Алгебраические_уравнения (835788), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Начнем с многочлена третьей степени 3 () = 0 3 + 1 2 + 2 + 3 . Пусть0 3 + 1 2 + 2 + 3 = ( + )(2 + ) = 3 + 2 + + .Задача легко решается методом группировки.Пример 9. Разложить на множители многочлен23 − 32 + 4 − 6.Решение:2 (2 − 3) + 2(2 − 3) = (2 − 3)(2 + 2).Ответ: 23 − 32 + 4 − 6 = (2 − 3)(2 + 2).Пусть теперь многочлен четвертой степени 4 () имеет де- 199120ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАлитель вида 2 + :4 4 + 3 3 + 2 2 + 1 + 0 = (2 + + )(2 + ) == 4 + 3 + ( + )2 + + .Если приравнять коэффициенты многочленов в левой и правой частях двойного равенства, мы получим систему пятиуравнений для нахождения четырех неизвестных: , , и .Если система несовместна, наша гипотеза неверна. 199Пример 10.
Разложить на множители многочлен24 + 3 + 42 + + 2.Решение. Допустим, многочлен имеет представление:(2 + + )(2 + ) = 4 + 3 + ( + )2 + + .Тогда, приравняв соответствующие коэффициенты, придемк системе уравнений⎧⎪⎪=2⎪⎪⎪⎪⎪⎪=1⎪⎪⎨ + = 4⎪⎪⎪⎪⎪ = 1⎪⎪⎪⎪⎪⎩ = 2=⇒⎧⎪⎪=2⎪⎪⎪⎪⎪⎪=1⎪⎪⎨=1⎪⎪⎪⎪⎪=2⎪⎪⎪⎪⎪⎩ + = 4§ 3.2. Разложение многочленов на множители121Система оказалась непротиворечивой.Ответ:24 + 3 + 42 + + 2 = (22 + + 2)(2 + 1).Пример 11.
Разложить на множители многочлен245 + 224 − 733 − 692 + 3 + 9.Решение. Допустим, многочлен имеет представление:(3 +2 ++)(2 +) = 5 +4 +(+)3 +(+)2 ++.Приравняв, как в предыдущем примере, коэффициентымногочлена в правой части последнего равенства к соответствующим коэффициентам исходного многочлена, получимсистему уравнений⎧⎪⎪ = 24⎪⎪⎪⎪⎪⎪ = 22⎪⎪⎪⎪⎪⎨ + = −73⎪⎪ + = −69⎪⎪⎪⎪⎪⎪ = 3⎪⎪⎪⎪⎪⎩ = 9=⇒⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ = 24 = 22⎧⎨ + 24 = −73⎩ = 3⎧⎨ + 22 = −69⎩ = 9 199122ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАРешим отдельно системы⎧⎨ + 24 = −73⎩ = 3⎧⎨ + 22 = −69и⎩ = 9,сведя их к симметричным (с. 87):1)⎧⎨ + (24) = −73⇒⎩ · (24) = 72⇒ 2 + 73 + 72 = 0 =⇒ 1 = −1 и 2 = −72.⎧⎧⎨ = −1⎨ = −1⇒1.1)⎩ = −3⎩24 = −721.2)⎧⎨ = −72⎧⎨ = −72⇒⎩24 = −1⎩ = − 124⎧⎨ + (22) = −692)⇒⎩ · (22) = 198⇒ 2 + 69 + 198 = 0 =⇒ 1 = −3 и 2 = −66.⎧⎧⎨ = −3⎨ = −32.1)⇒⎩22 = −66⎩ = −3§ 3.2.
