demidovich-zad (832426), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Момент инерции определяется отиосигельно оси ОХ. Переходя к полярным координатам, имеем: и и 4 а»еее Э а са»ес»р 1„= ) с(9» ~ Аг (ге)п Ч»)э г 6г+ )»(9» ) йг(гэ!пй»)эг»(г, 2237.!е= — нае. 35 !6 о о и 4 пае Зб 2238. 1 = —. 2239. — по'. Указан не. Принять эа переменные инте» 2 ' '12' 4-» 4-« — Э грировенин 1 и у (см, задачу 2156). 2240. ~ с(х )»(у ~ 1'(х, д, г) 4(г. о о о ответы 2266.
— гз л 2257 лЯа 2268 2266 азй 2268 лаз а г 4т 4 л 32 3 '3 т 37'' ' 15 ' !О' ' 9 ' 4 ю ь аг Ута»- л* и та еоа В !за 2а Решение. о=2 3 Их 3 Иу 3 Из=2 3 Ир ) туг ~ ИЗ о в о о о 2аеоав 1 '-~" гзаг 1 ( (2асоягр)' 3 э Злат У 2 И р = — лаз.
2281. Указ о 19 ванне. Перейти к сферическим координатам. 2282. — л.,Указание. 6 аз Перейти к цилиндрическим координатам. 2283. — (Зл — 4). 2264. лаЬс. 9 — ()г' 2 — 1) аэс. 2265. — (а+Ь+с). 3 2 =г~ьф о 2284.!. =, 2264.2 2266. — (6сз — аз — Ь ), 24 — 2 г= — а. Указание. 5 2267. х=О; у=О) 4 2266 л= —, 3 ' у=О, Ввести сферические координаты. лаед 2289. — (Заз+4эз). У к а з а н и е. Ось цилиндра принимается эа ось ОЗ, 12 плоскость основания цилиндра — за плоскость ХО!г. Момент инерции вычисляется относительно оси ОХ. После перехода к цилиндрическим координатам квадрат расстояния элемента г ИЧ~ Иг Иг от оси ОХ равен гз з1пз В+а'. 2270.
— (2эт-,'-За ). У к а з а н не. Плоскость основания конуса принимаетлрэаа 60 ся за плоскость ХОг', ось конуса — за ось ОЗ. Момент инерции вычисляется относительно оси ОХ. Переходя к цилиндрическим координатам, для точек поверхности конуса имеем: г= — (Ь вЂ” з), причем квадрат расстопния элемента Ь гйрИгбз от оси ОХ равен газ)пт<р+аз.
2271, 2лурд(! — сова), где Ь вЂ” коэффициент пропорциональности и р — плотность. Р е ш е н и е. Вершина конуса принимается за начало координат, а его ось — за ось ОЗ. Если ввести сферические координаты, то уравнение боковой поверхности конуса будет л Ь ф= — — и, а уравнение плоскости основания г= —.. Из сим- 2 зтф метрии следует, что результирующее напряжение направлено по оси ОЯ. Масса элемента объема Ит = ргз соз ф йр Иф Иг, где р — плотность.
Компонента по оси ОЛ притяжения этим элементом единицы массы, находящейся ЙИт в точке О, равна — миф=ура!п ф сов 6Иф йрИг. Результирующее притягз 2л 2 ассмо в жение равно ~ И!2 ) Иф ) йрз!пфсозфИг. 2272. Решение. Ввез о о дем цилиндрические координаты (р, !р, 2) с началом в центре шара в осью ОЯ, проходящей через материальную точку, массу которой полагаем равной ш. Расстояние этой точки от центра шара обозначим через В.
Пусть г= зг ра+(5 — а)' — расстояние от элементарного объема Ио до массы ш. 443 ОТВЕТЫ г= — йшу ) бр ) (9 — з)с(з ) — 2 йшу — л)!з —, но так рс(р 4 1. гэ 3 о о Отсюда 4 как — ул)?«2 34, 3 ~ „,,-«дс,!у при р>ая в) — (р>0); г) — (р>0), Ук а за н и е.
Продифференцировать два раза г"= — ' ЬМш $2 2273 2275. а) — (р > О): б)— 1 1 р р — а 2276. — — . 2277. ! 2 ле рз ' 2279. агс!2 — — агс!2 —. 2280. — )п) !+сх). я л л! ш ' ' 2 2 е-Рсбг = †. 22?В. 1п— р сс о 2281. л ( Ь«1 — аэ — 1). 2 282. агсс!2 †, 2283. 1. 2284. †, 2285. — . а 1 гс 2' ' 4' 2288. —. Указа ние. Перейти к поляраым координатам.
