Алгебраические_уравнения (835788), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Решить неравенство( + 3)( + 2)( − 3)(2 − )( − 1) ≥ 0.§ 3.3. НеравенстваРис. 22.131Промежутки знакопостоянства из примера 5Решение. Многочлен в левой части неравенства обращается в ноль в точках −3, −2, 1, 2, 3. Отметим их на схеме(рис. 23) жирными точками, поскольку они войдут в решение. Все корни простые, т. е. единичной кратности, а значит,делят вещественную ось на шесть промежутков знакопостоянства.
Подставив в многочлен = 0, найдем знак на интервале (−2; 1). На этом интервале будет знак «−». Опятьпо принципу чередования расставим знаки в остальных интервалах, как показано на рис. 23.Ответ: (−∞; −3] ∪ [−2; 1] ∪ [2; 3].Рис. 23.Промежутки знакопостоянства из примера 6Пример 7. Решить неравенство(2 + + 1)( − 1)2 ( − 3)(2 − )( − 4)3 ≤ 0.Решение. Многочлен в левой части неравенства обращается в ноль в точках 1, 3, 4. Мы отметим их, как решения, жир- 200132ГЛАВА 3.
УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАными точками (рис. 24). Квадратный трехчлен (2 + + 1)при всех вещественных сохраняет знак «+». Два корня –3 и 4 – нечетной кратности, в них многочлен меняет знак.Таким образом, точки 3 и 4 разбивают вещественную осьна три промежутка знакопостоянства. Расставим на схеме(рис. 24) знаки и запишем ответ. Ответ включает подмножество, состоящее из изолированной точки 1, котораярасположена внутри «знакоположительного» интервала.Ответ: {1} ∪ [3; 4].Рис. 24.Промежутки знакопостоянства из примера 7Задачи к параграфу на с. 200, п.
27–28.§ 3.4. Комплексные корни многочлена125⇔149На протяжении всей истории развития челове-ческого общества развивалось и понятие «число». В рядеоткрытых европейскими путешественниками первобытныхплемен Африки и Океании люди знали только натуральные числа: 1, 2 и 3. Все, что больше, – это «много». Наверное, также обстояло дело с арифметикой и у наших далеких предков. Сейчас это может показаться смешным, но§ 3.4. Комплексные корни многочлена133такая числовая система вполне удовлетворяла потребностиих общественной практики. Древние греки уже рассматривали не только натуральные числа, но и их отношения, т.
е.положительные рациональные числа, а в школе Пифагоразнали о существовании величин, которые нельзя измерить ив этой числовой системе. Так, диагональ единичного квадрата не может быть измерена рациональной дробью. Сейчас мы сказали бы, что уравнение 2 = 2 не имеет решенияна множестве рациональных чисел или не существует та(︀ )︀2ких целых чисел и , что = 2 . В средневековойЕвропе величины, не измеряемые отношением целых чисел,называли иррациональными, т. е.
«неразумными». Тольков XVI веке эти числа несколько реабилитировал Симон Стевин, внедривший в обиход десятичные дроби. Наконец, вXIX веке благодаря трудам Георга Кантора, Карла Вейерштрасса и Юлиуса Вильгельма Рихарда Дедекинда иррациональные числа получили строгое определение, а следовательно, прописку на числовой оси.
Множество рациональных чисел, дополненное иррациональными, назвали множеством вещественных чисел. Оказалось, что иррациональныечисла «заткнули» все дыры на числовой оси и теперь любаявеличина может быть измерена. На этом в истории развития«числа» можно было бы поставить жирную точку, если быне одна беда.
Еще Кардано при нахождении корней многочленов третьей степени, даже если они были вещественны-134ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА√ми, использовал вспомогательные величины вида + −1.Существование таких величин не укладывалось в традиционное мировоззрение, и сам Кардано считал их лишеннымикакого-либо смысла, однако совсем отказаться от их использования не получалось. Декарт также рассматривал их какнечто нереальное, и с его легкой руки в XVI–XVII веках ве√личины вида + −1 стали называть мнимыми. Впрочем,как мы заметили выше, тогда даже иррациональные числа еще «не добились равноправия» на вещественной оси даи на отрицательные нередко посматривали неодобрительно даже математики. И все-таки практическая польза постепенно теснила «эстетику».
В XVIII веке Леонард Эйлер√ввел мнимую единицу = −1, а в XIX веке Карл ФридрихГаусс доказал алгебраическую замкнутость множествакомплексных чисел, т. е. чисел вида +. Последнее означает, что любой многочлен степени выше нулевой имеет хотябы один комплесный корень. Если степень многочлена ()больше единицы и 1 его комплексный корень, то, разделивмногочлен на линейный член ( − 1 ), мы получим многочлен степени на единицу меньшей (с. 102), который такжедолжен иметь по крайней мере один комплексный корень.Продолжим процесс понижения степени многочлена до техпор, пока в результате деления не получим многочлен нулевой степени 0 .
Теперь мы можем утверждать, что любой§ 3.4. Комплексные корни многочлена135многочлен -й степени имеет комплексных корней и () = 0 ( − 1 )( − 2 ) . . . ( − ).Сейчас мнимую единицу определяют как некую величину(не являющуюся вещественным числом), для которой верноутверждение 2 = −1, а комплексное число как выражение вида + , где , ∈ ℜ.