Разложение многочленов на множители2.2)⎧⎨ = −66⇒123⎧⎨ = −66⎩ = − 322⎩22 = −3Рассмотренные системы имеют непротиворечивые решения:⎧⎨ = −1⎩ = −3и⎧⎨ = −3⎩ = −3Таким образом, = 24; = 22; = −1; = −3; = −3.(3 + 2 + + )(2 + ) = (243 + 222 − − 3)(2 − 3).Чтобы разложить на множители выражение243 + 222 − − 3,применим алгоритм поиска рациональных корней (с. 113).Первый корень, найденный в процессе перебора рациональных дробей, = − 12 . Разделим многочлен третьего порядкана линейный член 2 + 1. Поскольку здесь коэффициентпри не единица, деление выполним «лесенкой» (с. 116).Деление, как и следовало ожидать, прошло без остатка. В результате мы получили квадратный трехчлен 122 + 5 − 3.Его дискриминант = 25 − 4 · 12 · (−2) = 169 = 132 . Корни1241,2 =ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА−5±1324⇒ 1 = − 34 и 2 = 13 . Следовательно,(︂)︂ (︂)︂3112 + 5 − 3 = 12 +−.432Выражение 2 − 3 = ( −√3)( +√3).Ответ:245 + 224 − 733 − 692 + 3 + 9 =(︂)︂ (︂)︂ (︂)︂√ )︁√ )︁ (︁131 (︁= 24 · ++−− 3 + 3 .243Не будем забывать один из выжнейших математических методов – метод замены переменной.
197Пример 12. Разложить на множители выражение(10 − 5)2 (10 − 4)(10 − 6) − 72.Решение. Сделав замену = 10 − 5, придем к трехчлену,квадратному относительно 2 :(︀ )︀22 ( + 1)( − 1) − 72 = 2 − 2 − 72 == (2 + 8)(2 − 9) = (2 + 8)( − 3)( + 3).Подставим в последнее равенство выражение = 10 − 5:[(10−5)2 +8](10−8)(10−2) = (1002 −100+33)(10−8)(10−2).§ 3.3.
Неравенства125Ответ:(10−5)2 (10−4)(10−6)−72 = (1002 −100+33)(10−8)(10−2).Иногда перед поиском корней многочлена полезно оценитьих границы (с. 164).Задачи к параграфу на с. 197, п. 19–26.§ 3.3. Неравенства107⇔132 Рассмотрим многочлен третьей степени с однойнеизвестной, графиком которого является кубическая парабола (рис. 21). В общем виде уравнение кубической параболы выглядит так:3 () = 3 + 2 + + .Кубический многочлен имеет один или три вещественныхкорня, при этом допускаются кратные корни, т.
е. совпадающие. Совпадать могут два корня, либо все три, в последнем случае многочлен представляется в виде ( − )3 .Функция = 3 () может иметь один локальный максимуми один локальный минимум, которые находятся из условияравенства нулю производной 3′ () = 32 + 2 + .126ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАРис. 21.Кубическая параболаЕсли старший коэффициент > 0,lim () = −∞ и lim () = +∞.→−∞→+∞§ 3.3. Неравенства127Если < 0,lim () = +∞ и lim () = −∞.→−∞→+∞На рис. 21а изображен график кубической параболы3 () = 3 − 2 − − 1. Уравнение 3 () = 0 имеет единственное решение, соответствующее точке пересечения графика с осью .
Формула Кардано (с. 149) дает значение3 =√98+15 33.9Теперь начнем увеличивать свободный член до тех пор, пока график не коснется оси в точке локального максимума (см. рис. 21б). Это произойдет, когда5свободный член достигнет значения = − 27и уравнениепримет вид 3 − 2 − −527= 0. Теперь многочлен имееткратный корень 1,2 = − 13 , соответствующий точке касанияграфика с осью и 3 = − 13 .
Положим, =32член примет вид − − +11273 =много-(см. рис. 21в). ФормулаКардано даст значения трех корней: 1 =√1+2 3.311,27√1−2 3,32 =13иПоднимем график еще выше, так, чтобы он ка-сался оси в точке локального минимума (см. рис. 21г).Свободный член = 1, и 3 () = 3 − 2 − + 1. Многочлен легко раскладывается на множители ( − 1)2 ( + 1) иимеет три корня: 1 = −1 и кратный корень 2,3 = 1.
