demidovich-zad (832426), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Зтат корень будет заведомо единственным, если Г (х) ) О илн Г (х) < О прн а<х<Ь. Для приближенного нахождения корня Б рекомендуется на миллиметра. вой бумаге построить графлк функции у=[(х). Абсциссы точек пересечения графика с осью ОХ и являютсн корнями уравнения 1(х) =-О. Иногда удобно данное уравнение заменить равносильным ему уравнением м(х) =ф(х). Тогда корни уравнения находятся как абсциссы точек пересечения графиков у =- т (х) а у=ф(х). П р а в н л о и р о п о р ц н о н а л ь н ы х ч а с т е й (м е т о д х о р д).
Если на отрезке [а,Ь) находится единственный корень й уравнения 1(к)=-О, где функция 1(х) непрерывна на отрезке [а, Ь), то, заменив нриную у=-1(х) хордой, проходящей через точки (а;1(а)) и (Ь;1(Ь)), получим первое приближение корня ах= а — (Ъ вЂ” а). [ (а) 1(Ь) — 1(а) (2) 1[ля получения второго приближения са формулу (2) применяем к тому иэ отрезков [а, сд) илн [с„Ь), на концах которого функция /(х) имеет значения противоположных знаков. Так же строятся и следующие приближения. По. следоватсльность чисел с„(п=-1,2, ...) сходится к корню $, т. е.
1нп с„=й. и ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ 369 Вычисления приближений с„сд, ..., вообще говоря, следует производить до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые нами в ответе десятичные знаки (в соответствии с заданной степенью точности!); для промежуточных выкладок надлежит брать однн-два запасных знака. Это замечание имеет общий характер. Если функция /(х) имеет отличную от нуля непрерывную производную /'(х) на отрезке [о, Ь), то для оценки абсолютной погрешности приближенного корня с„ можно воспользоваться формулой [Š— со[~ —" [/(с ) ! И где р= пп'п [/'(х) [, оах "Ь 3' Способ Ньютона (метод касательных). Если /'(х) ю О и /'(х) Ф 0 пря аа х~Ь, причем /(а) /(Ь) ( О /(а) /" (а) ) О, то последова- тельные приближения хд(а=О, 1,2...
„) корня в уравнения /(х)=0 вычисля- ютск по фориулам хд=а, х,=х„г —, (а=1, 2...), /(х -1) /' (хд-д) (3) При данных предположениях последовательность х„(п= 1, 2,,) — мо. погонная, и Игп х =В. и Ф /[ля оценки погрешностей можно воспользоваться формулой )/(х )! где р= ш[п [/'(х) !. д~хко Практически удобнее пользоваться более простыми формуланн хд — --а, х =х„д — а/(хд г) (п — -- 1, 2, ...), (3') 1 где и= —,, да!огнями примерна ту же точность, что и формулы (3), /' (а) ' Если /(Ь)/" (Ь) > О, то в формулах (3) и (3') следует полохдить хд=-Ь. 4'. Способ втер ац ни.
Пусть данное уравнение приведено к виду х=ф (х), (4) где ! др'(х) )~е < 1 (е — постоянная) прк а~х~Ь. Исходя из начального значения х„принадлежащего отрезку [а, Ь), построим последовательность чисел хм х„... оо следующему закону: хг = ы (хд), хд с - ф (х,)...,, хд = <р (хд д),... (5) Если а Шхд~Ь (п=!, 2, ...), то предел с= Игп х„ п д является е д и н с та е н н ы м к о р и е и уравнения (4) на отрезке [а, Ь[, т, е, х„суть лоследовашельные приближения корня $.
Оценка абсолютной погрешности и-го приближения хд дается формулой и- [:!'""* ""! ! — г 870 (гл. х ПРИВЛИЖЕИНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ Поэтому, если х„и хагт совпадают с точностью до е, то предельная абсолютная е погрешность для х„ будст — . ! — г Для преобразования уравнення )(х)=0 к виду (4) заменяем последнее эквивалентным уравнением х=х — Ц (х), где число Х ~ О выбирается так, чтобы функция — [х — 81'(х)) =1 — Ц*(х) ох была малой по абсолютной величине н окрестности точки хэ (например, можно положить ! — ).Г' (хе] = — О). Пример !.
