Алгебраические_уравнения (835788), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Поэтому уравнения свыше четвертогопорядка обычно решают численно, хотя есть приемы, позволяющие в отдельных конкретных случаях найти эти корнии аналитически. Если многочлен () удастся разложитьна множителей: () = 1 () · 2 () . . . (), где 1 + 2 + . . . + = ,§ 3.2.
Разложение многочленов на множители109то множество решений исходного уравнения будет объединением множеств решений всех уравнений () = 0, где = 1, 2, . . . . В данном параграфе мы рассмотрим несколько приемов разложения многочленов на множители. В первуюочередь, это непосредственное использование известных алгебраических тождеств.Пример 1. Разложить на множители многочлен4 1972 − 18 + 81.Решение:(︀ )︀24 −182 +81 = 2 −2·9·2 +92 = (2 −9)2 = (−3)2 (+3)2 .Ответ: 4 − 182 + 81 = ( − 3)2 ( + 3)2 .Пример 2. Разложить на множители многочлен 6 + 6 .
197Решение:(︀ )︀3 (︀ )︀36 + 6 = 2 + 2 = (2 + 2 )(4 − 2 2 + 4 ) == (2 + 2 )(4 + 22 2 + 2 + 4 − 32 2 ) =(︁)︁√= (2 + 2 ) (2 + 2 )2 − ( 3)2 =√√= (2 + 2 )(2 − 3 + 2 )(2 − 3 + 2 ).Ответ: 6 + 6 = (2 + 2 )(2 −√√3 + 2 )(2 − 3 + 2 ).Часто все проблемы решает удачная группировка.Пример 3. Разложить на множители многочлен42 + 4 − 5. 197110ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАРешение:4 + 42 − 5 = 4 − 2 + 52 − 5 = 2 (2 − 1) + 5(2 − 1) == (2 − 1)(2 + 5) = ( − 1)( + 1)(2 + 5).Ответ: 4 + 42 − 5 = ( − 1)( + 1)(2 + 5).Теперь немного теории.Теорема 1. Многочлен n-го порядка () делится на линейный член (−) без остатка тогда и только тогда, когда является корнем многочлена.Доказательство.
Разделив многочлен () на линейныйчлен ( − ) так, как мы это делали в предыдущем параграфе, придем к равенству () = −1 () · ( − ) + ,где −1 () – некоторый многочлен порядка −1, а – остаток. Если деление прошло без остатка, = 0. Подставим вравенство = : правая часть обратится в ноль и равенствопримет вид () = 0, т. е.
– корень (). И наоборот.Если – корень, то при = левая часть и линейный множитель в правой части обращаются в ноль, следовательно, = 0. Теорема доказана.Если коэффициенты многочлена в алгебраическом уравнении – рациональные числа, а значит, представимы в виде§ 3.2. Разложение многочленов на множители111рациональных дробей, то умножив левую и правую частиуравнения на наименьшее общее кратное знаменателей всехдробей, мы получим многочлен с целыми коэффициентами.Поэтому следующие утверждения достаточно сформулировать только для многочленов с целыми коэффициентами.Теорема 2. Если многочлен с целыми коэффициентамиимеет целый корень, этот корень должен быть делителемсвободного члена.Доказательство.
Пусть – решение уравнения0 + 1 −1 + · · · + −1 + = 0.Тогда = − · (0 −1 + 1 −2 + · · · + −1 ).Таким образом, является произведением на другое целое число. Теорема доказана.Когда мы применяли теорему Виета к квадратным трехчленам, то искали делители свободного члена. Оказывается,целые корни многочлена любого порядка с целыми коэффициентами являются делителям свободного члена. Проверкаподстановкой может занять много времени. Например, еслисвободный член равен 60, он имеет 24 делителя:±1; ±2; ±3; ±4; ±5; ±6; ±10; ±12; ±15; ±20; ±30; ±60.112ГЛАВА 3.
УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАЕсли оказалось, что ни один из делителей свободного члена не является корнем, вам не повезло! Многочлен не имеетцелых корней. Только что доказанную теорему можно обобщить на случай рационального корня.Теорема 3. Если корнем многочлена () с целыми коэффициентами является рациональное число, представленноенесократимой дробью , где и – целые числа, то числитель дроби является делителем свободного члена, а знаменатель – делителем старшего коэффициента.Доказательство.
Пусть =– решение уравнения () = 0.(︂ )︂(︂ )︂−10+ 1+ . . . + −1 + = 0.Умножив его левую и правую части на , получим уравнение0 + 1 −1 + . . . + −1 −1 + = 0 ⇒)︀(︀⇒ 0 = − · 1 −1 + . . . + −1 −1 + .Правая часть последнего равенства делится на . Поскольку целые числа и не имеют общих делителей, 0 делитсяна .§ 3.2. Разложение многочленов на множители113Теперь перенесем в правую часть все моночлены, кроме 0 :(︀)︀0 = · 1 −1 + .
. . + −1 −2 + −1 .Правая часть делится на . Следовательно, старший коэффициент в левой части 0 делится на . Теорема доказана.Таким образом, для проверки существования рациональныхкорнеймногочлена (), мы должны выполнить следу-ющие три шага:1) найти все делители свободного члена;2) найти все делители старшего члена;3) проверить подстановкой все дроби, числитель которыхнайден на первом шаге, а знаменатель – на втором.При этом надо помнить, что каждая пара натуральных чисел и будет представлять два рациональных числа: (︁ )︁и − .
Если ни одна из рациональных дробей, составленных по известному правилу, не является корнем, то мы зрятрудились: многочлен имеет только иррациональные корни.Но, если мы угадаем один из корней, мы можем понизитьпорядок многочлена, разделив его на ( − ).Пример 4. Разложить на множители многочлен4 + 42 − 5.Решение. Эту задачу мы уже решали в примере на с. 109методом группировки. Теперь используем другой прием.
Легко проверить подстановкой, что выражение обращается в 197114ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАноль при = 1 и = −1. Тогда многочлен должен делитьсябез остатка на ( − 1) и ( + 1), а значит, и на( − 1)( + 1) = 2 − 1.4 +42 −52 − 14 −22 + 552 −552 −50Ответ: 4 + 42 − 5 = ( − 1)( + 1)(2 + 5). 198Пример 5. Разложить на множители многочлен3 + 22 + − 18.Решение.
Заметим, что корнем многочлена является = 2,и выполним деление многочлена на − 2 по схеме Горнера,как показано на с. 106.Степень3210Остатокa121−18–b–1490Таким образом, 3 + 22 + − 18 = ( − 2)(2 + 4 + 9).У квадратного трехчлена дискриминант меньше нуля, идальнейшее разложение на множители невозможно.Ответ: 3 + 22 + − 18 = ( − 2)(2 + 4 + 9). 198Пример 6. Разложить на множители многочлен23 + 2 + 4 − 15.§ 3.2. Разложение многочленов на множители115Решение. Прежде всего в соответствии с теоремой 3 выполним три шага, указанные на с. 113:1) все делители свободного члена: ±1; ±3; ±5; ±15;2) все делители старшего члена: ±1; ±2;3) все возможные рациональные дроби, в которых числитель взят из 1-го пункта, а знаменатель – из 2-го:13515±1; ± 3; ± 5; ± 15; ± ; ± ; ± ; ± .2222Проверка подстановкой показывает, что из 18 перечисленных рациональных чисел только32является корнем рас-сматриваемого многочлена.
Действительно,(︂ )︂3 (︂ )︂331332++4 −15 = 3 ·(2·33 +32 +4·3·22 −15·23 ) =22221= · (54 + 18 + 48 − 120) = 0.8Любой человек, имеющий навыки работы на персональномкомпьютере, легко может проверить все перечисленные под(︀)︀становки, например в Excel. Таким образом, − 23 является делителем рассматриваемого многочлена. Но мы, чтобыизбежать операций с дробями, выполним деление многочле(︀)︀на на линейный член: 2 · − 32 = (2 − 3).
