demidovich-zad (832426), страница 58
Текст из файла (страница 58)
аа =3,8; Следовательно, 7 (х) ш 4 8+ (24 9 соа х+ 13 9 в1п х) + (1О 3 сов 2х — 8 4 шп 2х) + + (3 8 сов Зх -(-0 8 в| и Зх). Пользуясь схемой 12 ординат, найти полиномы Фурье для следующих функций, заданных на отрезке (О, 2п) таблицами своих значений, соответствующих равноотстоящнм значениям аргумента (у, = у,,): 3190 уа = †72 уа= 4300 уа= †74 уа = 7600 у = — 300 уа —— 0 у = — 2250 у а=4500 у,=7000 у,= — 5200 у,=3850 у„=250 Употребительны такие другие схемы. Для облегчения вычислений испольауются шаблоны (см., например, В. И.
Смирнов, Курс высшей математики, т. И, 1962, гл. У1, 424 — 430). Пр имер. Найти полипом Фурье дли функщ~и у=!(х) (ОчСх~2п), ваданной таблицей ав1 пвивлижвннов вычислении коэефицивнтов етвьв,387 3191 уз=О уз=972 уз=742 уа =5.60 у, = 6,68 ув — — 8,97 у, = 6,81 у„= 4,88 уз=968 уа=В 18 уз=622 уза=367 3192. у, = 2,714 у, = 1,273 у, = 0,370 у, = — 0,357 уз=3 042 ув=О 788 уз=О 540 уи= Ов437 уз=2.134 уз=Ов495 уз=О 191 ум=О 767 3193.
Вычислить несколько первых коэффициентов Фурье по схеме 12 ординат для следующих функций: а) 7(х)= — „,(х' — Знха+2аах) (0(х(2п), б) 7(х)= —,(х — и)' (О~х -.2и). ОТВЕТЫ Глава 1 1. Решение. Таи яак а=(а — Ь)-+Ь, то [а[~[а — Ь|+|Ь!. Отсюда |а — В|за|а! — |Ь! и |а — Ь|=-|Ь вЂ” а[~~Ь! — |а!. Следовательно, |а — Ь|>к[[а! — |Ь|!.
Кроме того, |а — Ь|=|а+( — Ь)|=|а|+! — Ь! —— = | а |+ ! Ь !. 3. а) — 2 < к < 4; б) х < — 3, х > 1; в) — ! < х < 0; г) х > О. 4. — 24; — 6; 0; 0; 0; б. В. 1; ! —; $~"! -[- кг; ! х !"')с !+ х'; 1/У !+ ха. 6. и; 1, 4 гс 5 1 7 13 1 —; 0; 7. [(х)=- — х+ —. 8. /(х)= — хс — —.х+!. 9. 0,4.
10. — (х+! к!). 2' ' ' 3 3' ' 6 6 ' ' '' ' 2 1!. а) — !~к <+ со; б) — со < к <+ со. !2. ( — со, — 2), ( — 2, 2), (2, +со) ! 3. а) — со < х ч.„— )' 2, Р 2 м х < + со; б) к = О, ! к ! ) 'и' 2. 14. — ! ж, к~ 2. Решен не. Должно быть 2+х — чс'- О, или к" — х — 2~0, т. е. (х Ь !) (х — 2) ч*,О. Отсюда или х-;-! ~0, х — 2~0, т. е. — ! ~ха 2; или же к+!са0, х — 2=--0, т. е, х~ — 1, хта2,— что невозможно. Таким образом, — [~к~2. !3.
— 2 < к~О. 16. — со < х~ — 1, О~к~!. ! 17. — 2<х<2. 18, — 1<х<1, 2<х<+со. !9. — — ~х~!. 3 20. ! ~х~ !00. 2!. Ьлм хса/гп+ — „(Ь=О, * 1, 4- 2....). 22. ср(х)=2хс— — Вкз — !О„ср(х)= — Зх'+бх. 23. а) Четная; б) нечетная; в) четная; г) ие! четная; д) нечетная, 24. У на за н не. Использовать тождество[(х)= — [1(х) + 2 ! 2 +[( — хЦ+ — (1(х) — 7( — х)!. 26. а) Периодическая, Т= — „и; б) периоди- 2 2Д ческая, Т= —; в) периодическая, Т=п! г) периодическая, Т=л;д) непери. ).