Ещераз поднимем кубическую параболу вверх, увеличив на 1(см. рис. 21д). Многочлен примет вид 3 () = 3 − 2 − + 2и теперь имеет один вещественный корень, который можно128ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАполучить по формуле Кардано:√√21(172 + 12 177) 3 − 2(172 + 12 177) 31 =≈ −1, 2.√1(172 + 12 177) 3Уже само аналитическое представление корня объясняет,почему мы не спешим предъявить соответствующую формулу. На рис. 21е также изображена кубическая парабола3 () = 3 , имеющая корень третьей кратности = 0. Каквидно на графиках (см.
рис. 21а–21д), если корень имеетединичную кратность, многочлен в соответствующей точкепересекает ось и меняет знак на противоположный. Корни единичной кратности называют простыми. Если встречается корень второй кратности, в этой точке график только касается оси , но многочлен не меняет знак. Многочлен на рис. 21е в точке = 0 имеет корень третьей кратности и в этой точке меняет знак на противоположный. Подкаждым графиком помещена схема промежутков знакопостоянства, на основании которой можно сразу записыватьответы к соответствующим неравенствам. 200Пример 1.
Решить неравенство 3 () > 0 (см. рис. 21а).Ответ: (3 ; +∞). 200Пример 2. Решить неравенство 3 () < 0 (см. рис. 21б).Ответ: (−∞; 1 ) ∪ (1 ; 3 ). 200Пример 3. Решить неравенство 3 () ≥ 0 (см. рис. 21в).Ответ: [1 ; 2 ] ∪ [3 ; +∞).§ 3.3. Неравенства129Пример 4. Решить неравенство 3 () ≤ 0 (см. рис. 21г).Ответ: (−∞; 1 ] ∪ {2 }.Теперь немного теории. До сих пор мы не определили понятие кратности корня.
По теореме на с. 110, если число является корнем многочлена (), многочлен делится на( − ) без остатка. Иначе говоря, () = ( − )−1 ().Если имеет место равенство () = ( − ) − (),но () не делится без остатка на ( − )+1 , то являетсяk-кратным корнем многочлена. Линейный член ( − )сохраняет знак при переходе через точку , если – четноечисло (см.
рис. 21б и 21г), и меняет знак на противоположный в противном случае (см. рис. 21е). Одновременно приэтом меняется и знак всего многочлена. Примем без доказательства тот факт, что любой многочлен с вещественнымикоэффициентами раскладывается в произведение линейныхчленов, соответствующих вещественным корням, и квадратных трехчленов c отрицательным дискриминантом. Теперьможно сформулировать алгоритм решения неравенствс многочленом в левой части:1) разложить многочлен на степени линейных множителей,соответствующие их кратности, и квадратные трехчлены сотрицательным дискриминантом; 200130ГЛАВА 3.
УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА2) отметить на оси корни, которые войдут в решение и которые следует исключить из множества решений;3) отметить дугами промежутки знакопостоянства (рис. 22);4) определить подстановкой знак на любом из промежутков знакопостоянства и расставить знаки для остальных попринципу чередования. 200Пример 5. Решить неравенство( + 2)2 ( − 1)3 ( − 2)2 > 0.Решение. Многочлен в левой части неравенства обращается в ноль в точках −2, 0, 1, 2. Отметим их на схеме (рис.
22)крестиками, как не входящие в множество решений. Знакменяется только в точках, соответствующих корням нечетной кратности: (−2) и 1. Отметим промежутки знакопостоянства дугами и определим знак на одном из промежутков. Для этого подставим в многочлен, например, значение3 из крайнего справа промежутка. Многочлен примет положительное значение. Теперь расставим по принципу чередования знаки в остальных промежутках, как показано нарис. 22.Ответ: (−∞; −2) ∪ (1; 2) ∪ (2; +∞). 200Пример 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
