Алгебраические_уравнения (835788), страница 17
Текст из файла (страница 17)
. .)] = [(, , , . . .)]для любого набора значений , , , . . ., при котором определены все входящие в равенство выражения. Отношениезнакоэквивалентности будем обозначать:(, , , . . .) ∼ (, , , . . .).Если (, , , . . .) принимает только положительные значения на всей области определения, то (, , , . . .) ∼ 1, еслиотрицательные, то (, , , . . .) ∼ −1. Ниже представленынекоторые знакоэквивалентные пары выражений.176ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАЗнакоэквивалентные выражения:1.
log − log ∼ ( − 1)( − ).2. log ∼ ( − 1)( − 1).3. log − log ∼ ( − 1)( − 1)( − 1)( − ).(︀)︀4. − ∼ ( − 1)( − ).5. ( − ) ∼ ( − ).6.1−7.√√ − ∼ ( − ).8.√1∼ ( − ).−√1∼ ( − ).9.(︀√−−10.(︀√+−√√)︀ − ∼ ( − ).)︀ + ∼ ( − ).Предлагаем читателю в порядке упражнений доказать знакоэквивалентность выражений начиная со второго пункта.Обратите внимание, что правые части всех перечисленныхвыше отношений – многочлены от , , , . . . Эти отношенияне стоит заучивать. При наличии навыка они выводятся довольно легко.
205Пример 2. Решить неравенствоlog+1 (2 − 2 − 2) − log1+1(7 − ) < 1.§ 3.9. Многочлены в других задачах177Решение:⎧⎪⎪+1>0⎪⎪⎪⎪⎪⎨ + 1 ̸= 1ОДЗ:⎪2 − 2 − 2 > 0⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩7 − > 0⎧⎪⎪ > −1⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ̸= 0⇒⎪ ∈ (︀−∞; 1 − √3)︀ ∪ (︀1 + √3; +∞)︀⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ < 7√ )︀√ )︀ (︀(︀Таким образом, ∈ −1; 1 − 3 ∪ 1 + 3; 7 . Область допустимых значений отражена в верхней части схемы (рис.
32).Рис. 32.Промежутки знакопостоянстваПреобразуем неравенство к видуlog+1 (2 − 2 − 2) + log+1 (7 − ) − log+1 ( + 1) < 0 ⇒[︀]︀⇒ log+1 (2 − 2 − 2)(7 − ) − log+1 ( + 1) < 0.В левой части последнего неравенства заменим разность логарифмов на знакоэквивалентное выражение (п. 1, с. 176):[︀]︀ (2 − 2 − 2)(7 − ) − ( + 1) < 0 ⇒ −(3 −92 −13+15) < 0.178ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАНайдем среди делителей свободного члена целый корень = 3 и разделим многочлен на ( − 3) по схеме Горнера (см.пр. на с.
114). Результат деления – квадратный трехчлен2 −6−5. Найдем его корни и запишем исходный многочленв виде произведения линейных членов:(︁√ )︁ (︁√ )︁−( − 3) − (3 − 14) − (3 + 14) .Точки 0, 3, 3 −√14, 3 +√14 делят вещественную ось на5 промежутков знакопостоянства. Определим знак на одном из интервалов, а знаки остальных расставим по принципу чередования (см. пр.
на с. 130). Промежутки знакопостоянства отмечены на схеме (см. рис. 32). Нас интересуют√ )︀√(︀(︀)︀значения ∈ −∞; 3 − 14 ∪ (0; 3) ∪ 3 + 14; +∞ .С учетом ОДЗ,⎧⎨ ∈ (︀−1; 1 − √3)︀ ∪ (︀1 + √3; 7)︀⎩ ∈ (︀−∞; 3 − √14)︀ ∪ (0; 3) ∪ (︀3 + √14; +∞)︀√√⇒ ∈ (−1; 3 − 14) ∪ (0; 3) ∪ (3 + 14; 7).√√Ответ: (−1; 3 − 14) ∪ (0; 3) ∪ (3 + 14; 7). 205Пример 3. Решить неравенствоlog+2 (22 − 7 + 8) − log+2 (2 − 2 + 2) > 0.⇒§ 3.9. Многочлены в других задачах179Решение:⎧⎪+2>0⎪⎪⎪⎪⎪⎨ + 2 ̸= 1ОДЗ:⎪⎪22 − 7 + 8 > 0⎪⎪⎪⎪⎩ 2 − 2 + 2 > 0⇒ ∈ (−2; −1) ∪ (−1; +∞).Разность логарифмов знакоэквивалентна (п.
