demidovich-zad (832426), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Имеем, например: — =- — + — 1+ — а лгу д) д! д) дха дх ду дг (2) Определяя г нз первого уравнения системы (!) и подставляя найденное вы. ражение г=ф(х, у, „— ) (3) П р и м е р 2. Решить уравнение хзу' — Зхр'+ 4у = О, Р е ш е н и е. Полагаем у=ха; уг=йха-г, у'=й(й — !) ха-з. Подставляя в данное уравнение, после сокращения на ха получим каракте. ристическае уравнение йз — 4й+ 4 .=. О.
352 (ГЛ. лх ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ в уравяение (2), получим уравнение 2-го порядка с одной неизвестной функ. цисй у. Решая его, находим: У ф (х Сл Са) (") где С, н Са — произвольные постоянные. Подставляя функцию (4) в формулу (3), определяем функцию 2 без новых интеграций, совокупность формул (3) и (4), где у замсисио на ф, дает общее решение сштелы (!). П р и м е р. Решить систему — + 2у + 42 = ! + 4х, с бу л(х л(2 3 л(х — +у — 2 = — Х'.
2 Р е ш е н и е. Дифференци руем первое уравнение по х: лГлу, г(у бг — +2 — +4 — =4. л(хл л(х л(х бу Из первого уравнения определяется 2== — ( !+4х — — — 2у) я тогда иэ вто- 4(, л(х л(2 3 ! 3 ! л(у Г(2 рого будем иметь: — = — хл+х-у — — — у — — —. Подставляя 2 И вЂ” В л(х 2 ' 4 2 4бх" г!х уравнение, полученное после дифференцирования, приходим к уравнению 2-го порядка с одной неизвестной у: блу, бу —,+ — — бу = — бх' — 4х+3. г(хл ух Решая его, найдем: У=-С,елх-,' Сле ля+ха+к, и тогда бу Д С, 2= — ! -). 4х — — — 2У) = — С,е'х+ — е-'х — — х*.
бх,) 4 2 Аналогично можно поступать и в случае системы с большим числом уран. некий. Решить системы: г(ч — =8+52, 3079.,(2 — +у+Зг=О г!у — =г, бх 3078. 3081. л(2 — =Х л(т — =- — Зу — г, бу ЗО8О. „— =д — г, бх ох — =у, бу б! интвгрировднив урдвнвнии с помощью ~ядов 353 од — =у+г, 3083 лг — =х+у+г. 3082 „— +2у+г=я)пх, оу 3084. — — 4у — 2г = соз х. — „" — 4х — у+361= О, зова.
ед, + 2х — У+ 2е' = О; х=О, у=1 при (=О. 3088. а) —. = — = — . ох Еу ог хв ч- Зхув 2у' 2у'г ' ох г)у ог б)е х — у х+у Лх мд г(г в) * — — = —, выдел ить у — г г — х х — у' вую, проходящую через точку (1; 1; — 2). интегральную кри* —,в+ 2у + 4 г = е', г('гу ахв овг Ехв —.,— и — Зг= — х. 3091**. Сяаряд вылетает из орудия с начальной скоростью о, под углом а к горизонту. Найти уравнение движения снаряда, принимая сопротивление воздуха пропорциональным скорости. 3092 .
Материальная точка М прятягпвается центром О с силой, пропорциональной расстоянию. Движение начинается из точки А на расстоянии а от центра с начальной скоростью о„перпендикулярной к отрезку ОА. Найти траекторию точки М. 3 16. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов Если интегрирование дифференциального уравиеиия лри цомоши элемеитарных функций ие удается, то его решение в иекоторых случаях можио искать в виде степеияого ряда у= «~ сч (х — хе)". 1е Пад ред. Б.П. демвдаввчв ех гн — =у+г еу — =х+г ег ог ег — =х+у У+ Зу+ 4г = 2х, 3085. г(х — — у — г = х' Э у=О, г=О при х=О. г(у ув Б г 3082.
о' 2 У' 1ГЛ. ! Х ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНЫЕ УРАВНЕНИЯ Неопределенные коэффициенты сл (л.— -О, 1, 2, ...) находятся путем подстановки рада (!) в уравнение и приравниваиия коэффициентов при одинаковых степе!их бинома х — х, в левой и правой частнх полученного равенства. й(он!!со также искать решение ураввения у'=1(х, у) в виде ряда Тейлора аээ уС«с(ха) у (х) = Ъ' '— '-(х — хо) л, гс! (3) л=о где у(хо) =уа у'(ха).=-7(ха уо) и дальнейшие производные ус«>(ха) («=2, 3, ...) последовательно находятся при помощи дифференцирования уравнения (2) и подсшновки вместо х числа ха.
П р и и е р 1. Найти решение уравнения у" — ху=О, если у=-уа, у'=уа прп х=й. Р е ш е и п е. Полагаем у=с,+с,х+...+саха+..., ото!ода, дифференцируя, получим: у"=-2. !сзч 3 2сзх+...+л(л — 1) слхл з+(л+1) лс«+1 хи-з+ +(и+2) (л+1) с«+ах«+ Подставляя у п у" в данное уравнение, приходим к тождеству (2 !г,й 3 Есзг+... -',-л(л — 1) слх"-'+(л+!) «с«+ах«-з-1- + (л+ 2) (л '- Ц с«+ ах«+ ., ) — х (с, -,' с х+...
