Алгебраические_уравнения (835788), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Комплексные корни многочлена141та выражается через тригонометрические функции и наоборот:⎧⎨cos = +−;2⎩sin = −−.2Отсюда еще одна форма представления комплексного числа– экспоненциальная: = + = (cos + · sin ) = = ln + .Из формулы Эйлера следует интересное отношение = −1.На множестве вещественных чисел мы лишены возможности видеть эти связи, как человек, рассматривающий с берега моря живописные острова, не подозревает, что они всеголишь вершины сложной горной системы подводного царства. На комплексной плоскости «в порядке вещей» многоеиз того, что категорически запрещено на вещественной оси.Здесь существуют решения уравнений () = 5, 2 = −3и т. д. Конечно, и теперь мы рассматриваем комплексноечисло как некую абстракцию, но не в большей мере, чемчисло «три». Ведь числа «три» также в природе не существует! Естественно возникает вопрос: не придется ли длярешения других уравнений, например 4 + 1 = 0, и даль-142ГЛАВА 3.
УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАше расширять понятие «число». Оказывается, на множествекомплексных чисел любой многочлен, как с действительными, так и с комплексными коэффициентами, имеет корни.Однако вернемся к тригонометрической форме. Как найтиаргумент и модуль комплексного числа? Если = + ,√︀то = ||= 2 + 2 , а аргумет = () можно определить, приняв во внимание, что ∀ ∈ ℜ ∈ (0; ),следующим образом (рис. 27):⎧(︂)︂⎪⎪⎨ √ 2 2 , если ≥ 0;(︂ + )︂=⎪⎪⎩− √ 2 2 , если < 0. +Рис. 27. 202Аргумент комплексного числаПример 4. Преобразовать комплексное число = 2 + 2 в тригонометрическую форму.§ 3.4. Комплексные корни многочлена143Решение:√ )︁√ (︁ √√ (︀)︀ = 2 + 2 = 2 2 22 + 22 = 2 2 cos 4 + sin 4 .√ (︀)︀Ответ: 2 2 cos 4 + sin 4 .Пример 5.
Преобразовать комплексное число 202 = 3 + 4 в тригонометрическую форму.√(︀)︀Решение: ||= 32 + 42 = 5 ⇒ = 3 + 4 = 5 53 + 54 .Ответ: 5(cos + · sin ), где = 35 .Пример 6. Преобразовать комплексное число = 5 − 7в тригонометрическую форму.Решение:)︁√√ (︁ 5√−722√√||= 5 + 7 = 74 ⇒ = 5 − 7 = 74 74 + 74 .√Ответ: 74(cos + · sin ), где = − √574 .Операции сложения и вычитания комплексных чисел подчиняются правилу сложения и вычитания векторов (рис.
25).Но формулы умножения и деления комплексных чисел выглядят сложновато (с. 136).Попробуем теперь выполнить эти операции с числами в тригонометрическом представлении. Пусть1 = 1 (cos + · sin ), 2 = 2 (cos + · sin ).Тогда 1 2 = 1 2 (cos + · sin )(cos + · sin ) == 1 2 [(cos cos − sin sin )(cos sin + sin cos )] == |1 ||2 |(cos( + ) + sin( + )).
202144ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАТаким образом, при перемножении комплексных чисел ихмодули перемножаются, а аргументы складываются (рис. 28).Рис. 28.Умножение комплексных чиселАналогично11 (cos + · sin )1 (cos + · sin )(cos − · sin )===22 (cos + · sin )2 (cos + · sin )(cos − · sin )|1 |=[cos( − ) + sin( − )].|2 |Следовательно,|1 2 |= |1 ||2 |, (1 2 ) = (1 ) + (2 ),⃒ ⃒(︂ )︂⃒ 1 ⃒ |1 |1⃒ ⃒=⃒ 2 ⃒ |2 | , 2 = (1 ) − (2 ).В частности,1= cos − · sin .cos + · sin § 3.4. Комплексные корни многочлена145Поскольку целая степень числа означает многократное произведение, = [(cos + · sin )] = (cos + · sin ).Последнее тождество известно как формула Муавра.Отрицательная степень − = [(cos + · sin )]− =1(cos − · sin ).Пример 7. Найти девятую степень числа cos 6 + sin 6 .Решение:(︁ )︁99933cos + sin= cos+ sin= cos+ sin= −.666622Ответ: −.Пусть = (cos + · sin ) и требуется найти все решенияуравнения = (cos + · sin ).
