demidovich-zad (832426), страница 74
Текст из файла (страница 74)
2741. 1,825 (точное Значение у= $~ 3). 2742. с15еу =!Вел+С, 2743. х= Сд У !+у* у=-О. 2744. хе+уз=!пСхе. 2745. у= —,. 2746. 1Ву = атСх 1+ ах ае =С(! — е")', »=О. 2747. у=Се!пх. 2748. 2ез = У е(!+е»). 2749. !+ +у'= — . 2750. у = 1. 2751.
агс18 (х+у) = х+ С. 2752. 8х+ 2 1 — хе' +2у-1 1=218(4»+С). 2753. х+2у+3!и!2х+Зу — 7!=С. 2754. 5х+ + 10у+С=З !и ) 10х — бу+6(, 2755. р=- или уе=2С»+Се, С ! — соа ф 1 уе 2756. 1и р= 2 соз' ф — ! п ( соа ф (+ С или ! п ) х ! — =С. 2757. Прямая у=С» 2хе С или гипербола у = — . У к а з а н и е. Длина отрезка касательной равна х ~Г ° ®', уе+! —,11, 2758.
у' — хе=-С. 2759. у=Се», 2780. у'=2рх. 2761, у= ~у 1 ) хубх е 3 =ахе. У к а э а н и е. По условию — = — х. Дифференцируя дважды по х, » 4 ~ дда е ! получим дифференциальное уравнение. 2752. у'= — х. 2763. у= щ ~ Ь' 4 — хе+ 3 2 — У 4 — хе +2)п ).
2764. Пучок прямых у=йх. 2765. Семейство подобных (х( эллипсов 2»"+уз=Се. 2768, Семейство гипербол хе †=С. 2787. Семейство окружностей х'+(у — Ь)'=Ь'. 2768. у=х!п ~ — [, 2789. у= — — —, [х[' х 2' 2ПО. х=С»" ° 2771. (х — С)' — у'=Се; (х — 2)е — уз=4; у= ~ х. 2772. !гав — '+!н)у)=С. 2773. д= — хе — —; х=О. 2774. (хе+уз)е(х+ 1 у Г 3 +у)а=С. 2775. у=х у ! — х. 2776.
(х+у — !)е= С(х — у+3). 8 2777. Эх+у+2 1п)х+У вЂ” 1(=С. 2778. !п) 4»+Ву+5!+Ву — 4х=С. 2779. хе=! — 2у. 2780. Параболонд вращения. Решение. Е силу симметрии искомое зеркало является поверхностью вращения. Начало координат помещается в источнике света; ось ОХ вЂ” направление пучка лучей.
Если касательная в любой точке М (х, у) кривой сечения искомой поверхности плоскостью ХОР образует с осью ОХ угол ф, а отрезок, соединяющий на~ало координат с точкойМ(х,у), — угол а,то 18а=!82р= . Но 218 р 1 — !Веф ' (им= —, 18 <у=у'. Искомое дифференциальное уравнение у — уу'а=2»у' и що у х ' ОТВЕТЫ 2790 2792 2823. У=С+ —; у= ~ 2х, 2824.
! р+ ' С ' У ( у=с(1+р) -Р р*+2, 1 1 х = — (Ср ' — р), 3 2625. 1 Указание. Дифференциальное уравнение, иэ 1 у= — (2Ср +рз). хз которого определяется х нак функция от р, однородно. 2826, у=Сх+С'; у=4 решение у1=2Сх+Сз. Плоское сечение — парабола. Исковая поверхность пар аболоид вращения. 2781. (х — у)' — су = О. 2782.
Хе = с (2у+ с). 2763. (2уа — х')' = С«', У к а з а н и е. Использовать, что площадь равна ( у бх, а 1 С 2734. У=Сх — х !и! х), 2785. у=Сх+хз, 2786. у= — «1+ —,. 6 «1' 2767. х У'1-)-уз+сову=С. Указан ае. Уравнение линейно относительно бх 1 е«аЬ вЂ” еа х н 2788. х = Суз — — . 2769. у = — + г(у 1 — . /1+« х у= — (х Рг( — ха+ агсз|пх) 1РР—, 2791.