Привести уравнение 2х — !пх — 4=0 при начальном приближении корня ха — — 2,5 к виду (4). ! Р вше и не. Здесь 1(х)= — 2х — 1пх — 4; Г' (х)=2 — —. Пишем эквивалсптх' нае уравнснпе х=х — й (2х — 1и х — 4) и в качестве одного нз подходнщнх значений й берем 0,5 — число, близкое к коршо уравнсная 1 — л (2 — — Г! ( =О, т. е. к — = О,С. х «=2,э 1,С 1!стадное уравнение приводится к виду х=х — 0,5 (2х — !о х — 4) влн 1 х=2+ — !их. 2 Пример 2.
Вычислить с точностью до 0,01 корень й предыдущего урвав пня, заключенный между 2 и 3. Вычисление корня по способу итерации. 1)спользуем результат примера 1, полагая хэ-=2,5. Вычисление ведем по форнулаы (5) с одопп запасным энакоы. хд —— 2+ — !и 2,5 ш 2,458, 1 2 1 хэ = 2+ — 1п 2,458 2,430, 2 хз.— -2-)- — !п 2,450 Рз 2,448, — 9 э — -' ха — — 2+ — 1п 2,448 2,448. 1 11тзн, с 2,45 (процесс дальнейших приближений можно прекратить, так ьак третий десятичный знак (тысячные) закрепился), Прнаедем оценку погрешности.
Здесь 1 1 ф(х)=2+ — „1пх в ф'(х)=— 2х Считая, что все приближения х„лежат на отрезке [2,4; 2,5), получим; ! г = шах ) ф' (х) ) =,— ч = 021. 2 2,4 й 3! ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЪНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ 371 Следовательно, предельная абсолютная погрешность приближения хз в силу приведенного выше замечания есть Ь = — ' = 0,0012 — 0,00!. О, 00! 1 — 0,21 Таким образом, точный корень $ уравнения содержится в границах 2,447 < $ < 2,449; можно принять $ оз 2,45, причем все знаки этого приближенного числа будут верными в узком смысле. Вычисление корня по способу Ньютона.
Здесь о /(х)=2х — 1пх — 4, /'(х)=2 — —, /'(х)=— х' х' На отрезке 2(х~З имеем: /'(х) > О и/'(х) > 0; /(2) /(3) < О;/(3)/" (3] > О. Следовательно, условия пункта 3' при хо=3 выполнены. Принимаем т 1 а== ( 2 — — ) = 0,6, 3) Вычисления ведем по формулам (3') с двумя запасными знакамн хо=3 — 0,6(2 3 — )п3 — 4)=2,4592; х,=2 4592 — О 6 (2 2,4592 — !и 2 4592 — 4)= 2 4481; х;, =- 2 4481 — 0 6 (2.
2 448! — !п 2 4481 — 4) = 2 4477; хо =-2,4477 — 0,6 (2 2,4477 — )п 2,4477 — 4) = 2,4475. На этом этапе вычисления прекрац!зем, так как число тысячных больше не изменяется. Даем ответ". корень 3=2,45, Оценку погрешности мы опускаем 5'. Случай си стемы двух ур а висни й. Пусть требуется вычислить, с заданной степенью точности, действительные корни системы двух ураннений с двумя неизвестными ( /(х, у) =-О, ~р (х, у)-=0, н пусть имеется начальное приближение одного из решений гв, Ч) этой системы х=хо у=-уо. Зто начальное приближение можно получить, например, графически, построив (в одной и той же системе декартовых координат) кривые /(х, у) =0 и ~р(х, у)=0 и определив координаты точек пересечения этих кривых.