2287. —. гс Ьг л 4аа ' 2 2288. —. 2289. Сходится„решен не. Исключим иэ Я начала координат В ' вмессе с его е окрестностью. т. е. рассмотрим 1е = ~ ~ 1п Ухе~ у'с!«2)у, (эе) где удаляемая область †кр радиуса е с центром в начале коордигл наг. Перейдя к полярным координатам, имеем 1е = ) 2(ф ~ г)п г дг = о е ) '(«2 — ) 2122=2 ( — — — 2 о е Отсюда и !!ш 1е = — —, 2290.
Сходится при л >!. 229!. Сходится. е о 2 и не. Окружаем прямую у=х узенькой полоской и ! .2-Е ! ! Укзза- полагаем (' з + з бу, (" ( 21у з,,(„ у)* а о ) ) о о о «ге сс > — . 2293. О. 2294. 1и 3 Ьг 5+3 2' 2 256 аз 2299. — аэ. 2297.
— ) (1+ 4лг) — 11, 15 3 бх 2! = йш сэ! 2292. Сходится при аЬ (а'+аЬ+Ьг) 3 (а+Ь) Сила притяжения элементарного объема бо шара и материальной точки гл бо 34 направлена вдоль г и численно равна — Ьуш —, где ?= —— ге 4 лй2З 3 плотность шара и 2(о=рсгфбрсгз — элементарный обьем. Проекция этой силы на ось ОЛ будет: Ьлу 2(о г $ — а бг = — — сое (г«) = — Ьт у — р б р бр с)г. гз га гл гт Уг!2-«2 отввты 2298. аз )/Т-1- пгз/Зт, 2299. аз У 2. 2300. (56 Ут 7 — !)/54„ рта' -~- ба 2пЬ т ! 6 2301. агс!Н вЂ .
2302. 2пат. 2303. — (!О )~!Π— !). У к а з а н и с. аЬ а ' ' ' '27 /(х, у) аз можно геометрически интерпретировать как площадь пилнндрнческой поверхности с образующей, параллельной оси ОЯ, основанием — контуром интегрирования и высотами, равными значениям подынтегральной функ. =3 ции. Поэтому о= ) хс(з, где С вЂ” дуга ОА параболы у= — х', соединяющая 6 с уз, аав .
Рае — Ьс! точки (О; 0) и (4; 6). 2304. а )/ 3. 2305. 2 !ХЬз+ шсып )/ ат — Ье а аз 2п6-1- )стаа+4п'Ьт~ ТМЯ. )/аз+от(п)тае+4пзз+ — !п /1. 2307. (4а/3,4а/3). 2Ь а 2308. 2па' Утаа —,Ье. 2309. ЬМт6/ут(аз-1-Ье)з. 2310. 40; —. 2311. — Зпа"-, !9 30 ' 4 !2 2312. а) —; б) 0; в) — '; г) — 4; д) 4. 3' ' 5 2313. Во всех случаяк 4. 2314. — 2п.
У к а э а н и е. Использовать параметрическее 4 уравнения окружности. 2315. — аЬ"-. 2316. — 2 ып 2. 2317. О. 23!8. а) 1т 3 х а 3 б) !2; н) 2; г) —; д) !п (х+у); е) ) ср (х) с(х+ ) ф (и) с/у. ю Д 2319. а) 62: б) !"! в) — +!п2; г) !+ )т 2. 2320. У !+аз — $' ! т Ьг 4 2322.
а) х'+Зху — 2у'+С; б) хз — х'у+хуз — уз-! С; в) е*-н(х -'. у)+ С; г) !н(х+у(+С. 2323. — 2па(а+Ь). 2324. — пуесоз'а. 2325. ~ —,+, /! !7'. '~6 Гб ! 2320. а) — 2; б) азс — 1; в) 5 )/ 2! г) О. 2327. /=) ) у" с(х Ну. сз! 2328. — 4/3. 2329. и/7г/2 2330. — 1/3. 2331. О. 2332. а] 0; б) 2лл. У к а э ан и е. В случае б) формула Грина применяется в области, заключенной между контуром С и окружностью достаточно малого радиуса с центром в начале координат. 2333. Решение.
Если считать, что направление касательной совпадают с напрнвлснием положительного обхода контура, то соз(Х, л) =сов(У, !)= —, следовательно, у соз(Х, и) ба=у — с(з=У7 осу= бу д" ду с(з с(а с = О. 2334. 23, где Я вЂ” площадь, ограниченнав контуром С. 2335. — 4. У к а з а н н е. Формулу Грина применять нельзя. Ланный интеграл несобственный, так как н точках пересечения контура интегрнрова- О ния с прямой х+у= О подынтегральное выражение принимает вид 0' 2338. паЬ. 2337. — пае.
