Алгебраические_уравнения (835788), страница 4
Текст из файла (страница 4)
в одном из своих трактатов Маклоренфактически использовал определители для решения системдвух уравнений с двумя неизвестными и трех уравнений стремя неизвестными.Составим определитель из коэффициентов левой части системы уравнений (1) на с. 28. В дальнейшем будем называтьего главным определителем системы и обозначать:⃒⃒⃒ ⃒⃒ 1 1⃒△=⃒⃒ = 1 2 − 2 1 .⃒ 2 2 ⃒Для обозначения определителя мы использовали греческуюбукву «дельта».
Именно от этой буквы когда-то произошлии латинская «D», и русская «Д», и даже «дельта реки». Теперь запишем еще два определителя – △ и △ («дельта »и «дельта »):⃒⃒⃒⃒⃒ ⃒⃒ ⃒⃒ 1 1⃒⃒ 1 1⃒△ = ⃒⃒ = 1 2 − 2 1 и △ = ⃒⃒ = 1 2 − 2 1 .⃒ 2 2 ⃒⃒ 2 2 ⃒32ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯПервый получается из главного путем замены столбца коэффициентов при на столбец свободных членов, второй –заменой столбца коэффициентов при на столбец свободных членов. Теперь выражения (2) можно записать в виде⎧⎨ =△;△⎩ =△.△(3)Новая символика избавила нас от необходимости помнитьсложную формулу и записывать длинную цепочку преобразований.
Для закрепления навыка стоит прорешать несколько систем. Тогда решать эту задачу по-другому вам не захочется. Метод обладает еще одним замечательным свойством– прозрачностью. Здесь трудно сделать такую ошибку, которую нельзя было бы сразу найти. 188Пример 1. Решить систему уравнений⎧⎨2 − 3 = 4;⎩3 + = 1.Решение. Найдем определитель:⃒⃒⃒2 −3⃒⃒⃒△=⃒⃒ = 2 · 1 − 3 · (−3) = 11 ̸= 0.⃒3 1 ⃒§ 1.3. Системы двух уравнений33⃒⃒⃒⃒⃒4 −3⃒⃒2 4⃒⃒⃒⃒⃒△ = ⃒⃒ = 4·1−1·(−3) = 7 и △ = ⃒⃒ = 2·1−3·4 = −10.⃒1 1 ⃒⃒3 1⃒Откуда из равенств (3) следуетОтвет:⎧⎨ =7;11⎩ = − 10 .11Пример 2. Решить систему уравнений 188⎧⎨2 − 3 = 4;⎩4 − 6 = 8.Решение.
Найдем главный определитель:⃒⃒⃒2 −3⃒⃒⃒△=⃒⃒ = 0.⃒4 −6⃒Система либо не имеет решения, либо имеет бесконечноемножество решений. В нашем случае24=−3−6= 84 . Значит,уравнения эквивалентны и решение – бесконечное множество пар вещественных чисел.Ответ: {(, )|2 − 3 = 4; , ∈ ℜ}.Пример 3. Решить систему уравнений⎧⎨2 − 3 = 4;⎩4 − 6 = 7. 18834ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯРешение.
Найдем главный определитель:⃒⃒⃒2 −3⃒⃒⃒△=⃒⃒ = 0.⃒4 −6⃒Система либо не имеет решения, либо имеет бесконечноемножество решений. В нашем случае24=−3−6̸= 47 .Ответ: система не имеет решения. 189Пример 4. Решить систему уравнений с параметром⎧⎨2 + = + 2;⎩( + 1) + 2 = 2 + 4.Решение:⃒⃒⃒ 2 ⃒⃒⃒△=⃒⃒ = 4 − 2 − = − · ( − 3).⃒ + 1 2⃒1) При = 0 и = 3 главный определитель △ = 0.1.1) = 0 ⇒⎧⎨2 = 2⇒ Решений нет.⎩ = 4⎧⎨2 + 3 = 51.2) = 3 ⇒⎩4 + 6 = 10⇒ {(, )|2+3 = 5; , ∈ ℜ}.§ 1.4. Системы трех и более уравнений352) △ ≠ 0, т.
е. ( ̸= 0)&( ̸= 3).⃒⃒⃒+2 ⃒⃒⃒△ = ⃒⃒ = 22 + 4 − 22 − 4 = 0.⃒2 + 4 2⃒⃒⃒⃒ 2⃒+2⃒⃒△ = ⃒⃒ = 4 + 8 − 2 − 3 − 2 = −( − 3)( + 2).⃒ + 1 2 + 4⃒⎧⎧⎨ = △ ⎨ = 0△⇒⎩ = △⎩ = +2△Ответ:1) Ø при = 0.2) {(,⎧ )|2 + 3 = 5; , ∈ ℜ} при = 3.⎨ = 03)при ( ̸= 0)&( ̸= 3).⎩ = +2Задачи к параграфу на с. 188, п. 2–3.§ 1.4. Системы трех и более уравнений28⇔45 Широкий класс технических и экономических задач связан с решением больших систем линейных уравнений.