+ сох«+... ) == — О. Собирая в левой части полученного равенства члены с одинаковыми степенями х и приравнивая нулю коэффициенты при этих степенях, будем иметь со . с, с»=О; 3 2сз — со=О, сз= —,; 4 Зса — с»=0, са= —, 32' ' 43 с, 5 4с,— с,=О, са= — и т. д. 5 4 Вообще, са с, з» вЂ” 2 3 5 О (3» !) ЗИ З~~ 3 4 О' ° 7 3» !Зй+!) ' сз»+з — — О (й=!, 2, 3, ...). Следовательно ха х' хза о ( 2 3+2 3.5.5+''"+2 3 5 0 ... (Зй — !) 3!г+''')+ х' х' хз»+з '( 3 4+3-4 б 7+'''+3 4 б 7.....3!з(З»-1-1)+''') ' где со=уз и с!=уз Применяя признак Даламбера, легко убедиться, что ряд (4) сходится при ао ( х С + оз. $ !71 355 зАдАчи ИА метод ФуРье П р имер 2.
Найти решенно уравнения у' = х+ у,' уо — -- у (О) = 1. Р е ш е н и е. Полагаем у=уо+уох+ — хо+ — хо+. „ Уо о Уо 2! ' 3! Имеем ус=!, уз=о+! =1. Дифференцируя обе части уравнения у'=х+у, последовательно находим у'=1+у', уо — — 1+1=2, у' '=у", уо =2. н т. д. Следовательно, У=1+х+ — х + — х + 2 2 2! 3! Для разбираемого примера найденное решение можно записать в конечном виде у=!+х+2(е" — ! — х) или у=2е" — ! — х.
Аналогично следует поступать в случае дифференциальных уравнений высших порядков. Исследовайне сходимости полученных рядов, вообще говаря, сложно и при решении задач этого параграфа обязательным нс предполагается. Найти с помощью степенных рядов решения уравнений при указанных начальных условиях. В №Хо 3097, 3098, 3099, 3101 исследовать сходимость полученных решений. 3093. д' = у + х*; у = — 2 при х = О.
3094. у' = 2у+ х — 1; у = у, при х = 1. 3095. у' = у' + х*; у = — и р и х = О. 1 2 3096. у'=х* — у'! у=О при х=О. 3097. (1 — х)у'=1+х — у; у=О при х=О. 3098". ху'+у=О; у=О, у'=1 при х=О. 3099. у" +ху=0; у=1, у'=О при х=О. 3100*. у" + — д'+у=о; у=1, у'=О при х=о. 3101*. у" + — у'+у=О; у=1, у'=0 при х=О. г(ох ах 3102. —,+хсоз(=О х=а — =О при 1=0. й(о о э иг 9 17.
Задачи на метод Фурье Для нахождения решения линейиога однородного дифференциального уравнения в частных производных по методу Фурье сначала отыскивают частные решения этого уравнения специального типа, каждое из которых представляет собой произведение функций, зависящих только от одного аргумента. В простейшем случае имеется бесконечная совокупность таких решений и„(л=-!, 2, ...), линейно независимых в любом конечном числе между собой и удовлетворяющих задаяным граниюгмм условиям. Искомое решение и 356 (гл. гх ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ представляется в виде ряда, расположенного по этпч частным решениям: и=- ~~ С„иа. а=! Остающиеся неопределеннымв коэффициенты С„находятся из начальных условий. Задача.
Поперечное смещение и =и(х, г) точек струны с абсцнссой х в момент врсмеяи 1 удовлетворяет уравнению дев дэп — .=. а —. 2 д12 ' дха (2) где о —.— — (Т,— сила натив<ения, р — линейная плотность струны). Найти Т„ р форму струны в момент времени 1, если концы ее х=О и х=1 закреплены 46 и в вачальный момент 1=О струна имела форму параболы и= — «(1 — х) 1э (рис. 107) и точки ее имели ско- 77 рость, равную нулю. Р е ш е н н е. Согласно условию задачи требуется найти решение и = п(х,1) уравнения (2), удовлетворяющее граничным условиям: 0 и (О, 1) = О, и (1, 1) = 0 (3) и начальным условиям: 4Ь и(х, 0) = — х(1 — х), П ' (4) пс(х, 0) =-О. Рис, 107.
Ищем ненулевые решения уравнения (2) специального вида и =-Х(х) Т(1). Подставив это выражение а уравнение (2) и разделав переменные, получим: Т" (1) Х' (х) (5) а'Т Я Х (х) Так как переменные х и 1 являются независимыми, то тождества (5) вазмоисиа лишь в том случае, когда общая величина отношения (5) будет настоянной. Обозначая эту постоянную через — йэ, найдем два обыкновенных дифференциальных уравнения: Т" (1)+(а))'Т(()=0 и Х" (х)+АэХ(х)=0. Решая эти уравнения, получим: Т (1 ) = А сов а Мг+ В з( п а А1, Х (х) =- С соэ Ах+ О эш йх, где А, В, С, )2 — произвольные постоянные. Из условия (3) имеем: Х(0) =-0 и Х(1)=0, следовательно, С=О и шпИ=О (так как 1) не может одноврейп менно с С равняться нулю). Поэтому Аь= —, где й — целое число. Легко убедиться, что мы не потеряем общности, взяв для й лишь положительные значения (э=1, 2.
3,,). Каждому значению Аа соответствует частное 4 77! 357 ЗАДАЧИ НА МЕТОД ФУРЬЕ решение йал йал й . йл.т их = (Аа соа — 1+ Ва шп — 1) шп — ' 1 ) удовлетворяющее граничным условиям (3). Составим ряд Ф йалг . йал1'! . йлх и=~» (Аасов — +Вамп — ) 5!ив а=! сумма которого, очевидно, удовлетворяет уравнению (2) н граничным условиям (3). Подберем постоянные Аь и Вх так, чтобы сумма ряда удовлетворяла начальным условиям (4). Так как ди е-ч йал / .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