8 2338. 6па'. 2339. — „ае. У к а з а н и е. Положить у=!к, где ! — параметр. аа 2340. О . 234). н ()(+ 7) ()(+21), '6Ю! прн )(= 7. У к й 2 й н н е. Урзйненне эпиниклоиды имеет внд х=(/елст) сов! — т сов — !, у=(/7+т) з!п !— /7+ т т отннты 445 Лл-г — г гйп — (, где ! — угол поворота радвуса неподвижного круга, про.
г 3 зеленного в точку касания. 2342. л 07 — г) 07 — 2г)", — л)72 при г= —, Н 4 ' У к а з а н н е. Уравнение гипоцнклоиды получается из уравнения соответст. вующей зцициклонды (см. задачу 2341) заменой г на — г. 2343. Р)7. 2344. гий (х,— 22). 2345.
— (аб — Ь ), где )г — коэффициент пропорциональной 2 сти. 2346. а) Потенциал и =- — тйа, работа щд (г, — г,); б) потенциал и = —, работа — ==; в) потенциал и = — — (х +у +а ), ц )) йб 2 2 у а' )-Ьз-, 'са 2 2лаб Р и'-, 'Ьб работа — (Нб — га).
2347. — лаб. 2348. ' . 2349, О, 2 ' ' 3 ' 3 4 лаб 3 25 Ргб ! 1 . п)(2,б 23эО. — лабе. 2351. — . 2352. — . 2353. ' а. 2354. — !г'. 3 ' ' 2' '4' '!О(йргб 1) ' ' 2 2355. а) О; б) — ~ ~ (сова > сов ()+сову) йЗ. 2356, О. 2357. 4л, 2358. — лзб. (к) дН дЯ дР дН дЯ дР 2359. аб 2360 — 2361 О ду дг ' дх дх дх ду 2362.
2 ~ ~ (к )-у+а) йх йуда 2363. 2 ~~ ~ (ч') -(ч)- Г( Г Гдби дби дбит аа !2 2364. ), ~й! ( — +- — + —,) йх йу йа. 2365. Заб. 2386. †. 2367. — ла'„ '.)й' (, дхб ду' даа ) 2 ' ' 5 (ч) па а)А 2368. — . 2371. Сферы; цилиндры. 2372. Конусы, 2374, Окружности хб-'; У*=се„а = с . 2376. йгай и (А) =О! — Зà — Зй; ) йгай и (А) ) = )( 90. г Г, г = 3 у 11; к' — ху; к.— -у=-а. 2377.
а) —; б) 2г; в) — —; г) Г'(г) —, г гз ' 2378, йгай(сг) = — с; поверхности уравня†плоскости, перпендикулярные к ди 20 ди ди всктору с. 2379. — = —, — =) Вгай и ) при а = б =с. 2380. дг г ' дг д! — — — — =О при 1 ) г. 2382. —. 2383. гйча= — 7(г)+/'(г). (Н г) ди 2 2 гб ' д! г г гс Гхс 2385. а) й)ч г = 3; го! г —.- О; б) йгч (гс) = —, го1 (гс) = —; в) айч 0 (г) с) = г г = — (сг), го1 (/(г)с)= — — с Х г. 2386. й!ч и=-О; го1 ю — 2ю, где ы = ('(г) 7' (г) г г = ый, 2387. Зып', гпе лб — Еднничный вектОР, параллельный оси вращения, д'и дЧ) дЧ/ 2388.
й!ч Вгай и= — + — + —; го) В(ай и =О. 2391, ЗлН2Н. дк' дуб даб ' 2392. а) — лН2Н (Зйб+ 202)) б) — лН20 (02+202). 2393. й(ч Р=Π— во ! 3 ГО !О всех точкак, кроме начала координат. Поток равен — 4лл). У к а з а н и е, Прн вычислении потока использовать теорему Остроградского — Гаусса. г л)72 л) 2394. 2лбйз, 2ЗВ5. †. 2398. и=~ гу (г) йг, 2397. —. 2398. а) Не имеет; 8 г ' гб б) и=лук-1-С; в) и=ку+к*+ух-! С. 2400. Ла. отннтщ Глава Ч!1! 2401. — .
2402. — ° 2403 — ° 2404. — ° 2405. 1 1 и 1 и+2 2и ' 2п — 1 ' '2п' '2»-в' 'пв ' '(и+1)в ' ' Зи+2 ' , 2408. —. 2407. —. 2408. ' ' ° 2409. ( — 1)" +в. 24!О. ис» м»»з 1 ! 3 5 ... (2п — 1) и(п+1) ' ' 1 4 7... (Зи — 2) 2418. Расходится. 2417. Сходится. 2418. Расходится. 2419. Расходитси. 2420. Расходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