1, c. 176) выражению ( + 1)(2 − 5 + 6), и, таким образом,( + 1)( − 2)( − 3) > 0 ⇒ ∈ (−1; 2) ∪ (3; +∞).Решение входит в ОДЗ.Ответ: (−1; 2) ∪ (3; +∞).Пример 4. Решить неравенство(︀ 2)︀2 −5+6 (︀ 2)︀2 −−2 −1− −1≤ 0.Решение. Здесь следует сначала решить задачу со строгимнеравенством, а затем исследовать поведение функции(︀)︀2 −5+6 (︀ 2)︀2 −−2 () = 2 − 1− −1на границах промежутков знакопостоянства. В противномслучае мы можем сделать поспешные выводы.
Например, повиду уравнения заключить, что значения = ±1 – решения, 205180ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАа это, как видно на графике функции () (рис. 33а), не так.ОДЗ: 2 − 1 > 0 ⇒ ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞).Рис. 33.График функции ()Разность показательных функций знакоэквивалентна (п. 4,c. 176) выражению (2 − 2)(−4 + 8), и, таким образом,( −√√√ √2)( + 2)(2 − ) < 0 ⇒ ∈ (− 2; 2) ∪ (2; +∞).√√С учетом ОДЗ, ∈ (− 2; −1) ∪ (1; 2) ∪ (2; +∞). Теперьпора вспомнить, что в условии задачи речь шла о нестрогом√неравенстве.
У нас имеется 5 граничных точек: − 2, −1, 1,√√2 и 2. В точках ± 2 и 2 график функции пересекает ось, но с точками ±1 дело обстоит иначе:lim () = −1, lim () = −∞.→−1−0→1+0§ 3.9. Многочлены в других задачах181Поскольку () не определена на интервале (−1; 1), переменная стремится к (−1) слева, а к 1 – справа. Первыйпредел равен (−1), т. е. график функции обрывается в точке с координатами (−1; −1) (см. рис. 33б). Тем не менее всамой точке = −1 функция не определена, так как выражение (2 − 1)2 −−2имеет в этой точке неопределенностьвида 00 (любая степень ноля – ноль, но любое число в нулевой степени – единица).
= 1 – вертикальная ассимптота. Сам по себе график может стать источником заблуждений. Например, рассматривая рис. 33а, можно заподозрить,что график функции слева и справа прижимается к двумвертикальным ассимптотам. Однако это не так. Просто при → ±∞ функция очень быстро стремится к бесконечности:lim () = +∞, lim () = −∞.→−∞→+∞Поэтому предположения, сделанные на основе графика, требуют теоретического обоснования.
Обратите внимание натот замечательный факт, что решение строгого неравенствазаняло у нас всего несколько минут и три строки. Основнойобъем работы ушел на обоснование границ.√√Ответ: [− 2; −1) ∪ (1; 2] ∪ [2; +∞).Пример 5. Решить неравенство 205182ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАlog+3 (22 − 6 + 4) − log+3 (2 − 5 + 4))︁ < 0.(︀√)︀ (︁√225 − − 6 − (8 − )−2 +5−6 − (8 − )−Решение:⎧⎧⎪⎨ + 3 > 0⎪⎪⎪⎪⇒ ∈ (−3; −2) ∪ (−2; +∞)⎪⎪⎩⎪+3≠1⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨ 2⎪⎪⎪ 2 − 6 + 4 > 0⎨⇒ ∈ (−∞; 1) ∪ (4; +∞)ОДЗ: ⎩2 − 5 + 4 > 0⎪⎧⎪⎪⎪⎨5 − ≥ 0⎪⎪⎪⎪⇒ ∈ (−∞; 5]⎪⎪⎩⎪6−≥0⎪⎪⎪⎪⎪⎩8 − > 0⇒⇒ ∈ (−3; −2) ∪ (−2; 1) ∪ (4; 5].Заметим, что из отношений знакоэквивалентности (c. 176)следует:log+3 (22 − 6 + 4) − log+3 (2 − 5 + 4) ∼ ( + 2)(2 − ) =√(︀√)︀= ( − 1)( + 2),5 − − 6 − ∼ −1;(8 − )−22 +5−62− (8 − )− ∼ (7 − )(−2 + 5 − 6) == ( − 7)( − 2)( − 3),( − 1)( + 2)∼ −(−1)(−2)(−3)(−7)(+2).(−1)( − 7)( − 2)( − 3)§ 3.9.
