demidovich-zad (832426), страница 72
Текст из файла (страница 72)
2421. Расходнтси. 2422. Расходится. 2423. Расходится. 2424. Расходнтси. 2425. Сходится. 2426. Сходится. 2427. Сходится. 2428. Сходится. 2429. Сходится. 2430. Сходится. 243!. Сходится. 2432. Сходится. 2433. Сходитси. 2434. Расходится. 2435. Расходится. 2436. Сходится. 2437. Расходитсн. 2438. Сходится.
2439. Сходится. 2440. Сходится. 244!. Расходится. 2442. Сходится. 2443. Сходится. 2444. Сходится. 2445. Сходится. 2448. Сходится. 2447. Сходится. 2448. Сходится. 2449. Сходится. 2450. Расходится. 24Я, Сходится. 2452. Расходится. 2453. Сходитсн. 2454. Расходится. 2455. Расходится. 2456. Сходится. 2457. Расходится. 2458. Схадитсн. 2459. Расходится. 2460. Сходится.
2461. Расходится, 2482. Сходится. 2463. Расходится. 2464. Сходится. 2465. Сходится. 2486. Сходитси. 2467. Расходится. 2468. Расходится. У к а з ан и е. "»! > 1: 2470. Сходится условно. 2471. Сходится условно. 2472. Схо. а»»! и» днтся абсолютно. 2473. Расходится.
2474. Сходится условно. 2475. Сходится абсолютно. 2478. Сходится условно. 2477. Сходится абсолютна. 2478. Сходится абсолютно. 2479. Расходится. 2480. Сходится абсолютно. 2481. Сходится условно. 2482. Сходится абсолютно. 2484. а) Расходится; б) сходитси абсолютно; в) расходится; г) сходится условно. Указание. В примерах а) и г) рассмотреть рид ~Чр~ (ива !+а!а), а в примерах б) и в) исследовать отдельно ряды а=! » Ю ,г' п,а 1 и ~ лва.
2485. Расходнтси. 2486. Сходится абсолютно. 2487. Схоа=! дигон абсолютно. 2488. Сходится условно. 2489. Расходится. 2490. Сходится абсолютно. 2491. Сходится абсолютно. 2492, Сходится абсолютно. 2493. Да. » в г» 1+( — !)» кп ! 2494. Нет. 2495. Г ',; сходится, 2498. Г .; сходится. 3» Ем 2и (2и — 1) ' »=! »=! 1 1 2497. Расходится. 2499. Сходится, 2500. Сходится.
2501. ) )7в) < —, ! Я»1 < —; 120 в 720 а„1 )7» < О, )7в > О. 2502. Л» < — "= ° Указан ив. Остаток ряда можно оценить с помощью суммы геометрической прогрессии, превышающей зтат остаток: )7»=а.~2 1,+~2) (и 1) и„2)+ 1< < и ~ ~— ° — +~ — ) ° + +...1 ° 2503. )7»< + ! 1 1 ! )7вв < 3 1О-а.
2504. — < Л„< —. Решение. )7»= —,+ — + 'и+1 " и' (и !)в (п.( 2)в (и+1)(и+2) (и+2) (п+3) ''' ~п-)-! и+2 ! (,п-(-2 1 Д 1 1 1 1 — — )+...= —; )7„< п+З~ "' ' и — 1 ' " п!п+1) (п+!) (и+2) ' '' и ' + +... = —, 2505. Дли данного ряда легко можно найти точное значение остатка: 447 отпиты /1теи г ! тел+а Решение.
)Га=(н+!) ~ — ) +(а+2)~ — ) (-.. Умн „„ ~4) ~4) иа ~ — ) 16!7е=(л+1) ~ — ) +(в+2) ~ — ) +„. Вычитая, получим Отсюда находим приведенное выше значение !7„. Полагая И=О, находим /1бта сумму ряда 5=~ — ) 2506. 99,' 999. 2507, 2; 3; 5. 2508. 5=1. Указа- ~15 ) 1 ! нне.
а„= — — —, 2509. Я=! при х > О, Я= — ! при х < 0; Я=О л л+1 прн х=О. 2510. При х > 1 сходится абсолютно, при х~! расходится. 2511, При х > 1 сходится абсолютно, прн О < х~! сходится неабсолютно, при ха~О расходится, 2512, Прн х > е сходится абсолютно, при 1 < х~е сходится неабсолютно, прн х~! расходится. 2513. — со < х < ао.
2514. — со < х < го. 2515. Сходится абсолютно при х > О, расходится при 1 1 хч О, Решен ие 1) )а„(~ —, з при х > О ряд с общим члеиом— еех Еьа 1 сходится; 2) — „„)1 при хм О, а совах пе стремится к нулю пря и о, т. е.
при х~О не выполнен необходимый признак сходимости. 25!6. Сходится абсолютно при 2»п < х < (2»+1)и (Д=-О, х1, ш2, ...); в остальных тачках расходится. 2517. Расходится везде. 25!8. Сходится абсолютно при х ФО. 2519. х > 1, хч- — !. 2520. х > 3, х < 1. 2521. х. 1, х~ — 1. 1 2 1 2522. х= 5 †, х < 4 †, 2523. х > 1, х < — 1.
2524. — 1 < х < — — , 3 ' 3 2 ' 1 — < х < 1. У к а з а н не. При этих значениях х сходится как ред ~ х». так 2 »=г 1 1 и ряд д —. Прн (х))1 и при )х)= — общий член ряда не стремится 2»х» 2 к нулю. 2525. — 1 < х < О, О < х < !. 2526. — 1 < х < 1. 2527. — 2 ~ х < 2. 1 ! 2528, — 1 < х < 1. 2529.
