demidovich-zad (832426), страница 69
Текст из файла (страница 69)
1 + [(х — Ц + хвй.бх'да+ус 4! „[(х — )+(ут )]в+[(х — )-,— (у+ Цв, 1+а л 1, 1, к - / (1+а)м — (1+8)» 1 4+2 (~~[)) — 4 (~' — в'); б) Ьг 2 ' = 1+ 4 (~~л ин)т ' 32 + — [(Зтз — 4т) ц' — 2тка[) -; (Зп' — 4л) [)в[. 2006. а) 1,0081; б) 0,902. У к а з азг— н не. применить формулу тейлора для функций: а) г(х у)-.= У х У у в акре.
стности точки (1; ц; б) [ (х, у)=-д" в окрестности точки (2; ц. 2007. г = =-!+2(х — Ц вЂ” '(д — 'Ц вЂ” 8(х — Ц'+ !О(х — Ц(д — Ц З(у — Цв-~ ... 2008. г;„=О при к=1, у=-О. 2009. Экстремумов нет. 20!О. г;„= — 1 грн х=-!. у=о. 201!. г,„= !08 прн х=.з, у=2. 2012. г;„= — 8 при х= д 2. у=- — У2 и при х= — Ьг 2, у= — У 2. При х=-у=-0 зкстре- аЬ а Ь а мума нет. 2013.
гмвв= в точках х==, у== и х=- — —, у= — =; г„,га=- — в точках х==, у= — — и х= — —, р'з' зу"3 р'з' р 3 ) з' Ь у==, 2014. г,„=! при х=.у=-о. 2016. г„,;„==О при х=у=о; Р 3 нестрогий максимум г= — в точках окружности ха+уз=1. 2016. г„„„= е = ) 3 при х= — !, у= — !. 20161. г„„„=б при х=4, у=2. 2016.2. гмвв = Зе-г при х = — 4, у =- — 2; экстремума нет при х =-О. 4 2 ! у = О. 2017.
им!а — — — — при х --- — —, у = — —,, г = 1. 2018. ижг„= 4 3 1 при х= —, у=1, г=1. 2019. Уравнение определяет две функции, нз ко- 2 ' торых одна имеет максимум (г,„= 8) прн х = 1, у =. — 2, другая— минимум (гжг„=- — 2) при х —.-1, у= — 2; в точках окружности (х — ц'+ + (у+2)с=25 каждая иэ этих функций имеет краевой экстремум г=з.
ОТВЕТЫ 4ЭЗ У к а за н ие. Упомянутые в ответе функции определяются явно равенствами г =-3 х у 25 — (х — 1)з — (у+2)з я сушествтют, следовательно, только внутри н на границе окружности (х — 1)з+ (у+ 2) ='25, в тачках которой обе фуикцни принимают значение г=з. Это значение является наименьшим для первой функции и наибольшим для второй. 2020 Одна нз функпвй, определяемых уравнением, имеет максимум (гмзх= — 2) при х= — 1, У=2, дРугая — минимум (гааз=1) при х= — 1, У=2; обе функции имеют краевой экстремум 1 в тачках кривой 4хз — 4У' — !2х+ 1бу — 33 =О. 2021.
г „,= — прн х = 4 1 = у=- †. 2022. гю,з=5 при х=1, У=2, гю1в= — 5 при 2 ' 36 18 ' !2 х —.— ! у= — 2, 2023. г;„= — прк х= — „у= —. !3 !3* 13' 2-')г 2 7п 9а 2 — рг 2 2024. г = — ПРИ Х= — +да, У= — +ЬП; гиня — — — ПРИ тзх 2 8 ' 8 ' ~ 2 Зн бп х= — +йн, у= — '+Ап.