Так, при проектировании ферм моста количество уравнений может достигать нескольких тысяч. Разумеется, допоявления электронно-вычислительной техники напрямуютакой вычислительный процесс организовать было нереаль-36ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯно. Но нас сейчас будет интересовать алгоритм решения систем линейных уравнений именно «вручную». Настоящийспециалист должен не только правильно поставить задачудля персонального компьютера, но и понимать суть применяемых алгоритмов.
Более того, без глубокого пониманияалгоритмов трудно грамотно поставить задачу.Пусть количество уравнений равно количеству неизвестныхи равно . Такие системы в дальнейшем будем называтьсистемами линейных уравнений n-го порядка. Дляих решения в 1750 г. швейцарским математиком Крамеромбыл предложен метод, основанный на понятии определителя произвольного порядка. Фактически метод Крамераявляется эффективным только при решении систем второгои третьего порядков.
Для решения уравнений выше третьего порядка обычно применяют метод Гаусса, а уравнениятретьего порядка решают как методом Крамера, так и методом Гаусса. Линейному уравнению с тремя неизвестными + + = соответствует плоскость в трехмерном пространстве. Системе трех уравнений – три плоскости. В зависимости от их взаимного расположения, плоскости могутиметь бесконечное множество общих точек, вообще не иметьобщих точек или иметь одну единственную.Любая из следующих трех операций приводит к системе,эквивалентной исходной:§ 1.4. Системы трех и более уравнений371) перестановка двух уравнений в системе;2) умножение уравнения на отличное от нуля число;3) прибавление к одному уравнению другого, умноженногона число.Из возможности умножения уравнения на число следует ивозможность деления, поскольку деление может рассматриваться как умножение на обратное число.
Для начала будемисходить из того, что решение существует и единственно.Пример 1. Решить систему трех линейных уравнений 189с тремя неизвестными⎧⎪ + 2 + 5 = −9;⎪⎪⎨ − + 3 = 2;⎪⎪⎪⎩3 − 6 − = 25.(4)Прежде всего договоримся о новой символике. Удачно выбранная символика может существенно упростить ход решения задачи. Запишем систему (4) в виде⃒⎞⃒5 ⃒ −9⎜⃒⎟⎜ 1 −1 3 ⃒ 2 ⎟ .⃒⎝⎠⃒3 −6 −1 ⃒ 25⎛12Такой объект называют расширенной матрицей.
Расширенная матрица несет в себе всю информацию о системе38ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯуравнений в том смысле, что по ней можно восстановить последнюю. Первый столбец – столбец коэффициентов при ,второй – при , третий – при . После вертикальной черты идет столбец свободных членов, т. е. «правых частей»уравнений. Трем перечисленным выше операциям над системой уравнений соответствуют три операции над расширенной матрицей: перестановка строк; умножение строки наотличное от нуля число; прибавление к одной строке другой,умноженной число. Далее нам предстоит посредством трехперечисленных выше операций привести матрицу к диагональному виду, то есть такому, когда по главной диагонали располагаются только единицы, а все остальные коэффициенты до вертикальной черты – нули. В этом и состоитметод Гаусса.Решение:⎛1 25⎜⎜ 1 −1 3⎝3 −6 −1⃒⎞⎛⃒1 25⃒ −9⃒⎟ 1 ⎜⃒ 2 ⎟ → ⎜ 0 −3 −2⃒⎠⎝⃒⃒ 250 −12 −16⃒⎞⃒⃒ −9⃒⎟ 2⃒ 11 ⎟ →⃒⎠⃒⃒ 52⃒⃒⎞⎛⃒⃒5 ⃒ −91 25 ⃒ −9⎜⃒⎟⎜⃒23 ⎜⃒ 11 ⎟ →⃒ 11→⎜0−3−20−3−2⃒⃒⎝⎠⎝⃒⃒0 0 −8 ⃒ 80 01 ⃒ −1⎛12⎞⎟ 4⎟→⎠§ 1.4.
Системы трех и более уравнений⃒⃒⎞⎛⃒⃒1 2 0 ⃒ −40 ⃒ −4⃒⎟ 5 ⎜⃒4 ⎜⎜ 0 1 0 ⃒ −3⃒ 9 ⎟→→⎜0−30⃒⃒⎠⎝⎝⃒⃒0 0 1 ⃒ −10 0 1 ⃒ −1⎧⃒⎞⎛⃒⎪1 0 0 ⃒ 2⎪⎨ =2⎟⃒⎜76 ⎜→ ⎝ 0 1 0 ⃒⃒ −3 ⎟⎠ → ⎪ = −3⎪⃒⎩ = −10 0 1 ⃒ −1⎛1239⎞⎟ 6⎟→⎠Ответ: (2; −3; −1).Диагональ из единичек, выстроенную с «северо-запада» на«юго-восток», называют главной диагональю. Мы могли выполнить преобразования непосредственно с системой уравнений, но, согласитесь, запись оказалась бы длинновата.Разберем алгоритм по шагам.
