Алгебраические_уравнения (835788), страница 3
Текст из файла (страница 3)
18820ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯКорни квадратного трехчлена: 1 = 2, 2 = 3.1.1) = 2 ⇒ 0 · = 0. Множество решений – ℜ.1.2) = 3 ⇒ 0 · = 7. Множество решений – Ø.2) При ( ̸= 2)&( ̸= 3) уравнение имеет единственное решение:=2( − 2)( + 12 )2 · 2 − 3 − 22 + 1⇒=⇒=.2 −5·+6( − 2)( − 3)−3Ответ:1) ℜ при = 2.2) Ø при = 3.3) =2+1−3при ( ̸= 2)&( ̸= 3).Задачи к параграфу на с. 188, п. 1.§ 1.2.
Уравнения с двумя неизвестными19⇔28 Линейное уравнение с двумя неизвестными в общем виде: + = . Поскольку уравнение связываетдве неизвестные величины, решениями его будет множествопар (; ), которое можно интерпретировать как геометрическое место точек плоскости.
Если коэффициенты при и не равны одновременно нулю, такому уравнению соответствует прямая на плоскости. Многим более привычна записьуравнения прямой в виде = +·, где – отрезок, отсекаемый прямой на оси , а – угловой коэффициент прямой,т. е. тангенс угла наклона прямой по отношению к оси .§ 1.2. Уравнения с двумя неизвестными21Такое уравнение также является линейным, но «не в общемвиде», поскольку не может задать прямую, параллельнуюоси . Исследуем уравнение.1) ( = 0)&( = 0).1.1) = 0. Уравнение принимает вид 0 · + 0 · = 0. Егорешением будет множество всех пар вещественных чисел:{(; )}, где , ∈ ℜ.
Иначе множество решений можно записать в виде (ℜ; ℜ). Это множество всех точек плоскости.1.2) ̸= 0. Уравнение принимает вид 0 · + 0 · = . Множество решений – Ø.2) ( ̸= 0)&( = 0). Задача сводится к решению линейногоуравнения с одной неизвестной · = . Решением будетмножеств пар{︁(︁ }︁ (︁ )︁; | ∈ ℜ =;ℜ .)︁Этому множеству соответствует прямая, параллельная оси и пересекающая ось в точке(рис. 1б).3) ( = 0)&( ̸= 0). Решением будет множество пар{︁(︁ )︁}︁ (︁ )︁;| ∈ ℜ = ℜ;.Этому множеству соответствует прямая, параллельная оси и пересекающая ось в точке(рис.
1а).22ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ4) ( ̸= 0)&( ̸= 0). Решение можно записать в виде{︂(︂)︂}︂ − ;| ∈ ℜ .Ему соответствует прямая на плоскости, непараллельная ниодной из координатных осей: =−(рис. 1в).Если коэффициенты уравнения и свободный член являютсяфункциями некоторой переменной, например , то говорятоб однопараметрическом семействе линейных уравнений или об однопараметрическом семействе прямых.Рис.
1. 188Прямые на плоскостиПример 1. Исследовать уравнение(2 + 3 + 2) + (2 − 2 − 3) = 2 − 4.Решение. Здесь мы имеем дело с однопараметрическим семейством линейных уравнений. Разложив соответствующиеквадратные трехчлены на множители, получим:( + 1)( + 2) + ( + 1)( − 3) = ( − 2)( + 2).1) Коэффициенты при и одновременно равны нулю толь-§ 1.2. Уравнения с двумя неизвестными23ко при = −1. В этом случае уравнение примет вид0 · + 0 · = −3. Множество решений – Ø.2) При ̸= −1 можно рассмотреть два случая.2.1) Если = 3, то 20 = 5 ⇒ = 41 .2.2) Если ̸= 3, решение можно записать в виде=2 − 4+2−· .( + 1)( − 3) − 3Ответ:1) Ø при = −1.2) {( 14 ; )| ∈ ℜ} при = 3.3) Во всех остальных случаях решениями будут все пары(; ), связанные соотношением ={︂(︂2 −4(+1)(−3)−+2−3· , т.