(cos + sin ) = (cos( + 2) + · sin( + 2)) ⇒ + 2√⇒ = , = + 2 ⇒ = , =,где k=0,1,. . . , n-1. Следовательно,(︂)︂+2+2√0,1,···−1 = cos+ · sin. 202146ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАЕсли принимает значения 0, 1, . . . − 1, то – принимает различных значений. В следующем параграфе нам понадобятся все кубические корни из 1, т. е. все решения уравнения = 1. Представим вещественную единицу в тригонометрической форме: = cos 2 + · sin 2. Тогда = cos22+ · sin, где = 0, 1, 2.33Кубические корни из единицы показаны на диаграмме (рис. 29).√Таким образом, 1 = 1, 2,3 = −1±2 3 .Рис. 29.
202Кубические корни единицыПример 8. Решить уравнение 3 = 5 + · 5.Решение:√3 = 5 2(︃ √√ )︃(︂√22+= 5 2 cos224+ 2+ · sin34+ 23)︂,где = 0, 1, 2. Подставляя поочередно в правую часть равенства значения , получим§ 3.4. Комплексные корни многочлена147Ответ:√3√√ ]︁ )︁20 [︁1 = 50 cos+ · sin=1 + 3 + · (−1 + 3) ;12124√(︂)︂3√32036+ · sin=(−1 + ) ;2 = 50 cos442√3(︁√√√ ]︁ )︁20 [︁63 = 50 cos+ · sin=1 − 3 + · (−1 − 3) .12124√6(︁Прежде чем перейти к следующему вопросу, коротко коснемся проблемы графического представления многочлена,определенного на комплексной плоскости. Пусть дан многочлен с вещественными коэффициентами () = 3 + 2 + +1от комплексной переменной = + .
Его график длядействительных значений , т. е. для = , изображен нарис. 30г. Как видно на графике, многочлен имеет один вещественный корень = −1. Теперь рассмотрим комплексныезначения = + . В таком случае и () – комплексное число. Для построения графика функции, отображающей комплексную плоскость на комплексную плоскость,нам пришлось бы выйти в четырехмерное пространство, номы поступим проще, рассмотрев отдельно графики [ ()]и [ ()], т. е. графики действительной и мнимой частейфункции ().
Каждый график – это поверхность в трехмерном пространстве, а поверхность можно задать линиями уровня, как на географической карте. Такой график мыуже видели на рис. 13а (с. 73). График вещественной части148ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАРис. 30.Графики многочлена 3 + 2 + + 1 () показан на рис. 30а, комплексной – на рис. 30б. Обратите внимание на нулевые линии уровня.
На рис. 30б одна изтаких линий задана уравнением = 0, поскольку действительным значениям соответствуют действительные значения функции. Корнями многочлена будут те значения ,для которых одновременно [ ()] = 0 и [ ()] = 0, т. е.точки пересечения нулевых линий уровня, представленныхна рис. 30а и 30б. На рис. 30в мы разместили оба графика наодной комплексной плоскости.
Сплошные линии уровня соответствуют действительной, а пунктирные – комплексной§ 3.5. Формула Кардано149части функции (). На графике видны точки пересечениянулевых линий. Это точки (−1; 0), (0; 1) и (0; −1). Поскольку уже известен один действительный корень = −1, мыможем разделить многочлен 3 + 2 + + 1 на линейныйчлен ( + 1) и найти два комплексных корня полученногоквадратного трехчлена 2 + 1.
Таким образом, мы подтвердили расчетом обнаруженные на рис. 30в корни многочлена 3 + 2 + + 1. Это числа (−1), и −.Вы познакомились с комплексными числами. Функции комплексного переменного нашли широкое применение в гидромеханике, аэродинамике, электротехнике, теории поля идругих областях науки и техники.Задачи к параграфу на с.
200, п. 29–35.§ 3.5. Формула Кардано132⇔161Несмотря на последние достижения в областикораблестроения и судовождения, в хорошем мореходномучилище курсантов обязательно учат ходить под парусом,поскольку только так они смогут почувствовать море. Вот инам формулы Кардано и Феррари помогут «почувствовать»алгебраические уравнения. Формула Кардано служит длянахождения корней многочленов третьей степени. Согласно теории (с.
