demidovich-zad (832426), страница 67
Текст из файла (страница 67)
!). 1746. 1= — пр'Ну. Р еш е н ие. Разбиваем конус на элементарные цилиндрические трубки параллельно оси конуса. Объем тако г элементарной трубки г(у=2пгйг(г, где г — радиус трубки (расстоинг г до оси конуса), й = Н (1 — — ) — высота трубки; тогда момент вверг!с а р) и ( г ! упйгН 1=7 ( 2пН ! — — ) ггг(г= —, где 7 — плотность конуса.
!747. 1— Р) 10 о 2 = — Ма . Р е ш е н и е. Разбиваем шар иа элементарные цилиндрические 5 трубки, осью которых является данный диаметр. Элементарный объем г(у— гг = 2пгйбг, где г — радиус трубки, й= — 2а У 1 — — — ее высота. Тогда момент а -/ гг 5 инерцаи 1=4пау ~ у 1 — ггг(г= — пазу, где 7 — плотность шара, а так У -а* — 15 о 4 2 как масса М = — магу, то 1= — Ма'. 1748. )г= 2пгагЬ, "3 =-4пгай.
1749. а) х =- 3 ' 5 2 — — 9 4 5 ' 1О = у= — а; б) к = у= — р. 1750. а) х = О, у= —, †. У к а з а н и е. Оси ко- ординат выбраны так, что ось ОХ совпадает с диаметром, начало координэт— й в центре круга; б) х= —. Решение. Объем тела — двойного конуса, ио- 3 ' лучениого от вращения треугольника вокруг его основания, равен 1 = — пЬй', где Ь вЂ” основание, й — высота треугольника. По теореме Гульдена 3 — ! тот же объем (г=2пх — Ьй, где х — расстояние центра тяжести от основа. 2 425 ОТВЕТЫ й 8!л икя.
Отсюда х= —. 175С вл! — —. 1752. —, !и ! !+ — ). 1?53. х 3 ' ' 2' ' 28 ), с)' 2 = — лз!пю1; и = — ол. !?54. 5=- !04 м. 1755. <= — !и; й= — ле М ~ И< — (а — И ) !и — . 1756. А= —, йлгй. У каза н ие. Элемена — И,!' 'л тарная сила (сила тяжести) равна весу воды в объеме слоя толщиной бх, т. е. <!Р =- упйл <)х, где у — вес единицы объема воды. Следовательно, элементарная работа силы дА — ?чй' (Н вЂ” х) <)х, где х — расстояние слоя волы от дна.
1757. А= — уй'Н'. 1758. А= — й4 !04 = 0,79.!О' кГм. 17ой. А = т 4<у 12 ' ' 4 — упйлН. 1760. А= — „; А .---шйй. Р е ш е н и е. Сила, действующая тйй 1+— й <пМ на тело 4<ассы т, равна Р=-:З вЂ”, где г — расстояние от центра Зеклк, гл Тзк как при г= й имеем Р=-тй, то ЙМ =.Ой<. Искомая работа буде< ил<сть Нлз шМ /! ! Т тф вид А== ~ й — л<)гр де<<И ! — — — )= . При й= ол имешл я А --- тйй. 1761. 1,8 104 зрг. Р е ш е и и е. Сила взаимодействия зарядов слг! à —. —,дин, Следовательно, работа при перемещении заряда е, из точки х, в р<)х (! !д хл будет: А=-еле,3! — я=еле, ~ — — — ) =18.!О зрг.
1762. А =800п!п2кГм. 3 ха ' <к< х) х, Р еще н ив. Дая изотермичсского процесса ро=-рлол. Работа при расширении с< газа от объема ор до объема о, равна А=~ р ° )о=.рлол!и —, 1763. А. щ Ол а, щ!5000 кГм. Р е шеи не. Для аднабатического процесса справедлив загон з з ) рл" 4 рлпл Г (ол '<а л? Пуассона ро =- рлол, где й щ 1,4.