Ь Ь одическая. 27. у= — х, если Ос-,х~с; у=Ь, если с < х~а; 5= — хз, если с 2с Ьс О~к~с; В=Ьх- —, если с < х~а. 28. т2 В хпрнО~х~!г;т| Вт1з+ 2 ' + дз(х — !с) при !с < хм !з-! !с! т=-дс!с+да!с+уз(х — 1,— !с) при 1,+!з < < кс !с+!с+ !в=! 29 ср (ср (х)) 2ск,) Ор (х)) =2"с. 39, к.
31. (х+2)з 37. — —,; 0; —. 38. а) у=О при х= — 1, у>0 при х> — 1, у<0 при 2' ' 4' к < — 1; б) у=О при х= — ! и х=2, у > 0 при — ! < х < 2, у < 0 при — со<х< — 1 и 2<х<+со; в) у>0 при — со <к<+со; г) у=О при Отьетеа 389 х=О, х= — Ь/3 и х==-)/3, у>О при — )/3<с<Он $/3<х<+ос, у < О при — со < х < — )с 3 и О < х < )с 3; д) у —.
О при х = 1, у > 0 пря ! — сосх< — 1 и ! <х<+со, у<О при О<х<1. 39. а) х= — (у — 3) 2 ( — со < у <+со); б) х —. 1/у-',-! н х= — )' ут! ( — 1с.у <+со); в) х-- з/! — ус ( — со < у <+ со); г) х= 2 !Ох ( — ю < у <+ со); 1 / и п1 д) х= — 15у( — — <ус — ). 40. х=у прн — со Сус 0; х — У у при 3 (, 2 г) О < у <+со. 4!. а) у=и'с и=2х — 5; б) у=-2" и=созх, в) у=!Во, х и=!Во, о= —; г) у=..агсз!и и, и=Зо, о= — хс, 42. а) у==мосх; 2 ' С) у=в!с!5)/!Вх; з) у=2(хс — 1), если )х)= 1, и у=б, если )х) > 1. 43. а) у= — сов х', усп )х)~у 2п; б) у=)В(!Π— !О*); — со < х < 1; х ь) у= —, при — со <х<0 ну=-х прн О~к <+ю.
47. Указание. См. 3 приложение Ч1, черт. 1. 51. У к а за н и е. Дополнив кнадратный трехчлен до полного квадрата, будем иметь у == ус-г а (х — хс)', где хо= — Ь,'2а и ус=(4ас — Ь')/4а. Отсюда искомый график есть парабола у=.ах', сдвин>тая вдоль оси ОХ на величину хс и вдоль осн ОУ на величину ус. 53. У к а э а- и не. См. приложение Ч1, черт. 2. 58. Указа н не. См. приложение Ч1„ черт.
3. 61. У к а з а н не. График представляет собой гиперболу, сдвинутую вдоль оси ОХ ка величину хс н вдоль оси О)с на величину ус. 62. У к а- 2 !3 с/ 2 Д за н и е. Выделив целую частгь будем иметь у= — — — ) ( х+ — ) (ср. № 61). 3 9)(, 3) 65. У к аз а н не. См. приложение И, черт. 4. 67. У к а за н н е. См. прнлосксиие И, черт. 5. 71. У к а з а н не.
См. приложение Ч1, черт. 6. 72. У к аз а н и е. См. приложение Ч1, черт. 7. 73. У к в за н в е. См. приложение Ч!, черт. Ва. 75. У к а з а н и е. См. приложение Ч1, черт. 19. 78. У к а за н и е. Сч. приложение Ч!, черт. 23. 80. У к а за н не. См. приложение Ч), черт. 9. В!. У к аз а н и е. См. приложение Ч!. черт. 9. 82. У к а за н не. См. криложение И, черт. 1О. 83. У к а за н и е. См. приложениеИ, черт. 1О. ВЯ. У к аз а н и е.
См. приложение Ч1, черт. !1. 85. У к аз а н не. См. приложениеЧ1, :срт. !!. 87. У к а за н не. Период функции Т=йи/л. 89. Указание. !!скомый график есть синусоида у=-ба!п2х с амплитудой 5 н периодом м, ! сдвинутая вправо вдоль оси ОХ на величину 1 —. 90.
