Алгебраические_уравнения (835788), страница 15
Текст из файла (страница 15)
УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА−(︀)︀ == √+2313 3 cos 3 + · sin +23)︀(︀+2− cos 3 − · sin +23(︀)︀ == √2 +23 3 cos2 +2+sin33(︂)︂√ + 2 + 23− · sin= 2 ⇒ 1 = 1 + 2 .= cos33−Поскольку 1 и 2 при любом – комплексно-сопряженные√величины, 1 + 2 = 2 3 cos +2и неполное кубическое3уравнение будет иметь вещественные решения:√√√ + 2 + 4и 2 3 cos.1 = 2 3 cos , 2 = 2 3 cos333Корни исходного многочлена = − 3 .(︀ )︀2 (︀ )︀3Таким образом, если = 2 + 3 :1) при > 0 уравнение имеет один вещественный и двакомплексно-сопряженных корня;2) при = 0 – три вещественных корня: один простой и двакратных;3) при < 0 – три простых вещественных корня. 203Пример 1. Найти корни многочлена 3 − 32 − 3 − 4.Решение.
Выполнив подстановку = + 1, получим многочлен 3 − 6 − 9. Найдем(︂ )︂3 (︂ )︂26949= −+ −= .324§ 3.5. Формула Кардано155Поскольку > 0, воспользуемся алгоритмом I (с. 150).√︂1 =39 7− = 1; 2 =2 2(︃−12−122 = 1 +2 2 =(︃3 = 1 2 +2 =√︂39 7+ = 2;2 21 = 1 + 2 = 3;√ )︃ (︃√ )︃ (︃√ )︃33313++2 − − = − −;22222√ )︃ (︃√ )︃ (︃√ )︃31333−+2 − + = − +.22222Вернемся к переменной = + 1.Ответ: 1 = 4, 2 = − 21 − ·√3,23 = − 21 + ·√3.2Эту задачу можно решить иначе, заметив, что 4 являетсякорнем, и разделив многочлен на ( − 4) (с. 114):3 − 32 − 3 − 4 = ( − 4)(2 + + 1),Остается только найти корни квадратного трехчлена.Пример 2.
Найти корни многочлена 3 + 2 − 3.Решение. Многочлен неполный, и мы сразу определим=94+827√︃1 =3=8254·81√> 0. Найдем3825+=218√︃3√27 + 5 33, 2 =18√︃3√27 − 5 33.18Из теории мы знаем, что при > 0 многочлен должен иметьодин вещественный корень и два комплексно-сопряженных. 203156ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАВещественный корень = 1 «виден невооруженным глазом».
Но у нас он равен√︃1 + 2 =3√︃√√27 + 5 33333 27 − 5+,1818что мало напоминает единицу. Тем не менее никакой ошибкиздесь нет: просто на этот раз мы наткнулись на «подводныйкамень». Дело в том, что√︃3√√3 + 3327 + 5 33=, a186√︃3√√3 − 3327 − 5 33=.186Действительно, умножим числитель и знаменатель дробипод знаком кубического корня на такое число, чтобы кубический корень из знаменателя стал целым числом; послесоответствующей группировки выражение в числителе окажется полным кубом:√︃3√√27 + 5 33333 324 + 60==18216√︀√√327 + 3 · 9 33 + 3 · 3 · 33 + 33 33==6 √︁√ )︀3(︀√33 + 333 + 33==.66√︃§ 3.5. Формула Кардано157Аналогично поступим и для 2 . Это не всегда приводит крезультату, зато трудно найти лучший тренажер для тренировки интуиции.