Отсюда А=3! — Ао= — ~ ! — ~ — 4) вл 4 1?64. А= — прра. Решен не. Если а — радиус основания вала, то давле- 3 Р ние на единицу плошади опоры р= —. Сила трения от кольца шириной <!г, лпл 2РР удаленного от центра иа г, рвана — г бг. Работа силы трения на кольце нри пл 4прр 4прр полном обороте есть АА= — гл <)г. Поэтому полная работа А= — ле дл пл 4 ! Х ~ гл<)г= — прра. 1765.
— Мй ю'. Решен и е. Кинетическая энергия 3 ' ' 4 о олбш рглюл элемента диска АК= — = — <!а, где бп=2нг<)г — элемент площади, г— 2 2 М рзсстоянне его от оси вращения, р — поверхностная плотность, р= —. Таким пйз ' 626 ОТВЕТЫ Г г(о время разгона 1=~ — =Я. 1779. о » М = — ~ — (х — 1) М+ — х Р О а » 2 о 1780. М„= — ~(х — ОМ И+ о 12~» () Ях( х) + Ах= — (!' — х ).
1781. 6=-0,!2Т!»!е кол. У к а за н не, Использо- 5 вать закон Джоуля — Лены Глава т'1 1»2, г= — ь' — *э*. »Ва. г= — <*+г) Гтгтвь гг, Э 2 2 3 3 1784. ) ( —; 3)= —; )(1; — 1)= — 2. 1785.— 1,2' ~ 3' ' ' ' 2»у ' 2ху ' 2ху — 1786. 1(х, х')=!+х — х'. 1787.
з=! — КТ, 1788. !(х)= Указание. ПРедставить даннУюфУнкциюв виде т'( — )=ж 1гг ( — ) +1 / у 'т ~хг' у у у хз — ху и 'заменить — на х, 1789. Г (х, у)= —, Р е ш е н ив. Обозначим х ' ' ' 2 и+о и — о и+о и — о «+у=и, х — у=о. Тогда х= —, у= —; )(и, о)= — ° — + 2 ' 2 ' ' 2 2 /и — паз из — ио + ( †) = — . Остается переименовать аргументы и и о в х и у. 2 ) 2 1790. Г(и) =и'+2и; з=х — !+ )Гу. У каза н не. В тождестве к=1+1 (3~ х — !) положим )Гх — ! = и; тогда х=(и+1)' и, следовательно, и Мюэ Мюэ Р э М)(эюэ 3 образом, ВК= г Вг.
Отсюда К= — ~ гэбг ~ —, 1766. К= — 2С 2и!72 772 ~ 4 ' ' 20 М тсМЯзюз, 1767. К= — )7ггаз=2 3 !0ахГм. У к а за н не. Количество необходюаой 5 работы равно запасу кинетической энергии. 1768. р = — . 1769. Р = ЬЛЬ (а+2Ь) Лз В ж п)72И ш 11,3 НРТ. 1770. Р=ивуяд. 1771. Р= — (вертикальнаясоставляющзя 3 ЛЬ' р направлена снизу вверх). !772.
533 — г. 1773. 99,8 кал. 1774. М= — Гсм 2 Ф ЛМлг прае 1775. (Л вЂ” постоянная тяготения).1778. †. Реше ни е. !)= о 2пгбг»м ' а (а+!) 'Вр! ' е 2Ь 2ир р э 2 ирГ азгз г»1» 'при» Р 2 изз — ! (а* — г') гбг= — ~ — — — 1 = —.1777.!с= ~ оибу= — р — „ 491,) 2р!~ 2 4 )е Вр! ' ' ,) 3 р! " о о У к а з а н и е.
Ось абсцисс направить по большой нижней стороне прямоуголь- ника, ось ординат — перпендикулярно к ней, в середине. 1778. Решенно Г ! бо ! В= ! — г(о, с другой стороны, — =а, откуда В= в бо, а следовательно, ,) и б! и Ф, ОТВЕТЫ 427 7(и)=и'+2и.
