыми удобней: вычитание (как прибавление противоположного числа) и деление (как умножениена обратное). Теперь для вывода любого из приведенныхниже основных алгебраических тождеств достаточно раскрыть скобки и привести подобные члены:1) ( + )2 = 2 + 2 + 2 ;2) ( − )2 = 2 − 2 + 2 ;3) ( + )3 = 3 + 32 + 32 + 3 ;4) ( − )3 = 3 − 32 + 32 − 3 ;5) 2 − 2 = ( + ) · ( − );6) 3 + 3 = ( + ) · (2 − + 2 );7) 3 − 3 = ( − ) · (2 + + 2 );8) + = ( + ) · (−1 − −2 + −3 2 + .
. . − −2 + −1 )§ 2.1. Основные алгебраические тождества57(для нечетных !!!);9) − = ( − ) · (−1 + −2 + −3 2 + . . . + −2 + −1 );10) иногда полезно знать:( + + )2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2,т. е. квадрат суммы чисел равен сумме их квадратов и сумме всех возможных их попарных удвоенных произведений;формулировка справедлива и для первого в нашем спискетождества, касающегося квадрата суммы двух чисел.Последние тождества также легко проверить, раскрыв скобки и приведя подобные.
Например,( − ) · (−1 + −2 + −3 2 + . . . + −2 + −1 ) == + −1 + −2 2 + . . . + 2 −2 + −1 −− −1 − −2 2 − −3 2 − . . . − −1 − = − .Теперь о выражении ( + ) , которое называют биномомНьютона. Здесь – неотрицательное целое число. Случаи = 2 и = 3 представлены выше, (+)0 = 1, (+)1 = +.Если раскрыть скобки, бином примет вид( + ) = 0 + 1 −1 + 2 −2 2 + . . . + .В первом слагаемом правой части равенства бинома присутствует -я степень и нулевая степень , а затем в каждомследующем слагаемом степень на единицу уменьшается, а58ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКАстепень на единицу увеличивается.
Таким образом, суммастепеней и всегда остается равной . При каждом произведении степеней и присутствует коэффициент, которыйобозначен , где – степень бинома, – номер коэффициента, начиная с нулевого. Найти биномиальные коэффициенты для любой степени бинома нетрудно, если воспользоваться треугольником Паскаля:11111123451136101410151Здесь крайние коэффициенты бинома любой степени всегда равны единице, а каждый из остальных получается сложением двух вышестоящих. Последнее нетрудно доказать.Действительно,( + )+1 = ( + ) · ( + ) =)︀(︀= 0 + 1 −1 + 2 −2 2 + . .
. + · ( + ) == 0 +1 + 1 + 2 −1 2 + . . . + ++ 0 + 1 −1 2 + 2 −2 3 + . . . + +1 =(︀)︀(︀)︀= 0 +1 + 0 + 1 + 1 + 2 −1 2 +. . .+ +1 ,§ 2.2. Квадратный трехчлен59откуда следует:+1012+1= 0 ; +1= 0 +1 ; +1= 1 +2 ; . . . ; +1= ,что мы и наблюдаем в треугольнике Паскаля.Из формулы бинома ( + ) нетрудно получить формулудля ( − ) . Поскольку нечетная степень (−1) равна (−1),а четная – 1, достаточно у каждого второго слагаемого вразложении бинома заменить «+» на «−»:( − ) = 0 − 1 −1 + 2 −2 2 + . . .
+ (−1) .§ 2.2. Квадратный трехчлен55⇔80 Выражение вида () = 2 + + называютквадратным трехчленом, коэффициент при 2 – старшим коэффициентом, – свободным членом. Квадратные уравнения, т. е. уравнения с квадратным трехчленомв левой части умели решать еще в Древнем Вавилоне за2000 лет до нашей эры. Необходимость решать такие уравнения возникала при измерении площадей, в процессе выполнения земельных работ для военных нужд и при астрономических расчетах.Пример 1.
Требуется построить спортивную площадку 192площадью 1800 м2 прямоугольной формы. При этом ее длина должна быть на 5 м больше ширины. Какими должныбыть длина и ширина площадки?Решение. Пусть – ширина площадки, тогда + 5 – ее60ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКАдлина, а площадь равна · ( + 5) = 1800. Раскрыв скобки после несложных преобразований, придем к уравнению2 + 5 − 1800 = 0. Его корни: (−45) и 40. Отбросив отрицательное решение, оставим = 40.Ответ: ширина – 40 м, длина – 45 м.Квадратный трехчлен может не иметь вещественных корней, может иметь два совпадающих или два различных корня в зависимости от значения дискриминанта = 2 − 4.Корням трехчлена соответствуют точки пересечения оси с графиком функции = 2 + + (рис.
7 и 8).Разложим квадратный трехчлен на линейные множители:Рис. 7.Ветви параболы направлены вверхРис. 8.Ветви параболы направлены вниз§ 2.2. Квадратный трехчлен(︂61)︂ + + = + +=]︃[︃(︂(︂)︂)︂2222 − 4= 2 + 2 + 2 − 2 += · +−.2 4424222Выражение в правой части последнего равенства не можетравняться нулю, если 2 − 4 < 0, т. е. когда в квадратных(︀)︀ 2скобках окажется сумманеотрицательногочисла+2(︁ 2)︁−42и положительного − 4.Еслиже−4≥0,2[︃(︂+2)︂2]︃[︃(︂)︂2 (︂ √ 2)︂2 ]︃2 − 4 − 4−−,= +4222и согласно тождеству о разности квадратов выражение раскладывается в произведение двух линейных членов:(︂ ++√2 − 42√)︂ (︂)︂ − 2 − 4+.2Таким образом, квадратный трехчлен обращается в нольпри1,2 =±√2 − 4.2Величину = 2 − 4 называют дискриминантом квадратного трехчлена.
