Алгебраические_уравнения (835788), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Если бы в примере мы взяли многочлен сослучайными коэффициентами, вероятно, для записи ответане хватило бы места на странице.Задачи к параграфу на с. 204, п. 39.§ 3.7. Границы корней многочлена161⇔168 В этом параграфе нас будут интересовать тольковещественные корни многочлена. Мы уже знаем, что поисккорней многочленов степени выше второй – дело непростое.Даже если мы применяем численные методы, для начала§ 3.7.
Границы корней многочлена165неплохо бы знать, на каком интервале следует вести поиск.Ведь ось бесконечная! Пусть дан многочлен () = 0 + 1 −1 + · · · + −1 + .⃒⃒⃒⃒0⃒=lim ⃒⃒→±∞ 1 −1 + 2 −2 + · · · + 0 ⃒⃒⃒⃒⃒0⃒ = +∞.= lim ⃒⃒0 ⃒→±∞ 1 + 2 + · · · + −1Таким образом, старший член по модулю растет быстрейвсех остальных и, начиная с некоторой точки, превосходитмодуль их суммы. Значения ||, выходящие за эту границу,не могут быть корнями. Теперь рассмотрим модуль многочлена 1 −1 + 2 −2 + · · · + 0 .
Очевидно,|1 −1 +2 −2 +· · ·+0 |≤ |1 |||−1 +|2 |||−2 + · · ·+| |≤⃒)︀≤ (⃒|−1 +||−2 + · · · + 1 , где = {|1 |, |2 |, · · · | |}.По формуле суммы геометрической прогрессии,⃒)︀|| −1|| (⃒|−1 +||−2 + · · · + 1 = <.||−1||−1Считаем ||> 1. Тогда условие|1 −1 + 2 −2 + · · · + 0 |≤ |0 |166ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАвыполняется, если||≤ |0 ||| ⇒≤ |0 | ⇒ ||≥+ 1.||−1||−1|0 |Заметим, что условие ||> 1 здесь действительно выполняется. Последнее неравенство задает два интервала, на которых не может быть корней многочлена. В таком случаекорни следует искать только на интервале ||< |0 | + 1.
Ина)︁(︁)︁)︁(︁ (︁че говоря, ∈ − |0 | + 1 ; + |0 | + 1 . Мы только чтоопределили верхнюю границу для корней многочлена. Сделаем замену переменной = 1 . Тогда0 +1 −1 +· · ·+−1 + =1( +−1 −1 +· · ·+0 ).При этом будем считать, что ̸= 0, т. е. = 0 не является корнем исходного многочлена. Каждому корню новогомногочлена будет соответствовать корень =1исходногомногочлена и наоборот.
Теперь займемся границами корнеймногочлена в скобках. Пусть = {|0 |, |1 |, · · · |−1 |}.Тогда, как доказано выше, ||<| |+ 1. Отсюда⃒ ⃒⃒1⃒⃒ ⃒ < + 1 ⇒ ||>.⃒ ⃒ | | + | |§ 3.7. Границы корней многочлена167Следовательно, для корней многочлена всегда справедливо неравенство| |< ||<+1 + | ||0 |или, что то же самое,(︂)︂)︂ (︂∈ −− 1; −;+1 ,∪|0 | + | | + | | |0 |где = {|1 |, |2 |, · · · | |}, = {|0 |, |1 |, · · · |−1 |}.Пример 1.
Определить границы вещественных3 2042корней многочлена − 3 − 3 − 4.Решение. С этим многочленом мы уже встречались на с. 154.(︂ = {1, 3, 3} = 3, = {3, 3, 4} = 4 ⇒ ||∈Ответ: ||∈)︂4;5 .7(︀ 4)︀;5.7Пример 2. Определить границы вещественных 204корней многочлена 36 − 24 + 3 − 32 + 2.Решение: = {3, 2, 1, 3} = 3, = {2, 1, 3, 2} = 3 ⇒ ||∈ (0,4; 2).Ответ: ||∈ (0,4; 2).Задачи к параграфу на с. 204, п. 40.168ГЛАВА 3.
УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА§ 3.8. Интерполяционный многочленЛагранжа164⇔173 Всем известно, что через две точки на плоскостиможно провести одну единственную прямую. Многие знают,что через три точки, не лежащие на одной прямой, проходитединственная парабола с уравнением = 2 + + . Возникает вопрос: как построить многочлен, график которогопроходит через заданные точек плоскости? Рассмотримзадачу для случая четырех точек: (1 ; 1 ), (2 ; 2 ), (3 ; 3 ) и(4 ; 4 ).
Поскольку мы строим функцию, естественно потребовать различные значения для = 1, 2, 3, 4; значения могут совпадать. Теперь построим четыре вспомогательныхфункции:1 () =( − 2 )( − 3 )( − 4 );(1 − 2 )(1 − 3 )(1 − 4 )( − 1 )( − 3 )( − 4 )2 () =;(2 − 1 )(2 − 3 )(2 − 4 )( − 1 )( − 2 )( − 4 )3 () =;(3 − 1 )(3 − 2 )(3 − 4 )( − 1 )( − 2 )( − 3 )4 () =.(4 − 1 )(4 − 2 )(4 − 3 )Нетрудно понять принцип их построения. Поскольку все имеют различные значения, знаменатели дробей отличны от нуля. Каждая из четырех функций является много-§ 3.8. Интерполяционный многочлен Лагранжа169членом третьей степени от . А теперь попробуем в качестве аргумента () подставить одно из значений , где, = 1, 2, 3, 4.{︃ ( ) =1, если = ;0, если ̸= .Осталось записать выражение: () = 1 1 () + 2 2 () + 3 3 () + 4 4 ().Это и есть интерполяционный многочлен Лагранжа.Сумма многочленов третьей степени является многочленомстепени не выше третьей, но может быть ниже третьей, есликоэффициенты при старших членах сократятся.
Из свойстввспомогательных функций следует: ( ) = . Таким образом, график построенного многочлена проходит через четыре заданные точки. Аналогичные рассуждения нетрудновоспроизвести и при построении многочлена по пяти и болееточкам. Своим названием многочлен обязан выдающемусяфранцузскому ученому Жозефу Луи Лагранжу, а под интерполяцией в математике подразумевают метод нахождения промежуточных значений функции по имеющемусянабору известных.Пример 1. Построить многочлен Лагранжа, график кото- 204рого проходит через точки (0; 2), (3; 3), (4; 4), (7; 10) и (8; 12).170ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАРешение. По известным значениям абцисс {0, 3, 4, 7, 10} построим вспомогательные функции:1 () =( − 3)( − 4)( − 7)( − 8);672( − 4)( − 7)( − 8);2 () =−60( − 3)( − 7)( − 8)3 () =;48( − 3)( − 4)( − 8);4 () =−84( − 3)( − 4)( − 7)5 () =.160Поставив в качестве коэффициентов при вспомогательныхфункциях ординаты соответствующих точек, получим интерполяционный многочлен Лагранжа: () = 21 () + 32 () + 43 () + 104 () + 125 ().На графике (рис.
31) видно, что кривая действительно проходит через точки (0; 2), (3; 3), (4; 4), (7; 10) и (8; 12). Обычноне требуется приведения подобных в выражении многочленаЛагранжа, но если раскрыть скобки и привести подобные,многочлен будет выглядеть так: () = −13 4 101 3653 2 263 + − + + 2.16808401680420§ 3.8. Интерполяционный многочлен ЛагранжаРис.
31.171График многочлена ЛагранжаСомневающиеся могут убедиться в том, что (0) = 2, (3) = 3, (4) = 4, (7) = 10 и (8) = 12.В курсе математики средней школы выводят уравнение прямой, проходящей через заданные точки (1 ; 1 ) и (2 ; 2 ): − 1 − 1 1 2 − 2 12 − 2=⇒=+.2 − 12 − 12 − 1 2 − 1Это же уравнение можно получить, сгруппировав по члены интерполяционного многочлена Лагранжа: () = 1 − 2 − 1+ 2.1 − 22 − 1Теперь зададимся вопросом: какой вид будет иметь интерполяционный многочлен Лагранжа, если заданы три лежащие172ГЛАВА 3.
УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАна одной прямой точки? Из теории (с. 80) следует, что прямая не может пересечь параболу более чем в двух точках. 204Пример 2. Построить многочлен Лагранжа, график которого проходит через точки (1; 2), (3; 6) и (9; 18).Решение. Построим три вспомогательных многочлена:1 () =( − 3)( − 9)( − 3)( − 9)=;(1 − 3)(1 − 9)16( − 1)( − 9)( − 1)( − 9)2 () ==;(3 − 1)(3 − 9)−12( − 1)( − 3)( − 1)( − 3)3 () ==.(9 − 1)(9 − 3)48Тогда многочлен Лагранжа примет вид () = 2( − 3)( − 9)( − 1)( − 9)( − 1)( − 3)+6+ 18.16−1248Раскрыв скобки в правой части равенства, придем к уравнению = 2. Алгоритм «распознал», что ему вместо параболы «подсунули» прямую.Ответ: = 2.Рассмотрим еще одну задачу.
Требуется найти квадратныйтрехчлен, если известны его корни 1 и 2 , а его графикпроходит через точку (0 ; 0 ). В таком случае коэффициенты при вспомогательных многочленах, соответствующих1 и 2 , нулевые, поэтому достаточно построить один вспомогательный многочлен, соответствующий 0 , и многочлен§ 3.9. Многочлены в других задачах173Лагража будет равен произведению этого многочлена на 0 : () = 0 ·=( − 1 )( − 2 )=(0 − 1 )(0 − 2 )0[2 − (1 + 2 ) + 1 2 ].(0 − 1 )(0 − 2 )Пример 3. Найти квадратный трехчлен, если его 205корни (−1) и 4, а график проходит через точку с координатами (6, 3).Решение. Многочлен Лагранжа примет вид () =Ответ:33[2 − (−1 + 4) − 4] = (2 − 3 − 4).(6 + 1)(6 − 4)143(214− 3 − 4).Задачи к параграфу на с.
204, п. 41–42.§ 3.9. Многочлены в других задачах168⇔188 Охватить все приложения многочленов в элементарной и высшей математике нереально. В этом параграфемы ограничимся несколькими примерами.√√Пример 1. Решить уравнение 3 + 24 + 12 − = 6. 205√√Решение. Введем переменные = 3 + 24 и = 12 − .⎧⎨ + = 6Тогда⎩3 + 2 = 36⎧⎨ = 6 − ⇒⎩3 + (6 − )2 = 36⇒174ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА⇒ 3 +2 −12 = 0 ⇒ (2 +−12) = 0 ⇒ (+4)(−3) = 0.Рассмотрим три случая:√0 + 36 = 6;√√2) = −4 ⇒ = −88. Проверка: 3 −64 + 100 = 6;√√3) = 3 ⇒ = 3.
Проверка: 3 27 + 9 = 6.1) = 0 ⇒ = −24. Проверка:√3Ответ: 1 = −24, 2 = −88, 3 = 2.Теперь немного теории. Пусть дано неравенство > ⇔ − > 0.Разумеется, для входящих в неравенство переменных должны выполняться условия:( > 0)&( ̸= 1)&( > 0)&( > 0).1) < 1 ⇒ < , поскольку в таком случае логарифм – убывающая функция: (−1 < 0)&(− < 0) ⇒ (−1)(−) > 0;2) > 1 ⇒ > , поскольку теперь логарифм – возрастающая функция: ( − 1 > 0)&( − > 0) ⇒ ( − 1)( − ) > 0.Значит, неравенство − > 0 выполняется тогдаи только тогда, когда ( − 1)( − ) > 0.
Повторив те жерассуждения для случая < , мы придем к заключению, что в области определения соответствующих выражений знак − совпадает со знаком ( − 1)( − ).В математике имеется функция sgn («сигнум»), название§ 3.9. Многочлены в других задачах175которой происходит от латинского signum — знак. Определяется функция так:⎧⎪1, если > 0;⎪⎪⎨() = 0, если = 0;⎪⎪⎪⎩−1, если > 0.Ее впервые ввел Леопольд Кронекер. Теперь вывод относительно разности логарифмов можно сформулировать следующим образом: ( − ) = [( − 1)( − )].В дальнейшем два выражения (, , , . . .) и (, , , . . .) будем называть знакоэквивалентными, если[(, , , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