— =~ ха, —, 2530. — ! <х<'1. 2531. — 1<х<1. У2 )г2 2532. — 1 < х < 1, 2533. — ао < х < со. 2534. х=О. 2535. — ю < х < ао. 1 ! 2536. — 4 < х < 4. 2537, — — < х < †. 2538. — 2 < х < 2. 2539. — е < х < е. 3 3' 2540. — 3 -х< 3. 2541. — 1 < х < 1. 2542.
— 1 < х < 1. Решение. Рас. ходнмость ряда при /х !> 1 очевидна (интересно, однако, отметить, что расходнмость ряда на концах интервала сходнмости х= ш 1 обнаруживается не 448 ОТВЕТЫ только с помощью необходимого признака сходимости, но и с помощью признака Даламбера). При ) х) < ! имеем: ( ! !)сх!п+г!! л! л ° л !!ш = Псп ((л+!)кл!л)~ Кш (с!+!))х)»= 11ш — =О л и п1хп и и л Ф !1!л М (последнее равенство легко получить с помощью правила Лес!игала) 2543. — 1~х - !. Указание. С помощью признака Даламбера мол!но не только найти интервал сходимости, но и исследовать сходпмость данного ряда на концах интервала сходимостн.
2544. — ! ~ к~!. У к а з а н и е. С помощью признака Коши можно не только найти интервал сходи»ости, но и исследовать сходимость данного ряда на концах интервала сход»мости. 2545. 2<к»8. 2546. — 2~х < В. 2547. — 2 < х < 4. 2548. ! ~к~3. 2549. — 4~к~ — 2. 5 1.3 4 ' 2550. х= — 3.
2551. — 7 < х < — 3. 2552. О к < 4. 2553. — — < х < — . 2»54. — е — 3 < х < е — 3. 2555. — 2~х» О. 2556. 2 < х < 4. 2557. ! < х» .1. 1, ! 1 2558. — 3 ~ х ~ — 1. 2559. ! — — < х < ! -,'- — . У к а з а н и е. При х = ! х— е е е ( ! ~п ряд расходится, так как Иш „' = — Ф О. 2560.
— 2 < х < О. и и Е» усе 2561. 1 < х~З. 2562. 1~к < 5. 2563. 2~к~4. 2564. )г) <!. 2565. (г) < 1. 2566. (г — 2с) < 3. 2567. ) г( < у' 2. 2568. г=О, 256В. ) г) < со. 2570. (г) < —,. 2' 2576. — 1п (1 — х) ( — ! а,х < 1). 2577. 1п (1+х) ( — ! < х~1).
2578. — !п — ()х) < 1). 2578. ага!8»()к)~!). 2590., ()х! < !). 1 !+х 1 2 ! — к (х — 1)о 1 — хз 2 к 2581. о ((х! < !). 2582. — ()к) < !). 2583. ()х) > !). 2384. — (агс!9 к — — !п — .г! ((к ! < !). 2585. —. У каза н не. Рас- 2 ~ 2 ! —.»7' б хо хо 1 смотреть сумму ряда х — —,+ — —... (см. задачу 2579) при х= —. 3 5 чп х» !п»а У п1 2586. 3, 2587. а»=1+ Г ( — сс < х < се). 2588. з!п (х+ — ~ = и! 4 7' л=! л'-и $~ 2 х» хз, .с' х' г кп = — ~~~ — — — + — '+ —.—" +( — !) ' — +". 2 ~ 2! 3! 4! 5! л! х' , х» .
хс 2589. соз (х+ а) =-соз а — х з! и а — — соз а+ — з!п а+ — соз а+... 2! 3! 4! хп . Г (и+!)п1 2х' 2"х' + — з!п [а+ 1!+...( — со < х <с»). 2590. з!пах= — — — '+ и! ~ 2 2! 4! 2»хо 2»п-с хал х + — —... + ( — 1)п-! 6! (2л)! + „„,( — оо <х< оо). 2591. 1п(2+х) =!п2+ —— 2 хз хз х' — — + — —...+( — 1)п ' — +...( — 2<к~2).
Указание. Прн 2 2» 32' »,2п исследовании остаточного члена воспользоваться теоремой об интегрнрова2х — 3 нин степенного ряда. 2592. — = — т (л+3) хл() х ) < 1). (х — !)з 449 ОТВЕТЫ 2594 хе-ех — х+ 260! л — 1 2609. 1+~',( — !)л 1 хл ( — сю < к <со).
»1 лл2 ю )в 0,61~2': ( — * ). в и. 1+ 2. + За-1 »1 л=( — — ';" ":( — ))' ' 2.хе 2 522 2 5 8...(зл — 4) хл 22.32.2! 2п, 32,3! 22» -1.3'и л! 2612. — — 7 ( — + — хл ( — 2 < х <2). 6 ю ~ (,2)2+1 За+1 ( лл( Ф Ф З (! К Зеп-1) Хел 22». )6 — 2' — 2(- — -и(*( !. »н. ил! л -О х 2+— 22 3.11 ( — оо < х «ю). ((Я) < 2> 2). 15 Пад ред.
В. П. Демидавиюю 2593. —,, — — д (1+ —,„„)х () ) < !). Зх — 5 'юл Д 2 лла юл ( !)п-12»-1кл х +~ (л — 1)! ( — са < х < са). 2595. е"*=1+ ~ — ( — оо < х < сю), л! »=2 лл( х 2596. ~, ( — ао < х < оо). (2л+ 1)! Ф 2596, 1+ — Р ( — оо < х <оо).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