е.)︂}︂2 − 4+2;−· | ∈ ℜ .( + 1)( − 3) − 3Таким образом, если вас попросят указать решения уравнения 2 + 3 = 6, вы смело можете сказать, что это всепары вещественных чисел (, ), удовлетворяющие отношению 2 + 3 = 6, или записать множество решений в виде{(, )|2 + 3 = 6; , ∈ ℜ}.Пример 2.
Леша и Гоша подрядились на работу. Требова- 188лось напечатать тексты, разложить их по конвертам, подписать и заклеить конверты. Известно, что Леша печатаеттекст за 5 минут, а работа с конвертом занимает у него всего24ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ1 минуту. Гоше для печатания текста требуется 10 минут, аконверт он оформляет за 5 минут. Очевидно, Леша за часможет выполнить 10 единиц работы, а Гоша только 4. Работая отдельно, они в сумме выполнят за час 14 единиц работы, иначе говоря, производительность команды составит14 единиц продукции в час. Вопрос: можно ли распределитьработу так, чтобы общая производительность команды увеличилась? Иногда с ходу предлагают поручить Леше, каксамому расторопному, более трудоемкую операцию с текстами, а Гоше оставить работу с конвертами.
Но тогда Леша зачас напечатает 12 текстов, а Гоша за это время справится с12 конвертами. Еще хуже! Найдем оптимальное решение.Решение. Поскольку Леша набирает 5 текстов в час, производительность его труда по текстам равна 12 единиц вчас. Это производительность по конкретной производственной операции. Соответственно, его производительность поконвертам – 60 ед./ч. Производительность труда Гоши потекстам – 6, по конвертам – 12 ед./ч. Нам предстоит ответить на вопрос: какую долю времени каждый из них должентратить на тексты, а какую на конверты? Обозначим долювремени, отведенную работе с текстом, для Леши через , адля Гоши через . Тогда они вместе за час должны набрать12 + 6 текстов.
Доли времени, отведенные на конвертыдля Леши и Гоши, составят соответственно 1 − и 1 − , т. е.§ 1.2. Уравнения с двумя неизвестными25все время, свободное от работы с текстами. За это время ониоформят 60(1 − ) + 12(1 − ) конвертов. Количество напечатанных текстов должно равняться количеству конвертов:12+6 = 60(1−)+12(1−). Приведя подобные и сокративлевую и правую части полученного уравнения на 18, получим 4+ = 4. Распределение времени для Леши и Гоши однозначно определяется парой (; ), которую можно считатькоординатами некоторой точки на плоскости.
Чтобы количество текстов совпало с количеством конвертов, эта точкадолжна лежать на прямой : 4 + = 4 (рис. 2). Крометого, по смыслу задачи на величины и накладываютсяограничения , ∈ [0; 1]. Тогда все допустимые пары (; )Рис. 2.Точка соответствует оптимальному планудолжны лежать на отрезке AC. Количество единиц конечного продукта равно количеству текстов: = 12 + 6. В част-26ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯности, при = 12 уравнение принимает вид 12 + 6 = 12(прямая 1 на рис.
2). Эта прямая пересекается с отрезком в точке (1; 0). Если теперь мы начнем увеличивать значение параметра , прямая 12 + 6 = будет смещатьсявверх параллельно самой себе. Когда прямая займет положение 2 , она пересечет отрезок в точке , соответствующей случаю, когда Леша и Гоша работали по отдельности = 65 ; = 46 , т. е. когда команда производила 12 + 6 = 14единиц конечного продукта. Итак, со смещением прямой 1вверх параллельно самой себе производительность команды растет. К сожалению, двигать прямую вверх без концамы не можем. Действуют ограничения. Самое верхнее допустимое положение 1 – это 3 , когда прямая пересекаетотрезок в точке ( 34 ; 1).
В этом случае 12 + 6 = 15.Ответ: команда достигнет максимальной производительности труда – 15 единиц конечного продукта в час, если Лешатри четверти часа будет заниматься текстами и четверть часа конвертами, а Гоша только текстами.Немного теории. Если функция = () определена и дифференцируема на всей вещественной оси или некотором ееинтервале, в любой точке ее области определения существует касательная. Уравнение прямой, касающейся графикафункции в точке с координатами (, ()), можно предста′вить в виде = () + () · ( − ).