2025. им1з — — — 9 прн х=- — 1, у=2, г= — 2; 8 ' 8 а„,„=9 при х=1, у= — — 2, г=2. 2026. иазх==а прв х= — ~ а у=г:=0; и,„;„=с при х=у=0, г= ж с. 2027. ию,„=2 4з 6' при х=2, У=-4, 4 /4 4 7' /4 7 4Т г:. 6. 2028. и„„„= 4 — в точках 11 —; —; —,); 27 '(3' з' з)' (3' з' з)' 7 4 41 — — — ); и,„;з- — -4 в точках (2; 2; 1) (2; 1; 2) (1; 2; 2). МЗО.
а) Наибольшее значение г=з прн х=О, у=1; б) наибольшее значение г=2 при 2 lг х=1, У=О. 2031. а) Наибольшее значение г= — при х=~ тг 3]~ 3 /! 2 /2 У=- 1гг —; наименьшее значение г= — при х= ~ 1гг — У = У з — — ~/ Г! = — 1гг —; б) наибольшее значение г=! вРи х=-.Ь!, У=О: наименьшее У з значение г= — ! при х=О, у=- ш!. 2032.
Наибольшее значение г=— з~з 2 при х=у= — (внутренний максимун); наименьшее значение г=О при х = 3 =У=О (краевой минимум). 2033. Наибольшее значение г=!3 при х=2, у=..— 1 (краевой максимум); наименьшее значение г= — 1 при х=у=1 (внутренний минимум) и при х=О, у= — 1 (краевой минимум). МЗ4. Куб. 2035. у 2У; ьх 2У; — ! 2)г. 2036. Равносторонний треугольник. 203?. Куб.
2 / ! 11 2036. а= у а. ь' а !' а Р' а. 2039,М ( — †; †), 2040. Стороны треуголь- 4' 4)' вика: — р, — р и —. 2041. х= +,, у= Р 2041 этххз + юзхз+ юэхз ш1уэ + гкзуз + юэуз 4 ' 4 2 ' ' тэ+тз+шз юг+юг+аз х у, г 2а 2Ь 2с 2042. — + †+ =3. 2043.
Измерения параллелепипеда: = , =, — , а Ь с '~'з'Уз' р 3' зг — х где а, д и с — полуоси эллипсоида. 2044. х=у = 25+ у 2(г, 2' а Ь 2045. х=. ш —, У= х = . 2046. Большая ось 2п=-6, малая ось 25=..2. ус 2 )гг2 У к а з а н и е. Квадрат расстояния точки (х, у) эллипса от его центра (начала ОТВЕТЫ координат) равен х'+уз. Задача сводится к отысканию экстремума функции «'+у' прн условии 5хз+Вху+5уз=9.
2047. Радиус основания цилиндра )7 / 2 т' 2 — 2+ —; высота )! зг 2-=, где 77 — радиус шара. 2048, Канал )/5 У 5 /1 15 !11 5) должен соединять точку параболы ( —; — /! с точкой прямой ( —; — — /; 'т2 ' 4/ ~8 ' 8/' 7~2 1 япп эт его длина —. 2049. — Ьг2730. 2050. —.= †. Указание. Оче- 8 ' '14 ' 'з!ВВ ст' видно, точка М, в которой луч переходит из одной среды в другую, должна нахол Ь диться между Ати ВО прнчем АМ= —, ВМ=, А,М=а18а, В,М = сова' сов(1' а Ь = Ь1яр.
Продолжительность движения луча равна — + . Задача о,сова пасов() а Ь сводится к отысканию минимума функции /(а, ())= — + — при усе,сова из соя(1 1 1 1 лозин, что а(Вм+Ь(д()=с. 2ОЯ. м=(). 2052. 7:7:Х = —: —: —. У к а- Я: а — )7 ° )7 ° )7 за н не. Найти минимум функции /(/я уя, !з) =утттт+ 11ттз+ та)гз прн уско. вин, что /,+/з+/з — — /.
2053. Изолированная точка (О; О). 2054. Тачка возврата 2-го рода (О; О). 2055. Точка самоприкосновення (О; О). 2056. Изолированная точка (О; О). 2057. Узел (О; О). 2058. Точка возврата 1-го рода (О; О). 2059. Узел (О; О). 2060. Узел (О; О). 2061.