135), такой многочлен имеет три комплексныхкорня. При этом, как показано на рис. 21 (с. 126), у много-150ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКАчлена с вещественными коэффициентами может быть одинвещественный (рис. 21а и 21д) или же три вещественныхкорня. Если все корни вещественные, возможны случаи: всекорни простые (рис. 21в), существует корень второй (рис. 21би 21г) или третьей (рис.
21е) кратности. Пусть дано уравнение, в левой части которого находится многочлен третьейстепени с вещественными коэффициентами,3 + 2 + + = 0.Путем подстановки = − 3 перейдем к уравнению с неполным многочленом в левой части 3 + + = 0. Теперьсделаем еще одну подстановку = −,3в результате ко-торой получим:3 −3363+=0⇒+−= 0.27 327Последнее уравнение является квадратным относительно 3 .I. В случае положительного дискриминанта его решения: √︀31,2= − ± ,2где =(︁ )︁22+(︁ )︁33. √︀ √︀Тогда 13 = − + , 23 = − − , где > 0.22Уравнение 3 = , где > 0, - имеет три решения: одновещественное и два комплексно-сопряженных.
Эти решения§ 3.5. Формула Кардано151получаются как произведения√3 на корни из единицы, т. е.на решения уравнения 3 = 1 (рис. 29 на с. 146):√3;√3· =√3(︃√ )︃√ )︃√√1133и 3 ·2 = 3 − − . − +2222(︃Мы перешли к переменной путем подстановки = −.3Возьмем вещественное значение 1 :√︂−= − √︂√︁31233 − 2 + 4 +√︂√︁=−32− 2 − 4 +(︀ )︀3 − 3327=3− 2−√︁= − √︁3 3 ( 2 )2 −327√︃324+327=24−327√︂ 2 3+= 2 . ⇒427⇒ 1 = 1 −= 1 + 2 .31− −2Заметим, что⎧⎨ 1 = ()2(︀ 3)︀() = 1 ⇒ ⎩ 1 =()2⎧⎨2 = − = 2 231 ⇒⎩ = − = 2231 2В последнем нетрудно убедиться, проделав соответствующие операции с комплексными числами (с.
136). Тогда√︃1 =3− +2√︂24+327√︃· ⇒ 2 =3− −2√︂23−· ()2 ;427152ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА√︃1 =3− +2√︂24+327√︃· ()2 ⇒ 2 =3− −2√︂23−· .427Многочлен 2 + + имеет корни:√︃√︃√︂3231 = − +++ − −− ;24272427√︃√︃√︂√︂33 2 323 22 = − ++·+ − −−· ;24272427√︃√︃√︂√︂3233322+· + − −−· .3 = − +242724273√︂23Теперь нетрудно найти корни исходного многочлена:1 = 1 − 3 , 2 = 2 −3и 3 = 3 − 3 .(︀ )︀2 (︀ )︀3II. Рассмотрим случай = 2 + 3 = 0. Тогда√︂√︂31 = 2 · − ; 2,3 = 3 − ( + 2 )22и, поскольку + 2 = −1,√︂√︂31 = 2 · − ; 2,3 = − 3 − .22Многочлен имеет три вещественных корня: один простойи два кратных. Если же уравнение имеет корень третьейкратности, после первой подстановки неполный многочленпримет вид 3 = 0. Это означает, что 1 = 2 = 3 = 3 .§ 3.5. Формула Кардано153III.
Осталось рассмотреть случай < 0. Тогда квадратноеотносительно 3 уравнение3= 0 имеет решения:27√︃ (︂)︂√︀ 2 33+1,2 = − ± · −= − ± · −.24272 6 + 3 −Запишем их в тригонометрической форме:√︂√︂(︁ )︁ 333 = |1,2 |=−= − ,227⎧⎨cos = − /2 ;⎩sin =− .Неравенство < 0 выполняется только при < 0. Поэтомув выражении под корнем будет неотрицательное число.Таким образом,13 = (cos + · sin ) и 23 = (cos − · sin ).По формуле Муавра, уравнения имеют решения:1 =√3(︂)︂ + 2 + 2 cos+ · sinи33(︂)︂√ + 2 + 232 = cos− · sin,33√︂√3где = 0; 1; 2, = − .3154ГЛАВА 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