При = 0 корни совпадут.Пример 2. Найти корни квадратного трехчлена 22 +2+3. 192Решение. = 4 − 4 · 2 · 3 = −20 < 0.Ответ: Вещественных корней не существует.62 192ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКАПример 3. Найти корни квадратного трехчлена 42 −4+1.Решение. = 16 − 4 · 4 · 1 = 0. Трехчлен имеет два совпадающих вещественных корня 1,2 = 12 .Ответ: два совпадающих корня 12 .
192Пример 4. Найти корни квадратного трехчлена 22 +−6.Решение. = 1 − 4 · 2 · (−6) = 49. Трехчлен имеет два вещественных корня1,2√−1 ± 49−1 ± 7==.44Ответ: −2 и 32 .Хотя поиск корней квадратного трехчлена осуществляетсяпо алгоритму и не является творческим процессом, полезно знать ряд приемов, позволяющих иногда упростить этуи без того простую задачу. Ведь именно на мелочах можновыиграть немало ценного времени. Если коэффициент при в выражении 2 + + = 0 является целым четным числом = 2, то уравнение принимает вид 2 + 2 + = 0,2дискриминант = 42 − 4√ = 4( − ).
Если ≥ 0, суще-ствуют корни 1,2 =2±22 −.2Числитель и знаменательпоследней дроби сократим на 2. Теперь корни квадратноготрехчлена вида 2 + 2 + = 0 находятся следующим образом:1) определим /4 = 2 − ;2) если /4 < 0, решений нет; иначе 1,2 =√±2 −.§ 2.2. Квадратный трехчлен63Пример 5. Найти корни квадратного трехчлена23 + 10 − 8.Решение. Заметим, что 10 = 2 · 5, /4 = 25 − 3 · (−8) = 49.Трехчлен имеет два вещественных корня1,2√−5 ± 49−5 ± 7==.34Ответ: −4 и 23 .Если мы применим обычную формулу, придется иметь делос дискриминантом, равным 196. Может показаться, что выигрыш не так уж велик, но школьные задачи ориентированы на расчеты «вручную», и потому обычно коэффициентыв квадратных трехчленах – целые числа, а значит, примерно в половине случаев коэффициент при – четное число.Если при этом дискриминант большой, время вычисленийсокращается в разы.Пусть теперь коэффициент при 2 равен единице.
Если трехчлен 2 + + имеет вещественные корни 1 и 2 , он раскладывается в произведение двух линейных членов:2 + + = ( − 1 ) · ( − 2 ) = 2 − (1 + 2 ) · + 1 2 .Таким образом, коэффициенты квадратного трехчлена и егокорни связаны соотношениями, которые являются частным 19264ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКАслучаем теоремы Виета:⎧⎨1 + 2 = −;⎩ = .1 2Последние соотношения во многих случаях и при должном навыке позволяют легко угадывать корни. Например,2 − 5 + 6. Можно угадать, что два числа, сумма которыхравна 5, а произведение 6, – это 2 и 3.
Если дан квадратныйтрехчлен 2 + − 2, то сумма корней равна (−1), а произведение (−2). Можно угадать корни: (−2) и 1. Если свободныйчлен отрицателен, корни имеют разные знаки. Корни ищемсреди делителей свободного члена. Таким образом, если целых корней нет – нам не повезло.Упражнения. Опираясь на теорему Виета, угадайте корниследующих трехчленов:2 − − 2;2 + 7 + 10;2 + 2 − 3;2 + 5 + 6;2 − 7 + 10;2 − 2 − 3;2 − − 6;2 + 3 − 10;2 − 4 + 3;2 + − 6;2 − 10 + 21;2 + 4 + 3.Результаты обязательно проверьте подстановкой. Если вывыполнили все задания, то должны заметить, что навыкразвивается очень быстро.
192Пример 6. Решить уравнение с параметром(2 + − 2) 2 + (22 + + 3) + 2 − 1 = 0.§ 2.2. Квадратный трехчлен65Решение:1) 2 +−2 = 0 при = −2 или = 1. Уравнение становитсялинейным.1.1) При = −2 уравнение принимает вид9 + 3 = 0 ⇒ = − 13 .1.2) При = 1 уравнение принимает вид 6 = 0 ⇒ = 0.2) При ̸= −2 и ̸= 12 = (2 + + 3) − 4 · (2 − 1)(2 + − 2) == 252 + 10 + 1 = (5)2 + 2 · 5 + 1 = (5 + 1)2 ≥ 0.Значит, вещественные корни существуют при любом .√︀⎧⎨−5 − 1, если < − 1 ;52(5 + 1) = |5 + 1|=⎩5 + 1, если ≥ − 1 .5Однако |5 + 1| фигурирует в формулах со знаком «±», поэтому всегда рассматриваются оба случая: «+» и «−».−(22 + + 3) ± |5 + 1|;2( + 2)( − 1)−22 − − 3 − 5 − 1−2( + 2)( + 1)+11 ===−;2( + 2)( − 1)2( + 2)( − 1)−1−2( − 1)2−1−22 − − 3 + 5 + 12 ===−.2( + 2)( − 1)2( + 2)( − 1)+21,2 =Ответ:1) = − 13 при = −2.2) 0 при = 1.66ГЛАВА 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