Если выражения для 1 и 2 не удалосьупростить, можно с тем же успехом использовать и изначально полученные громоздкие выражения. В таком случаеваше выражение может не совпадать с выражением в ответе. Возможно, наш совет не всем понравится, но мы предлагаем тогда вычислить на компьюторе и сравнить значения ваших выражений со значениями выражений в ответе.В любом случае это даст информацию для размышлений.Таким образом,1 = 1 + 2 =3+√√33 3 − 33+= 1.66Как и в предыдущем примере, найдем комплексные корни:2 = 1 + 2 2 =√ )︃√ (︃√ )︃√ (︃13 − 3313 + 3333− ++− −;=6226223 = 1 2 + 2 =√ (︃√ )︃√ )︃√ (︃3 + 33133 − 3313=− −+− +.622622Осталось раскрыть скобки и привести подобные.Ответ: 1 = 1, 2 = − 21 + √11,2− 12 − √11.2158 203ГЛАВА 3.
УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАПример 3. Найти корни многочлена 3 + 2 − 16 + 20.Решение. Введем замену переменной = − 31 , раскроемскобки и приведем подобные. В результате получим многочлен 3 −493+686.27Найдем =(︁ )︁22+(︁ )︁33(︂=34227)︂2(︂−499)︂3= 0.Поскольку = 0, обратимся к алгоритму II (с. 152).13=23(︂ )︂3(︂ )︂77⇒ 1 = 2 = −.33√ )︃ (︃√ )︃1313− ++ − −= −1.2222=− =−2(︃ + 2 =772 = 3 = − ( + 2 ) = .33111 = 1 − = −5; 2 = 3 = 2 − = 2.331 = 1 + 2 = −14;3Ответ: 1 = −5; 2 = 3 = 2. 203Пример 4. Найти корни многочлена 3 − 62 − 3 + 26.Решение.
Подстановка = +2 даст многочлен 3 −15+4:3 = 4 − 125 = −121, 1,2= −2 ± · 11.Теперь мы можем действовать в соответствии с алгоритмом III (с. 153) или идти своим тернистым путем.Первый способ. Приведем правую часть последнего ра-§ 3.5. Формула Кардановенства к тригонометрической форме:−2 ± · 11 (︁= (cos)︁ + · sin ), где =2. Тогда = − √125√159√√4 + 121 = 125,)︂√ + 2 + 21 = 5 cos+ 5 cos;33(︂)︂√√ + 2 + 2− 5 cos2 = 5 cos⇒33√√√ + 2 + 4⇒ 1 = 2 5 cos , 2 = 2 5 cos, 3 = 2 5 cos,333(︂где = 0, 1, 2. Таким образом,√1 = 1 + 2 = 2 5 cos ≈ 5, 732;3√ + 22 = 2 + 2 = 2 5 cos= −2;3√ + 43 = 3 + 2 5 cos≈ 2, 268,3(︂)︂2.где = − √125Второй способ:13 = −2 + · 11 = −8 + 12 + 6 − = (−2 + )3 ⇒ 1 = −2 + .Здесь снова сработала «угадайка», и такие комбинации проходят только с целыми числами.
В общем случае корни160ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАуравнения не выражаются через его коэффициенты при помощи радикалов с действительными подкоренными выражениями. Аналогично 2 = −2 − и, таким образом,1 = 1 + 2 = −4;(︃(︃√ )︃√ )︃√1133+2 − − = 2− 3;2 = 1 +2 2 = 1 − + 2222(︃(︃√ )︃√ )︃√13313 = 1 2 +2 = 1 − − +2 − + = 2+ 3.2222√Значит, 1 = 1 + 2 = −2; 2 = 1 + 2 = 4 − 3 ≈ 2, 268;√3 = 3 + 2 = 4 + 3 ≈ 5, 732.Оба способа решения задачи дают один ответ. Разумеется,нумерация корней не обязана совпадать. По форме ответ вовтором случае выглядит иначе, и не всегда просто доказатьтождественность соответствующих выражений. Если приведенный в конце книги ответ к задаче не совпадает с вашим,полезно найти численные значения результатов с некоторойточностью.