Когда принимает значения из области определения (), касательная принимает§ 1.2. Уравнения с двумя неизвестными27положения прямых соответствующего семейства. Сам график функции = () является по отношению к полученному семейству прямых огибающей кривой, т. е.
кривой,которая в каждой своей точке касается некоторой прямойданного семейства.Пример 3. Дана функция () = 3 − 4. Построитьоднопараметрическое семейство касательных к графику ().′Решение. Производная () = 3 · 2 − 4. Следовательно,касательная к графику в точке (, ()) имеет вид = 3 − 4 + (32 − 4) · ( − ) или (32 − 4) · − = 23 .Ответ: (32 − 4) · − = 23 .Семейство касательных изображено на рис. 3.
Таким обра-Рис. 3.Однопараметрическое семейство прямыхзом, каждому значению ∈ ℜ соответствует прямая, касающаяся графика функции в точке (, ()). 18828ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯЗадачи к параграфу на с. 188, п. 1.§ 1.3. Системы двух уравнений20⇔35 Такую систему можно записать в виде⎧⎨1 + 1 = 1 ;⎩ + = .22(1)2Здесь возможны следующие варианты:1) Если12=12=1,2система имеет бесконечное множестворешений. В таком случае обоим уравнениям соответствуетодна прямая на плоскости (рис.
4а). Это значит, одно уравнение можно получить из другого, умножив его на некоторое вещественное число:⎧⎨2 − 3 = 7;⎩4 − 6 = 14.2) Система не имеет решений, если12=12̸=1.2Уравнениямсоответствуют две параллельные прямые (рис. 4б):⎧⎨2 − 3 = 7;⎩4 − 6 = 6.§ 1.3. Системы двух уравнений293) Система имеет единственное решение, если12̸=1.2Та-кой системе соответствуют две пересекающиеся прямые наплоскости (рис. 4в). Поскольку две непараллельные прямыеимеют на плоскости одну точку пересечения, решение здесьсуществует и единственно.В школьном курсе математики обычно рассматривают дваРис. 4.Прямые на плоскостиметода решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными: «подстановка» и «вычитание». Решим систему (1)вторым из перечисленных методов. Пока будем считать, чтовсе коэффициенты системы ненулевые.
Умножим левую иправую части первого уравнения на 2 , а левую и правуючасти второго – на 1 :⎧⎨1 2 + 1 2 = 1 2 ;⎩ + = .2 11 22 1Таким образом, коэффициенты при в обоих уравненияхстали одинаковыми. Теперь из левой части первого уравне-30ГЛАВА 1.
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯния вычтем левую часть второго, а из правой части первого – правую часть второго. Получим линейное уравнение(1 2 − 2 1 ) · = 1 2 − 2 1 . В дальнейшем в таком случае будем для краткости говорить о вычитании из одногоуравнения другого. Аналогично сделаем одинаковыми коэффициенты при :⎧⎨1 2 + 1 2 = 1 2 ;⎩ + = .1 22 12 1Вычитая из второго уравнения первое, получим уравнение(1 2 −2 1 ) = 2 1 −1 2 . Теперь можем записать равенства⎧⎨ =1 2 −2 1;1 2 −2 1⎩ =2 1 −1 2,1 2 −2 1(2)которые, однако, имеют смысл только при отличных от нуля знаменателях дробей: 1 2 − 2 1 ̸= 0 ⇒ 1 2 ̸= 2 1 или12̸=1.2Мы вернулись к хорошо известному нам условию(см. рис.
4в). Если оно выполнено, остается найти единственное решение (; ). Только как запомнить формулы (2)?Для этого введем понятие «определитель»:⃒⃒⃒ ⃒⃒⃒ ⃒⃒ = · − · .⃒ ⃒§ 1.3. Системы двух уравнений31Текст « » над знаком равенства означает «равно по определению». Таблица, ограниченная двумя вертикальными отрезками в левой части равенства, называется определителем второго порядка, или просто определителем. Впервые понятие «определитель» для решения систем линейныхуравнений ввел Лейбниц, но эти работы не были им опубликованы. В 1748 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