а) Способ Ньютона. Предположим, что функциональный определитель д(/, ор) д (х, у) не обращается в нуль вблизи начального приближения х=хо, у=у,. Тогда, по способу Ньютона', верное приближение решения системы (6) имеет вид х = хо+ по, у = но+ ро, где ао, ))о — решение системы двух линейнЫх уравнений /(хо Уо)+по/х(хо Уо)+Ро/а(ха Уо)=0. Ч' (хо Уо) + пот» (хо Уо) -г рафу (хо Уо) = О (гл. х 372 НРИБЛИЯ<ЕННЫЕ ВЫЧНСЛЕНИЯ Второе приближение получается тем же приемом: ха==х, -!.м» уз=уз+(1» где и» ()г — решение системы линейных уравнений ( 7 (хт, дт)+со,(„(хт, уг)+(],~,', (х» у,) -..-О, гР (х» Уг)+мтух (х» Ут)+Ма (х» Ут) =- О.
х=-Р (х, у), (:, д — Ф(х, у) (7) и предполагая, что / Р„(х,у) ~ +(Ф„(х, у) ~~г ( 1; (Ра(х, у) (+(Фо(х, г!)(а-г (! (8) в некоторой двумерной окрестности (! начального приближения (хо, у,), со. держзщеи и точное реноение (й, о1? системы. Последовательность приближений (х„, нз! (л= 1, 2, ...), сходящаясн к решению системы (7), или, что то же, к решеншо системы (6), строится цо следующему закону: «т =Р(хо уо) дт=Ф(ха уо) х,==Р(х„уг), У,=-Ф(хт, уг), хо — Р (х» Уо), дз ' — Ф (хо Уо) Если все (х„, дз) принадлежат (7, то 1нп х„— — С, !Вп у„=т!. Для преобразооання системы уравнении (6) к виду (7) с соблюдеяиеи условии (8) можно рекомендовзть такой прием.
Рассмотрим систему уравнений ( а) (х, у]-, ,'(]ар(х, у) = О, 77(х, У)-»д~р (х, д) =-О, вквнпалентную системе (6) при усчовни, что ! ~ Р'- О. Перепишем ее так; ~у д~ х =- х+ а( (х, у),, ()ф (х, у) == Р (х, у), у=у+71(х, у)-1-дгр(х, у) == Ф (х, д). Выберем параметры а, (), 7, д такими, чтобы частные производные функций Р(х, у) и Ф (х, у) были равны илн близки к нулю при начальном приближении, т.
е. находим и, 8, 7, д как приближенные решения системы уравнений 1+о)х(ха, Уо)+Офх (ха, Уо) =0 са)к(ха уа) +Огра (хо. уо) .-О 7?х(ха Уа?+дора(хо Уа)=0 1+7)а(ха уа)+дора(хо до)=-0. При таком выборе паралоетров а, 11, 7, д, в предположении, что частные производные функций 1(х, д) и гр (х, у) изменяются не очень быстро в окрестности начально~о приближения (х„уа), условие (8) будет соблюдено. Аналогична получаются третье и последующие приближения.
б) Способ иге рации. К решению системы уравнений (6) можао применнгь н способ итерации, преобразовав эту систему к эквивалентному виду $ 3! Вычисление дейстВительных корней УРАВнений 373 П р имер 3. Привести систему уравнений ха+у' — ! =О, хв — У=О при начальном приближении решения хе=о,б, уз=0,55 к виду (7). Р е ш е н и е. Здесь ) (х, у) — — хз+ уе — 1, а (х, у) = ха — у; )а (хе, уе) = !,б, )у(хе Уе)=.1,1; та(хе Уа)=1,92, ~уу'(хр, Уо)= — 1. Записываем систему, эквивалентную исходной, ( а(х'+уе — 1)+3(хз — у)=0, и 1МО) =, (),! в ввде х=.х — , 'а(х'+уа — 1)+б (хз — у), у у+у(хе+уз !) ! Б(ха у) Выбираем в качестве подходящих числовых значений а, р, у и 5 решение системы уравнений 1 + !,ба+ 1,92(1 = О, 1,1а — р=о, 1,бу+ 1,925 = О, !+1,!у — В=О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