Если они не совпадают – кто-то из нас ошибся.√√Ответ: 1 = −2, 2 = 4 − 3, 3 = 4 + 3.В инженерных приложениях часто представляет интерес значение корня только с точностью до заданного количествазнаков после запятой. В таком случае гораздо эффективнейработают численные методы, с которыми мы обязательно§ 3.6. Формула Феррари161познакомимся в одном из следующих выпусков нашей серии. Аналитическое представление корней кубического многочлена может иметь очень даже громоздкий вид. При этом,чтобы примерно установить место корня на вещественнойоси, нам все равно потребуется поработать.
Поэтому аналитическое решение интересно прежде всего в тех случаях,когда мы в дальнейшем собираемся исследовать полученноерешение. Задачи, которые приведены в конце книги, предназначены для закрепления теории, и их решение не предполагает чрезмерно громоздких выкладок.Задачи к параграфу на с. 203, п.
36–38.§ 3.6. Формула Феррари149⇔164 Первый шаг алгоритма нахождения корней многочлена четвертой степени4 + 3 + 2 + + также связан с заменой переменной. Сделаем подстановку = − 4 , раскроем скобки и приведем подобные. Теперь задача сводится к нахождению корней неполного многочленавида 4 + 2 + + .162ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАВведем вспомогательную переменную и преобразуем выражение многочлена к виду(︁(︂)︂]︂)︁2 [︂222 + + − 2 − + + − +.242(6)Полученное выражение тождественно исходному при любомзначении .
Теперь подберем такое значение , при которомвыражение в квадратных скобках будет полным квадратом.Для этого достаточно найти значение , обращающее в нольдискриминант квадратного трехчлена(︂)︂222 − + + − +.4(︂)︂222= = − 8 + − +4(︂ 2)︂32= −8 − 8 − 8− + 2.4(︂ 2)︂232 = 0 ⇒ + +− −= 0.482Кубическое уравнение всегда имеет по крайней мере одинвещественный корень. После того как выражение в квадратных скобках из формулы (6) будет представлено в виде полного квадрата, мы применим тождество для разности квадратов.
Таким образом, многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов, а задача нахождения корней многочлена сводится§ 3.6. Формула Феррари163к задаче нахождения корней двух квадратных трехчленов.Пример. Найти корни многочлена 20444 + 803 + 5402 + 1496 + 1465.Решение. Разделим левую и правую части уравнения на 4.4 + 203 + 1352 + 374 +1465= 0.4Сделаем подстановку = −5. Тогда уравнение примет вид 4 − 15 2 + 24 −15= 0.4Перепишем выражение в виде(︂)︂2152 −+ − (2 2 − 24 + 2 − 15 + 60).2 = 276 − 8(2 − 15 + 60) = −82 + 120 − 480 + 12.
= 0 ⇒ 3 − 152 + 60 − 72 = 0.Один вещественный корень = 3 мы можем «угадать» (теорема на с. 111). При = 0 квадратный трехчлен2 2 −24+2 −15+60 = 6 2 −24+24 = 6( 2 −4+4) = 6(−2)2 .164ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАСледовательно,(︂)︂2 (︁)︁2√92−6 · ( − 2) = −2)︂ (︂)︂√√√992= − 6 − + 2 6 + 6 − − 2 6 .22√√1) Найдем корни трехчлена 2 − 6 − 92 + 2 6.√︀√√√ = 4(6 − 2 6); 1,2 = 26 ± 2 6 − 2 6.√√2) Найдем корни трехчлена 2 + 6 − 92 − 2 6.√︀√√√ = 4(6 + 2 6); 1,2 = − 26 ± 2 6 + 2 6.√︀√︀√√√√Ответ: 1 = 26 − 2 6 − 2 6; 2 = 26 + 2 6 − 2 6;√︀√︀√√√√3 = − 26 − 2 6 + 2 6; 3 = − 26 + 2 6 + 2 6.(︂2√Формула Феррари так же, как и формула Кардано, не нашла широкого применения на практике по причине своейгромоздскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