у= —, 2 У 1 —.' соа х у (хз+Сх)=1. 2793. у'=х1п —, 2794. хз= С 1 х у+Суз ' 2795 уз(З!-Сес 1«) =х. 2797. ху=Су«+а*. 2798. уз+«+ау=б. 2799. х = у!п —, 2600. — + — = !. 2601. ха+ уз — СУ+ аз = — О. у а Ь а х у 2602. — +ху+уз=С, 2803. — +хуз+хе=С, 2804. — — — хауз+ 2 ' ' 3 ' ' 4 2 + 2х+ — =С, 2805. хе+уз — 2 ага!6 — =-С. 2606. лз — уз=Су'. уз у 3 Х х х' уз х хе 260?.
— +уе" =2, 2808. !п)х( — — =С, 2809. — + — = С, 2 Х у 2 1 1 2810. — 1п х+ — уа = С. 2811. (х ып у+ у сову — ейп у) е« = С, у 2 2612. (х'Се+ 1 — 2Су)(х'+ Се — 2Су) = О; особый интеграл хз — уз =О. 2813. Общий интеграл (у+С)1=ха; особого интеграла нет. 2814. Общий l «1 1 / уа интеграл 11 — — у+С) ~х — +С) =О; особого интеграла нет, 2815. Общий интеграл уз+Се=-2СХ; особый интеграл хз — уз=О, 1 УЗ 1 х=щпр+)пр 2816. х= 2 созх ~ — з!пх. 2817.
( у=рапир+соя р+р-)-С. 28!6. х=еР+рсР+С, 2819. = р х=2р — — +С, 2 у=р теР, у= рз+2)п р. Особое решение у=О. 28«0. 4у=х'+р', !п (р — х)=С+ —. 2821. 1п )г рз+у'+агс!6 р =С р — х' ' у х =1п — . Особое решение у = е", 2822. ( у тр 1 х=1п) р( — агссйпр+С, 2р ( у=-р+ У1 — р' 456 ОТВЕТЫ 2827. у=Сх+С; особого решения нет. 2628. у=Сх+ [Г1+Са! ха+уз=1, 1 2629. у=Сх+ —; да =4х. 2630.
ху=С. 283!. Окружность и семейство ее С' касательных. 2832. Лстроида хасэ+уэст = !'гз. 2833. а) Однородное," у=хи; б) линейное относительно х и ха, х=ив; в) линейное; у=во; г) уравнение Бернулли; у = ао; д) с разделяющимися перемеинымн; е) уравнение Клеро; привести к виду у=ху' ж )/ у'э; ж) уравнение Лагранжа; дифференцировать по х; з) уравнение Бернулли; у=но; и) приводяшееся к уравнению с разделяющимися переменными! и=-х+у; к) уравнение Лагранжа; дифференцировать по х; л) уравнение Бернулли относительно х; х=-ио; и) уравнение в полнык дифферен- циалах; н) линейное; у= ао; о) уравнение Бернулли; у=ив.
2834. а) з[п — = — )п [х[+С; б) х==д.есхьй 2835. ха+да=Суз. х 1 2836. у= —. 2837. ху ~С вЂ” — 1пах) =1. 2838. у=:Сх+С[пС; ха+С' ' ~ 2 особое решение у = — е-се+ М. 2839. у =-Сх — , '$' — аС; особое решение у = —, 2840. Зд+! и = С. 2841. — егх — вУ вЂ” агс12 у — ! п (1+уз)=С, а [хз — 1[ 1 ! 4х ' (д+1)' ' ' 2 2 2842.
у=ха ~1+Сек / 2843. х=уз(С вЂ” е-У), 2844 у=Се асх-~-ейих — 1. и. ~-,ссг1à — 'сь . — *я.;.~ 1иссс х+1 2647. а=Сема и — 2а(! + з[пу). 2848. — +За+у+)п [(х — 3)'а [у — 1 [') =С, 2 ЗИ9. 2агс18 — =1п[Сх[.2850. х'=1 — — + Се " . 2851. хэ=СеУ вЂ” у — 2. у — 1 2 2х ' ' у 2852. р — +!о [х[=-С. 2853. у=хасса)сс(Сх). 2854, У'=Се-*х+-ыпх+ х 5 4 1 + — сов х. 2855. ау=С (у — ББ 2856.