Указа н и е. Полагая 2 ' а=-Асозср и Ь= — Аэ(пср, будем иметь у=Аз!п(х — ср), гле А= )с"ас+Ьз ЬД и дс/ Агс!2 ( — — ). В нашем случае А=(0, ф= — 0927. 92. У к аз ание. а)' ! совах= — (1+ сов 2х). 93. У к а з а н и е. Искомый график есть сумма гра- 2 финов у,=х и у,=впх. 94. У к аз а н ие. Искомый график есть произвеление графиков у,=х и ус=в(пх.
99. Ук а за н и е. Функция — четная. Для х > О определяем точки, в которых !) у=О, 2) у=! и 3) у= — 1. При х — +со у 1. 101. Указ а н ие. См. приложение Ч), черт. !4. 192. Указа н ие. См. приложение Ч!, черт. )5. 103. Указание. См. приложение Ч1, черт. 17. 104. Указание. См. приложение Ч), черт, 17. 105. У каза и и е. См. приложение Ч1, черт. 18.
107. У к а за н ие. См. приложение И, черт. 16. 118. Указание. См. приложение Ч), черт. 12. 390 ответы 119. Указание. См. приложение Ч1, черт. 12. 120. У к а за н не. См приложение Ч1, черт. !3. 12!. У к а з г н не. См. приложение Ч1, черт. 13. 132. У каза н не. См. приложение Ч 1, черт. 30. 133.
У к а за н не. См. приложение Ч1, черт. 32. 134. Указа н не. См. приложение Ч), черт. 3!. !38. Указание. См. приложение Ч1, черт, 33. 139. Указание. См. приложение Ч1, черт. 28. 140. Указание. См. приложение Ч), черт. 25. !41. Указание. Составим таблицу значенвй Построив полученные точки (х, у), получим искомую кривую (см. приложение Ч1, черт. 85), (Параметр Г ирн атом геометрически не откладывается!) 142. См, приложение Ч1, черт.
!9. !43. См. приложение Ч1, черт. 27. 144. См. приложение Ч1, черт. 29. 145. См. приложение Ч1, черт. 22. 150. См. приложение Ч1, черт. 28. !5!. Указа н не. Разрешив уравнение относительно у, получим у=- ~ У 25 — х'. Теперь искомую кривую легко построить по точкам. 153. См. приложениеЧ1, черт. 21. 156. См.
приложение Ч1, черт. 27. Достаточ- а но построить точки (х, у), соответствующие абсциссам х=О, 4- —, ха. 157. У к а. 2 ' з а н и е. Разрешая уравнение относительно х, будем иметь х= !О !Ву — у(*). Отсюда получаем точки (х, у) искомой кривой, давая ординате у произвольные значения (у > О) и вычисляя по формуле (") абсцнссу х. Сгедуст иметь ввиду. что !Ву — ь — се при у — «О. 159.
У к аз а ни е. Переходя к полнрным коор- у динатам г= угла+уз н 16ф= —, будем иметь г=еч (см, приложение Ч1, черт. 32). 180. Указание. Переходя к полярным координатам х=гсозф 3 з(п 9 соыр и у=ге!пф, будем иметь г= .„. з (см. приложение Ч1, черт. 22). созе ф+з!пз ш 181. г"= — 32+ !ЗС. 162. у=О бх (!Π— х); у,„= !5 при х=5.
163. у= — з(п х; аЬ . 2 аЬ и ! Узах= — при х= —. 184. а) х,= —, х,=2; б) х=О 68; в) хт=-137, ха=10; пз ах г) х=0,40; д) х=- 1,50; е) х=0,86. 165. а) хг=2, у!=5; хз — 5, уз=2, б) х,= — 3, у,= — 2; хз= — 2, у,= — 3; ха=2, у„=3; х =3, уз=2; в) х,=-2, у,=2; хзшЗ,1, у,ж — 2,5; г) хзж — 3,6, уым — 3,1; хзж — 2,7, и ус 2 узга291хзга29уз!81хаж3,4 узы — 16'д)хг — уг— 4 ' хз= —, уз= — †. !Вб. а > —, а) лрм4; б) и > !О; в) лрь32. 5п Рг2 ! 4'2''Уз 167. я > — — 1 !Ч. а) )Ч=й; б) )9=99; в) й(=999, 188. б= — (з < !). ! а е 5 а) 0,02; б) 0,002; в) 0,0002. !69.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