Так как коэффициент при в линейном члене не равен единице, схемаГорднера здесь не сработает и мы выполним деление «лесенкой»:116ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА23 +2 +4−152 − 323 −322 + 542 +442 −610 -1510 -150Поскольку 2 + 5 не раскладывается на множители, задачарешена.Ответ: 23 + 2 + 4 − 15 = (2 − 3)(2 + 5).Если коэффициенты многочлена четвертой степени симметричны относительно среднего члена, можно применить следующий прием. 199Пример 7.
Разложить на множители многочлен4 − 63 + 102 − 6 + 1.Решение. Очевидно, ̸= 0.)︂61 − 6 + 10 − 6 + 1 = − 6 + 10 − + 2 = )︂(︂)︂)︂(︂(︂1122= + 2 −6 ++ 10 .4322(︂2§ 3.2. Разложение многочленов на множители(︀)︀(︀Пусть + 1 = , тогда 2 +12)︀117)︀2(︀= + 1 − 2 и выраже-ние примет вид2 ( 2 − 2 − 6 + 10) ⇒ 2 ( 2 − 6 + 8) ⇒ 2 ( − 2)( − 4).Выражение обращается в ноль при = 2 и = 4:1) = 2 ⇒ + 1 = 2 ⇒ 2 − 2 + 1 ⇒ 1,2 = 1.√2) = 4 ⇒ + 1 = 4 ⇒ 2 − 4 + 1 ⇒ 3,4 = 2 ± 3.Ответ:(︁√ )︁ (︁√ )︁4 − 63 + 102 − 6 + 1 = ( − 1)2 − (2 − 3) − (2 + 3) .Мы могли решить эту задачу и иначе: заметив, что 1 –корень многочлена, разделить многочлен на ( − 1) (пример на с. 106). Оказывается, 1 является и корнем частного,которое следует также разделить на ( − 1).
В конечномитоге останется только найти корни квадратного трехчлена2 − 4 + 1.В данном случае проблему нахождения корней многочлена четвертой степени мы свели к задаче решения квадратных уравнений. Тот же прием позволяет понижать порядокуравнений более высокой степени.Пример 8. Разложить на множители многочлен6 − 35 + 24 − 33 + 22 − 3 + 1. 199118ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАРешение. Вынесем за скобки величину 3 :(︂ )︂ (︂ )︂)︂(︂11132 − 3 + 2 − 3 + 2 − 3+=233)︂(︂)︂(︂)︂)︂(︂(︂11123=−3 . + 3 −3 + 2 +2 +(︀)︀(︀)︀ (︀)︀2Пусть + 1 = , тогда 2 + 12 = + 1 − 2. Выведем(︀)︀аналогичную формулу и для 3 + 13 :3(︂(︂)︂3)︂(︂)︂1111133+= + 3 + 3 + 3 = + 3 + 3 += (︂=1 + 33)︂+ 3 =⇒ 3 +1= 3 − 3.3Таким образом,)︂(︂)︂)︂11−3 + 2 +2 +−3 =(︀)︀= 3 3 − 3 − 3( 2 − 2) + 2 − 3 =(︀)︀(︀)︀= 3 3 − 3 2 − − 3 = 3 2 ( − 3) − ( − 3) =3(︂(︂1 + 33)︂(︂2= 3 ( − 3)( + 1)( − 1).Рассмотрим три случая: = −1, = 1 и = 3.1) = −1 ⇒ +1= −1 ⇒ 2 + + 1 = 0.
Дискриминантменьше нуля. Вещественных корней нет.2) = 1 ⇒ + 1 = 1 ⇒ 2 −+1 = 0. Дискриминант меньше§ 3.2. Разложение многочленов на множителинуля. Вещественных корней нет.3) = 3 ⇒ +1= 3 ⇒ 2 − 3 + 1 = 0 ⇒ 1,2 =119√3± 5.2Ответ:6 − 35 + 24 − 33 + 22 − 3 + 1 =(︃√ )︃√ )︃ (︃(︀ 2)︀ (︀ 2)︀3+ 53− 5−.= ++1 −+1 −22Рассмотрим примеры, когда делителем многочлена является неполный квадрат вида 2 + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