Начало координат — изолированная точка, если а > Ь,— точка возврата 1-го рода, если а =Ь, и — узел, если а < Ь. 2082. Если среди величин а, Ь и с нет равных между собой, то кривая не имеет особых точек. Если а=Ь < с, то А (а, О) — изолированная точка; если и < Ь=с, то В (Ь, О) — узел, "если а =Ь = с, то А (о, О) — точка возврата 1-го рода.
2063. у = ~ х. 2064. уз= 2рх. 2065. у = ~ Я. 2066. хя'+ум' = 1У~. 1 2087. ку= — Я. 2068. Пара сопряженных равносторонних гипербол, уравнения 2 которых, если оси симметрии эллипсов принять за оси координат, имеют внд Я ху= — * †. 2069. а) Дискриминантная кривая у=О является геометрическим 2п' местом точек перегиба и огибающей данного семейства; б) дискриминантная кривая у=О является геометрическим местом точек заострения и огибающей семсйства; в) дискриминантная кривая у=О есть геометрическое место точек заострения и не является огибающей; г) дискриминантная кривая распадается на прямые: х=О (геометрическое мес~о узловых точек) и х=а (огибающая).
2070. у= — — — ° 2071. 7 —. 2072. $Г9+4пт. 2073. )т 3(сà — 1). 2074. 42. 28 2 со 3 !и !О 2075. 5. 2078. хе+за. 2077. 11+ —. 2079. а) Прямая; б) парабола; в) эллипс; 9 пн Лаз оа Ла' л г) гипербола. 2080. 1) — аэ; 2) а —; 3) — а'+а —. 2081. — (аЬс) = М ' М' ЗГ ЛГ' М вЂ” Ьс~+(а — с/!+~ аЬ вЂ” ): 2082. М (Гз+ !). 2083. х=3 соз О =( — ~( )(-) м / ~ лг / ~ лг/' у=4яп Г (эллипс); е=4/, ш= — 31 при 1=0; е= — 1+2У 2/, 3)' 2 2 3~2 г-. и . и чв= —— 2 4' ' 2' Ю вЂ” 2 1' 2 1 прп != —; е= — 31, ш= — 4/ при 1= †. 2084.
х= =2созг, у=2з(п(, а=31 (винтовая линия); е= — 2(япг+2/сов!-) ЗЬ, и — — у'ГЗ прн любам О чв= — 2(соз! — 2/з(пф ш=2 прн любом С; ОТВЕТЫ и=27+39. ти= — 21 при 1=0; и= — 21+38, и»= — 2/ при 1= —. гь 2' 2088. х= сов асов ю», у=юнасов ю», а= в!и е» (окрумиость); е = = — ы1соьаь!ию1 — ьув!пав!им»+юЯ сова». о=[а[, и»= — юЧсовасовю»вЂ” — юь)ь!Псссовы» — ю~Яь!пю», ю=ю . 2088. о=)ггоьх+оса+(сьх — у1) 1 40 ю =ы =0; ы = — у; ю=у. 2088. му аь+Ьь, где ы= — -угловая ско- 41 рость вращения винта. 2089.
а'юь+ ое — 2аюсь ь!и ю». 2090. т= — (»+Я)1 ь . г2 д= — ~; р= — (1 — Я). 2091. ь= — [(со⻠— ь!и»)1+(юп»+сов»)»+Я)1 )Г 2 1 л 9~3 л и = — — [(сби»+сов!) 1+(ь!п1 — сов 1) у)! соь (т, г)= —; сов (и, г) =О, )г 2 3 1+4[+ 2Я вЂ” 41+5/ — 8Я вЂ” 21+Я х — и сов» 2092. т=; и= 2093. )г 21 ' у 105 Рг5 — аюи! у — аь!и» г — М х — а сов» у — а ь!п» г — 'Ь1 = — (касательная); —.= = — (бинормаль)1 а соь» Ь Ьь!и1 — Ьсоь» а х — асов1 у — аь!и» г — Ы вЂ” (главная нормаль).