!791. г(у) = уг1+уа„г= — у'ха-(-уа.решение.Прих=! (х) имеем тождество у'1~у*=(.! ~ — ), т, е. 1(у) = г'Т-)-уа. Тогда ! ( — ) = *='~)'' (. ) 1+~ — ) и х=х тг 1+~ — ) =4- у'ха+ ууя. 1792. а) единичный 'т х ) — У ~х) —— круг с цейтром в начале иоордйнат, включая окружность (ха+уз ~ 1): 6) биссектриса! и 1П координатных углов у = х; в) полуплоскостгч расположенная над прямой х+у=О (х+у > 0); г) полоса, заключенная между прямыми у= х 1, включая зтн прямые ( — 1ч-учп,1); д) квадрат, образованный отрезками прямых х=х! н у=х 1, включая его стороны ( — 1ч-хчС!, — !~у ч !); е) часть плоскости, примыкающая к оси ОХ и заключенная между прямыми у= х х, включая вти прямые и исключая начало координат ( — х~у= х при х > О, я~у~ — х при х < 0); ж) две полосы х-ь2, — 2чСуч 2 и х и; — 2, — 2ч,у~2; з) кольцо, заключенное между окружностями х'+у'=аа и х'+у'=2аа, включая границы; и) полосы 2яп~хчч- (2л+ !) и, у ~ 0 и (2я+! ) и ~ х ~ (2я+ 2) и, у ~ О, где я — целое число; к) часть плоскости, расположенная выше параболы у =- — х' (х'+у > О); л) вся плоскость ХОР; м) вся плоскость ХОУ, за исключением начала координат; н) часть плоскости, расположенная выше параболы уз=х и вправо от оси ОГ, включая точки оси ОУ и исключая точки параболы (хтьО, у > у' х)! о) вся плоскость, за исключением точек прямых х=! и у=-0; п) семейство концентрических колец 2пй ~ ха+на ~ и (2й+ 1) (й =О, 1, 2, ...).
1793. а) 1 октант (включая границу); б) 1, П1, Ч! и ЧП! октанты (исключая границу); в) куб, ограниченный плоскостями х=. х 1, у=~ 1 н х= ~ 1, включая его грани; г) шар радиуса 1 с центрам в начале координат, включая его поверхность. 1794. а) Плоскость; линии уровня — прямые, параллельные прямой я+у=О; б) параболоид вращения; линни уровня †концентрические окружности с центром в начале координат; в) гиперболический параболоид; линии уровня †равносторонн гиперболы; г) конус 2.го порядка; линии уровня в равносторонние гиперболы; д) параболический цилиндр, образующие которого параллельны прямой х+у+! =О, линии уровня — параллельные прямые; е) боковая поверхность четырехугольной пирамиды, линии уровня — контуры квадратов; ж) линии уровня — параболы у=Сха; з) линии уровня — параболы у=С)г х; и) линии уровня — окружности С (ха+уз) =2х, 1790.
а) Параболы у=С вЂ” ха(С > 0); 6) гиперболы ху=СВ С (ч 1); в) окружности х +уз=-Ст; г) прямые у= — ах+ С; д) прямые у=Сх (х ю О). 1790. а) Плоскости, параллельные плоскости я+у+а=О; 6) концентрические сферы с центром в начале координат; в) при и > 0 — однополостные гиперболоиды вращения нокруг оси 02; при и < 0 — двуполостные гиперболоиды вращения вокруг той же оси; оба семейства поверхностей разделяет конус ха+у' — х'=0 (и=О). 1797. а) 0; 6) 0; в) 2; г) еь; д) предел не существует; е) предел не существует, У к а з а н и е. В пункте 6) перейти к полярным координатам. В пунитах д) н е) рассмотреть изменение х и у вдоль прямых у=йх и показать, что данное выражение может стремиться к различным пределам в зависимости от выбранного й. 1790. Непрерывна. 1799. а) Точка разрыва х.—..=О, у=О; 6) все точки прямой х=у (линия разрыва); в) линия разрыва — окружность ха+уз=1; г) линии разрыва — координатные оси, 1000.
У к аз а н не. Положив у=у!=сопя(, получим функцию фа(х)=- —,, 2ху1 ха+ус которая непрерывна всюду, так как при ут Ю О знаменатель ха+у~т Ф О, а при 2х,у у,=О фт(х) =-О. Аналогична при х=хт=-сопз1 функция <рч (у) = —, иех',+ у' прерывна всюду. По совокупности переменных х, у функция х имеет разрыв ОТВЕТЫ 429 ! —,— (Вдг — Здх — 4ду). 1848. 61=-0,062 см; 81=0,065 сн, 1849.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