Как вы, наверно, заметили,номера шагов в записи хода решения проставлены над соответствующими стрелочками.1) Из второй строки вычьтем первую; из третьей – первую,умноженную на 3. Теперь первые элементы во второй и третьей строке равны 0.2) Из третьей строки вычьтем вторую, умноженную на 4.3) Делим третью строку на (−8).4) Ко второй строке прибавим третью, умноженную на 2.Из первой вычьтем третью, умноженную на 5.5) Делим вторую строку на (−3).6) Из первой строки вычьтем вторую, умноженную на 2. Получаем диагональную матрицу, на главной диагонали кото-40ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯрой расположены только единицы, а все остальные элементы – нули.7) По расширенной матрице восстановим традиционную запись системы уравнений.Если бы задача решалась на компьютере, когда уравнениймного, а их коэффициенты в общем случае не целые вещественные числа, схема вычислений выглядела бы несколькоиначе, поскольку машине, в отличие от человека, все равно,с какими числами работать.
Также в технических приложениях часто актуален вопрос о точности вычислений. Если,скажем, первый элемент в первой строке – очень малое число, при делении на него может произойти потеря точности.Проиллюстрируем процесс решения системы уравнений накомпьютере. Для краткости обозначим символом «*» произвольное число. Тогда последовательность шагов можноописать следующим образом:1. Ставим на первое место строку, первый элемент которой имеет наибольшее по модулю значение.
Делимпервую строку на ее первый элемент. Теперь значениепервого элемента первой строки – 1.2. От каждой из нижерасположенных строк отнимаемпевую, умноженную на первый элемент соответствующей строки. Таким образом, под первым элементомпервой строки окажутся только нулевые значения.§ 1.4. Системы трех и более уравнений413. Среди строк, начиная со второй, найдем ту, у которойвторой элемент имеет наибольшее по модулю значение.Поставим эту строку на второе место и разделим на еевторой элемент.4.
От каждой строки, начиная с третьей, отнимаем вторую, умноженную на второй элемент соответствующейстроки. Таким образом, под вторым элементом второйстроки также окажутся одни нули.Продолжая так дальше, мы придем к матрице, на главнойдиагонали которой стоят единицы, а под диагональю – нули. Разумеется, договоренность о том, что уравнение имеетединственное решение, пока остается в силе.⎛**⎜⎜ **⎜⎜⎜ ··· ···⎝**⎛⎜⎜⎜→⎜⎜⎝2···*···*··· ······*⃒⃒⃒ *⃒⃒ *⃒⃒⃒ ···⃒⃒⃒ *⎞1*⎜⎟⎜ *⎟*⎟ 1 ⎜⎟→⎜⎟⎜ ··· ···⎝⎠**⃒⃒* ⃒ *⃒0* · · · * ⃒⃒ *⃒· · · · · · · · · · · · ⃒⃒ · · ·⃒0* ··· * ⃒ *1*···⎛⎞⎛⎟⎜⎟⎜⎟ 3 ⎜⎟→⎜⎟⎜⎠⎝···*···*··· ······*⃒⃒⃒ *⃒⃒ *⃒⃒⃒ ···⃒⃒⃒ *⎞⎟⎟⎟ 2⎟→⎟⎠⃒⃒* ⃒ *⃒01 · · · * ⃒⃒ *⃒· · · · · · · · · · · · ⃒⃒ · · ·⃒0* ··· * ⃒ *1*···⎞⎟⎟⎟ 4⎟→⎟⎠42ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ⎛1*···*⎜⎜1 ··· *4 ⎜ 0→⎜⎜ ··· ··· ··· ···⎝00 ··· *⃒⃒⃒ *⃒⃒ *⃒⃒⃒ ···⃒⃒⃒ *⎞⎛1*···*⎜⎟⎜ 0⎟1 ··· *⎜⎟ 5⎟ → ···⎜⎜ ··· ··· ··· ···⎟⎝⎠00 ··· 1⃒⃒⃒ *⃒⃒ *⃒⃒⃒ ···⃒⃒⃒ *⎞⎟⎟⎟⎟.⎟⎠Теперь пойдем снизу вверх.
От каждой строки, расположенной выше последней, отнимем последную, умноженнуюна последний элемент соответствующей строки. Имеется ввиду последний элемент из расположенных слева от вертикальной черты. Теперь над единицей внизу расположенытолько нули. Поскольку все остальные, расположенные слева, элементы первой строки равны нулю, указанная процедура «не испортит» остальные элементы матрицы, расположенные левее. Далее от всех строк, которые выше второй, отнимаем вторую строку, умноженную на предпоследний элемент. Продолжая так, мы придем к матрице, вседиагональные элементы которой равны 1, а остальные довертикальной черты – нули.⎛⎜⎜⎜⎜⎝⃒0 ⃒⃒ *⃒01 · · · 0 ⃒⃒ *· · · · · · · · · · · · ⃒⃒ · · ·⃒00 ··· 1 ⃒ *10···⎞⎟⎟⎟.⎟⎠§ 1.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