х=СеУ вЂ” (з[пу + сову). 5 ' ' ' ' 2 2657. рд = С (р — 1). 2858. х =- Се'У вЂ” у — — у — — у — —, с 3 3 3 4 В 32' 2659. (хУ+ С)(хзу+С) = О. 2860. )' хе+-у' — = С. 2661. хеУ вЂ” да=С. 2862. р' 2р 2рз у + х= — — — р+ — )п (р+ ЗгТ+рз), 2663. д = хеся. у =2р + У1+р . 2664. 2е" — Ус= СУа. 2665. 1п [У+2 [+2агс(2 — = С. х — 3 х 2666. у'+ Се ' + — — 2= О. 2867.
хз у =- Се а . 2666. х+ — = С. х ' ' ' у 2869. у = . 2870. у =С з)пх — а.2871.у —. С вЂ” ' . а')п(х+ Уа +х')+С 4(хс — 1)эта х-~- у ае ! хз 2872. (у — сх)(уз — ха+ с) .= О. 2873. у = сх+ —, у = Г 2хз, Зз Сз ' 2874. ха+ хзу — хуа — уз= С. 2875. рт 1-4уа =. Суэ.
2878. у= я — 1. 2877. у = х. 2878, у = 2. 2879. у =- О. 2880. у = — (з)п х + соз х), 1 2 ОТВЕТЫ 457 288! . у =- — (2х'+ 2х+ 1). 2882. у — е- "'-,'- 2х — 2. 2663. а) у = х; 1 4 б) у=Сх, где С вЂ” произвольно; точка (О; О) — особая точка дифференциального уравнения. 2884. а) уо.=.х; б) у'-.-2рх; (О, 01 — особая точка, 2865. а) (х — С)о+уз=-С'| б) нет решения; в) хо+у'=х; [О, 0) — особая » точка.
2886. у=о", 2887. у=()г 2а з. Ьгх) . 2888. у'=-1 — 0-». 2889. г=. Сече. У к аз а н и е. Перейти к полярным координатам. 2690. Зуо — 2х = О. 2891. г =- Ьр. 2892. хо+ (у — Ь)о =- Ьо. 2893. уо+1бх=о. 2894. Гиперболы уо — хо=-С или окружности хо-,'-уз=Со. 1 2895. у=- — (е" |-е-").
У к аз а н и е. Пспользонать, что плосцадь равна 2 » » оо ус(х, а длина дуги ~ уг1-|-у'с(х. 2696. х == — [-Су. 2897. уз =4С (С+а — х). у 0 о 2898. У казани е. Пользоватьсв тем, чта равнодействующая силы тяжести и центробежной силы норыальна к поверхности. Принимая ось вращения за ось ОУ и обозначая через ю угловую скорость вращения, получаем для плоского осевого сечения искомой поверхности дифференциальное уравнение д — =шах. 2899.
р =е С(У - 0,000 | 07В с(» . У к а з а н и е. Давление на каждом уровне вертикального воздушного столба можно считать обусловленным только давлением вышележащих слоев. Использовать закон Бойля — Мариотта, по которому плотность пропорциональна давлению. Искомое дифференциальное 1 уравнение с(р= — йрс(Ь. 2900. з= — й!ш. У каза н не. Уравнение с(з = 2 1 — х с' 1 =йш — с(х. 2901. о= [ Р+ — ш) й|.
2902. Т=а+(То — а) е-ас. 2903. Через час. 2904. в=100 ( — ) об|мин, 2905. За 1ОО лет распадется 4,2',4 ба начального количества Сто. У к а з а н и е. Уравнение — = — й(); с(1 г| !в =(го[ — )|000. 2906. 1 = 35,2 сох, У каза н не. Уравнение л(йо — 26) сус = (,2) 1 =л( — ) об(. 2907. —. Указание. Уравнение с(Я= — йс1ай1 'Т!О ) ' ' 1024 ' а = сео — ~ з .
2908. а — 1~ — при( — ао (й — коэффициент пропорциональности). У казан не. Уравнениеш — =шу — Ьао; а= 1гс — 1П (Г 9909. 18,1 кг. У к аз а мне. Уравнение — | 9 [ — — — ). бс [, з зоо)1' и Š— — с 29!О. 1 — --... [()7 з!и ос( — Еы сов си|)+Еще е ). У к а ванне. Урав- 08 пенне )77+Š— =Ез|пш1. 29П. У=х[п[х[+Ссх+Со. 29!2. 1+С,рс= с(г Сгх ~(Со+ — ') .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