Направляющие косинусы сов 1 юи» О аюи» асов» Ь касательной: сов а= —; соа 5==; соь у= . На- ргаь+Ь' р а'-1-Ь' уса'-1-Ь' ' правляющие косинусы главной нормали: сов сс~= сов 1; соь 5т=ь!и О сов уг:=О. 2094. 2х — г=.О (иормальная плоскость); у — 1=0 (соприкасающаяся пло- г х — 2 у — 4 г — 8 скость); х+2г — 5=0 (спрямляющая плоскость). 2095. — =— 1 4 12 (касательная); х+4у+12г — 114=0 (нормальная плоскость); 12х — бу+г— 14 »ь »ь х —— у— г —— 4 3 2 — 8=0 (соприкасающаяся плоскость). 2098. — = — = — (ка- »ь 1 1 14 13 »ь »ь »з х — — у —— г-— х — — у —— 4 " 3 2 4 3 сательнав); †= †(главная нормаль); — =— Р+ 21 1 — »ь — 2»ь — 1 1 — 21 »ь 2 8 ') х — 2 »ь = — (бипормаль)! М вЂ”; — —; — ~1; М, 4; — —; 2, 2097.— у+2 г — 2 — — (касательная); х+у=О (соприкасающаяся плоскость); — 1 2 х — 2 у+2 г — 2 х — 2 у+2 г — 2 — — — (главная нормаль); — = — = — (бинормаль); 1 — 1 — 1 1 1 0 »7»7 )г г»7 1 1 х — — у — — г-— 2 2 2 соьаь==, соь[!ь —— —, сову,=О.
2098. а) у2' )»2' ' ' 2 Π— р»2 х — 1 у — 1 г — 2 (касательиаи); х у 2 — г=О (нормальная плоскость); б) — = — =— 1 1 4 х — 2 (касательная); к+у+ 4г — 10=0 (нормальная плоскость); в) 2У3 у — 2~3 г — 3 1 — 2г" 3 = — (касательная); 2 г'3х+у — 2 у" 3г=О (нормальная 436 ОТВЕТЪ| плоскость). 2099. хФу=б. 2100.
к — у — г )Г 2=0. 2101. а) 4х — у— — г — 9 =О| б) Ох — бу + 2х — 18--О; в) Ь'хаак — а'угу + (а' — Ьт) гаег = =а'Ьг(аг — Ьа), 2102. Ох — 8у — г |-3=-0 (соприкасаюшая плоскосгь). к — 1 у — 1 г — 1 х — 1 д — 1 г — 1 — — — (главная нормаль); — = — = — (бинормаль). 31 26 — 22 — 6 8 1 х=б, 1 2103. Ьх — г=О (сопрнкаса|ощаяся плоскость); ' ' 1 (гланная нормаль); г =О х -, 'Ьг = О, 1 1+ ЬЬ вЂ” Ы 4- Ф ' 1 (бпнормаль); г=; р=-; в=,/. 2106. 2х+ у=О)' ' '" ' =у), Ьг' д-(+Ьг' З46 ееу 2 е +Зд+ !Ог — 27=0.
2107. а) )~2; б) 4 . 2108. а) К= 3; 7 = —; 3 1 (у-!- а)'. (р4 + 2х4)г б) !( Г ' 2169 а) ага /!9 ' 2111. —,„. 21!2. К=2, мт —— -О, ше----2 при 1=0; К= — у —, 22 / !9 м =.— "., ш =2 17 — прп 1=1. Глава т'11 2113. 4 в . 2114. 1п †' . 21!6. — . 2116. †' . 21 17. 50 4. 2118. — . 2119, 2,4 2 25 и О яаа 3' 24' '12' '4' ' '' ' 2 2120. —. 2121. к= — — 1, к=2 — у; у== — 6, д- — -2. 2122. у=х', у=к4-48 6 ' ' 4 х х.= |, х=-3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