Если = + , то вещественное число = () называют действительной частью,а = () – мнимой частью.Сразу сделаем два важных замечания. Иногда мнимую единицу определяют как решение уравнения 2 = −1. Такоеопределение некорректно, поскольку точно также решением будет и (−). И второе. Поначалу сложилась практикав записи комплексного числа ставить отрицательное числопод знак квадратного корня. Тогда√︀√√√−1 · −1 = (−1)(−1) = 1 = 1.Но, с другой стороны,√√−1 · −1 = · = 2 = −1.Подобных недоразумений можно избежать, если, например,√√вместо −3 писать 3, т. е. не допускать записи отрицательного числа под корнем.
Дело в том, что обычно сим-136воломГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА√мы обозначаем арифметический квадратный ко-рень, определяемый как положительное вещественное число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Данное определение исключает возможность нахождения подзнаком квадратного корня отрицательного числа. В болеешироком смысле под квадратным корнем подразумеваютрешение уравнения 2 = . Уравнение имеет два корня.Определенный таким образом «корень» сложно использовать в выражениях.Пусть 1 = 1 + 1 и 2 = 2 + 2 . Тогда основные арифметические операции с комплексными числами определяютсятак:1) 1 ± 2 = (1 ± 2 ) + (1 ± 2 );2) 1 2 = (1 + 1 )(2 + 2 ) = (1 2 − 1 2 ) + (1 2 + 2 1 );3)1 + 1(1 + 1 )(2 − 2 )1===22 + 2(2 + 2 )(2 − 2 )=1 2 + 1 2 2 1 − 1 2+·.222 + 222 + 22Имеет место равенство ( + ) = + .
Два комплексныхчисла равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:(1 ) = (2 ) и (1 ) = (2 ).§ 3.4. Комплексные корни многочлена137Иначе говоря, (1 = 2 )&(1 = 2 ). Отношение неравенства для комплексных чисел не определено. Теперь обобщим алгоритм нахождения корней квадратного трехчлена2 + + (с. 59) на случай произвольного дискриминанта.Пусть ̸= 0. Тогда квадратный трехчлен имеет два комплексных корня.
Дискриминант = 2 − 4. Корни1,2⎧ √⎨ ± , если ≥ 0;2=√⎩ ± − , если < 0.2Таким образом, мы избегаем ситуаций, когда под знакомквадратного корня может оказаться отрицательное число.Пример 1. Найти корни квадратного трехчлена 22 +2+3. 200Решение. На с. 61 мы установили, что этот трехчлен не имеет вещественных корней. Найдем комплексные: = 4 − 24 = −20 < 0 ⇒ 1,2Ответ:√√−2 ± 20−1 ± 5==.42√√−1 − 5−1 + 51 =и 2 =.22Пример 2. Найти корни многочлена 23 + 2 + 4 − 15.Решение. В примере на с. 116 мы разложили этот многочлен на множители:23 + 2 + 4 − 15 = (2 − 3)(2 + 5).
201138ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА√Корни неполного квадратного трехчлена 2 +5: 2,3 = ± 5.√√Ответ: 1 = 1, 5; 2 = − 5 и 3 = 5. 201Пример 3. Найти корни многочленаа 24 + 3 + 42 + + 2.Решение. В примере на с. 120 мы разложили многочлен впроизведение двух квадратных трехчленов:24 + 3 + 42 + + 2 = (22 + + 2)(2 + 1).Рассмотрим первый квадратный трехчлен 22 + + 2. = 1 − 16 = −15 < 0 ⇒ 1,2 =√−1± 15.4Корни неполного квадратного трехчлена: 3,4 = ±.Ответ:√√−1 − 15−1 + 151 =; 2 =; 3 = − и 4 = .44Комплексному числу + можно поставить в соответствиеточку плоскости с координатами (; ). Таким образом, еслираньше мы говорили о вещественной оси, то теперь можемговорить о комплексной плоскости. Комплексные числа образуют векторное пространство, базисом которого являютсявещественная единица 1 и мнимая единица , и складываются по правилу сложения векторов (с.
136): если 1 = 1 +1 и2 = 2 + 2 , то 1 + 2 = (1 + 2 ) + (1 + 2 ) (рис. 25).Также = + .Для задания точки на плоскости, кроме декартовых прямо-§ 3.4. Комплексные корни многочленаРис. 25.139Сумма комплексных чиселугольных координат, в математике часто используют и такназываемые полярные координаты. Причем в повседневнойжизни последние нам гораздо привычней. Действительно,если человек в лесу спросит у вас: «Как пройти в Ольховку?», то что вы ответите? Назовете координаты квадрата,в котором находится село? Нет! Вы скажете, что «это вдвух километрах на северо-западе», т.
е. укажете направление и расстояние относительно вашего текущего местонахождения. Это и есть полярные координаты. Мы введем их,отталкиваясь от декартовых. Пусть – точка плоскости скординатами (; ) (рис. 26). Проведем из начала коорди−−→нат в точку радиус-вектор . Пусть радиус-вектор−−→ √︀образует с осью угол , а = | |= 2 + 2 – длинавектора. Направление и расстояние образуют пару полярных координат (; ), задающих положение точки . Для140Рис. 26.ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАТригонометрическое представление комплексного числавсех точек плоскости, кроме начала координат, имеет местовзаимнооднозначное соответствие между парами координат(; ) и (; ), задаваемоеуравнениями⎧⎨ = · cos ;⎩ = · sin .Комплексное число можно представить в тригонометрической форме: = + = (cos + · sin ),√︀где = ||= 2 + 2 называют модулем, а = ()– аргументом числа .
Леонард Эйлер расширил областьопределения элементарных и ряда других функций на комплексную плоскость и установил тождество = cos + sin ,которое называют формулой Эйлера. Таким образом, втеории функций комплексной переменной экспонен-§ 3.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