Многочлены в других задачах183Неравенство −( − 1)( − 2)( − 3)( − 7)( + 2) < 0 выполняется для ∈ (−3; −2) ∪ (0; 1) ∪ (2; 3) ∪ (7; +∞). В ответеучтем ОДЗ.Ответ: ∈ (−3; −2) ∪ (0; 1).Пример 6. Выразить cos(6) и sin(6) через cos() и sin(). 206Решение. Достроим снизу изображенный на с.
58 треугольник Паскаля. Теперь последняя строка содержит коэффициенты бинома ( + )6 :11145661015410201515161По формуле Муавра (с. 145),(cos + sin )6 = cos 6 + sin 6.(7)С другой стороны, по формуле бинома Ньютона:(cos + sin )6 = (cos )6 + 6(cos )5 sin ++ 15(cos )4 ( sin )2 + 20(cos )3 ( sin )3 ++ 15(cos )2 ( sin )4 + 6 cos ( sin )5 + (sin )6 == cos6 + · 65 sin − 15 cos4 sin2 −− · 20 cos3 sin3 + 15 cos2 sin4 + · 6 cos sin5 − sin6 == cos6 − 15 cos4 sin2 + 15 cos2 sin4 − sin6 ++ · (65 sin − 20 cos3 sin3 + 6 cos sin5 ). (8)184ГЛАВА 3.
УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАОсталось приравнять правые части равенств (7) и (8).Ответ:cos 6 = cos6 − 15 cos4 sin2 + 15 cos2 sin4 − sin6 ,sin 6 = 65 sin − 20 cos3 sin3 + 6 cos sin5 .Следующая задача связана с рядом Фибоначчи. Первыедва члена этого ряда – единицы, а каждый следующий равенсумме двух предыдущих:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 . . . . 206Пример 7. Найти формулу -го члена ряда Фибоначчи.Решение. Пусть – -й член ряда Фибоначчи,где = 0, 1, 2, .
. . Тогда 0 = 1 = 1 и = −1 + −2 для = 2, 3, . . .Введем производящую функцию () =∞∑︁=023 = 0 + 1 + 2 + 3 + . . . = lim→∞∑︁ .=0Операции с такими суммами требуют теоретического обоснования, но все же мы рискнем продолжить рассуждения.Умножим левую и правую части равенства = −1 + −2§ 3.9. Многочлены в других задачах185на и просуммируем полученные равенства по :∞∑︁ ==2∞∑︁−1 +=2∞∑︁=∞∑︁−2 ==2−1 −1 + 2=2∞∑︁∞∑︁−2 −2 .=2 = () − 0 − 1 ,=2∞∑︁−1 −1==2∞∑︁Здесь−2 −2 ==2∞∑︁∞∑︁ = () − 1,=1 = () и, таким образом,=0 () − 0 − 1 = ( () − 1) + 2 () ⇒ () = −21.+−1Разложим на множители квадратный трехчлен(︃−1 −−22 + − 1 = () = (︁√ )︃ (︃√ )︃−1 + 55−.2−1−√ )︁ (︁−1− 52−√ )︁−1+ 52=−√−1− 52+−√−1+ 52.Теперь найдем значения и , при которых выполняетсяпоследнее равенство:√−√−1− 52+−√−1+ 52√( + ) − −1+2 5 − −1−2= (︁√ )︁ (︁√ )︁−1− 5−1+ 5− 2− 25⇒186ГЛАВА 3.
УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА⎧⎧√⎨ = 5⎨ + = 05⇒⇒√√√⎩ = − 5⎩ −1+ 5 + −1− 5 = 1225)︃√ (︃511√ −√Таким образом, () ==5 − −1−2 5 − −1+2 5)︃√ (︃151√+ √==5+15−15+−22)︃√ (︃52121√=·+√·.55 + 1 1 + √25 − 1 1 − √25+15−1Нетрудно доказать:√√15+1=5−14и√15−1√=5+1.4Тогда)︃√√ (︃ √55−15+111√√+.·· () =5+15221 + 5−11−22Мы знаем, что при ||< 1 имеют место равенства:1= 1 + + 2 + 3 + . . . и1−1= 1 − + 2 − 3 + . .
.1+⎛(︃ √)︃√∞5 ⎝ 5 − 1 ∑︁5−1·(−1) +Следовательно, () =522=0(︃ √)︃ ⎞√∞∑︁5+15+1+· ⎠=22√=0§ 3.9. Многочлены в других задачах187√⎛(︃ √)︃+1(︃ √)︃+1 ⎞∞∞∑︁∑︁5⎝5−15+1=(−1) + ⎠ =522=0=0√√ ∞√∞5 ∑︁ (−1) ( 5 − 1)( + 1) + ( 5 + 1)+1 ∑︁ = .=52+1=0=0Приравняв коэффициенты степенных рядов в последнемравенстве, получим формулу -го члена ряда Фибоначчи.Ответ:√√√5 (−1) ( 5 − 1)+1 + ( 5 + 1)+1 =·,52+1где = 0, 1, 2, .
. . .Сомневающиеся могут проверить результат численно.Задачи к параграфу на с. 205, п. 43–46.Задачи173⇔2071. Решить линейные уравнения с параметром(отв. на с. 207):(a) (2 − 2 + 1) · = 2 + 2 − 3.(b) (3 − 2 − 4 + 4) · = − 1.(c) (2 − 1) · + (2 − 1) · = 2 − 3 + 2.(d) (2 − 2 − 3) · + ( − 2) · = 2 − 4 + 3.2. Решить системы линейных уравнений (отв. на с. 208):⎧⎨ + 2 = 5;(a)⎩3 + = 3.⎧⎨5 − 3 = 1;(b)⎩2 + 4 = 2.⎧⎨2 + = 1;(c)⎩4 + 2 = 2.⎧⎨3 + 2 = 3;(d)⎩6 + 4 = 5.1893. Решить системы линейных уравнений с параметром(отв. на с.
208):⎧⎨(3 + ) · + 2 · = 3;(a)⎩ · − = 3.⎧⎨(7 − ) + = 5;(b)⎩(1 + ) + 3 = 5.⎧⎨−4 + = 1 + ;(c)⎩(6 + ) + 2 = 3 + .4. Решить системы линейных уравнений (отв. на с. 209):⎧⎪2 − − = 4;⎪⎪⎨(a) 3 + 4 − 2 = 11;⎪⎪⎪⎩3 − 2 + 4 = 11.⎧⎪⎪ + + 2 = −1;⎪⎨(b) 2 − + 2 = −4;⎪⎪⎪⎩4 + 2 + 4 = −2.⎧⎪3 + 2 + = 5;⎪⎪⎨(c) 2 + 3 + = 1;⎪⎪⎪⎩2 + + 3 = 11.190ЗАДАЧИ⎧⎪⎪3 + 2 + = 5;⎪⎨(d) 2 + 3 + = 1;⎪⎪⎪⎩2 + 8 + 2 = −6.⎧⎪3 + 2 + = 5;⎪⎪⎨(e) 2 + 3 + = 1;⎪⎪⎪⎩2 + 8 + 2 = 8.5. Решить линейные неравенства с параметром(отв. на с. 210):(a) (2 − 1) · > 2 − − 2.(b) (2 − − 6) · ≥ 2 + 3 + 2.(c) (2 − 4 + 3) · ≤ 2 + − 2.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
