demidovich-zad (832426), страница 48
Текст из файла (страница 48)
2811, (хсозу — уа(пу) !(д 1-(ха(пу -'.— усову) к(х==О. (гл. гн ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ $7. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, ие разрешенные относительно производной 1'. Дифференциальные уравнения 1-го порядка высших степеней. Если уравнение г" (х, у, у') = О, (1) например, второй степени относительно у', то, разрешая уравнения (1) атно- сительно у', получим два уравнении: у'=уз (», у), у'=l (х, у). (2) Таким образом, через каждую точку Ме (хь, уе) некоторой области плоскости проходят, шюбще говоря, две интегральные кривые.
Общий интеграл уравнения (!) в этом случае имеет вид Ф(х, у, С) = — — Фг (х, у, С) Фз (х, у, С)=0, (3) где Фт и Ф,— общие интегралы уравнений (2). Кроме тото, для уравнения (!) может существовать особый иншсарал. Геометрически особый интеграл представляет собой огибающую семейства кривых (3) и может быть получен в результате исключения С из системы уравнений Ф(х, у, С)=0, Фс(х, у, С)=0 (4) или в результате исключения р=у' из системы уравнений Г(х, у, р)=0, Г (х, у, р)=0. (5) Заметим, что кривые, определяемые уравнениями (4! или (5), не всегда являются решениями уравнения (!); поэтому в каждом отдельнои случае необходима проверка.
Г! р имер !. Найти общий и особый интегралы уравнения ху'з-,' 2ху' — у=-О. Р е ш е н и е. Решая относительно у', имеем два однородных уравнения: У вЂ” — (г 1+ — ~ У= — 1 — !+в у у х ' х определенных в области х(х+у) > О, общие интегралы которых ( Г у )' С ( ~ « , )з С нли (2х+у — С) — 2~ха.)-хУ=О, (2х+у — С)+2)гхе-(-хУ=О.
Перемножая, получим общий интеграл данного урапнения (2х+у — С)' — 4 (хз 1-ху) =0 или (у — С)з = 4Сх (семейство парабол). УРАВНЕНИЯ )-ГО ПОРЯДКА Дифференцируя общий интеграл по С и исключая С, найдем особый интеграл у+х=(). (Проверка показывает, что у+х4 й есть решение данного уравнения.) Особый интеграл можно также найти, дифференцируя хр'+2хр — у=О по р и исключан р. 2'Решение дифференциального уравнения методом в п е л е н и я п а р а м е т р а. Если дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет внд х=гр(у, у'), то перемсаиые у и х могут быть определены из системы уравнений 1 дгр, дф др р ду ' др ду ' — = — + — —, х=-р(у, р], где р = у' играет роль параметра. Аналогично, если у=-ф(х, у'), то х п у определяются из системы уран.
иевпй дф, дч) др дх ' д дх ' Пр яме р 2. Найти общий и особый интегралы уравнения ха у = у' е — ху' 2 Ре ше н пе. Делая подстановку у'=р, перепишем уравнение в виде ха у= — ра — хр+ —. 2 Дифференцируя по х, считая р фуикцней от х, имеем др пр р= 2р — — р — х — +х дх дх или — (2р — х) =(2р — х), или — =!. Интегрируя, получим р=х+С. !1оддр др йх ' дх стааляя в первоначальное уравнение, имеем общее решение: ха . ха у=(х ';С)е — х(х+С)+ — или у= — +Сх+Са.
2 2 Дифференцируя общее решенно по С и искл)ачая С, получаем особое реше. хе / ха ние: у= —. ~Проверка показывает, что у= — естьрешениеданногоурав- 4 пения.) Если приравнять нулю множитель 2р — х, на который было произведено х сокращение, то получим р= —, и, подставив р в данное уравнение, получим 2 ха у = — — то же самое особое решение. 4 332 !гл. !х диюэгрнннидльнын унднннния Найти общие и особые интегралы уравнений (в Мз№ 2812— 2813 построить поле интегральных кривых): 2812.
у" — — "у'+1=-0. 2813. 4уек — 9х=О. 2814. уу" — (ху+! ) у'+х= О. 2815. у" — 2ху'+ у =. О, 2816. Найти интегральные кривые уравнения у" +у'--=-1, про- ! 1 ходящие через точку М (О; — ) . 2) ' Вводя параметр у'=-р, решить уравнения: 2817. х= з(ну'+!пу'. 2818. у =-у"ск'. 2819. у=у" +2 !пу'. 2820. 4у=-х'+у". 282!. н" =~ 2822. у=у'+Р'~ — у" 2у' 9 8, Уравнения Лагранжа и Клеро 1'.
Ура ни ение Ла г р а н ж а. Уравнение аида у = хср (р) -!. ф (р), где р=.у', называется уравнением Лагранжа. При помощи дифференцирования, учатыная, что с(у=-рбх, урааненне (!) сводится к линейному относидх тельно х п —: ар р Их =- ю (р) Их -1 )хю' (р) 4 ф' (р) ) ар. (2) Если р~ср(р), то из уравнений (!) и (2) получаем общее решение и пара- метрическом виде: х=-С)(р) .(-у(р), у=(С/(р)+у(р)! о(р)+ф(р), гте р — параметр и г(р), у(р) — некоторые изаестные функцаи.
Кроме того, может сущсстзоаать особое решение, отыскиааемое обычньш приемом. 2'. У р а а пение Клеро, Если н уравнении (1) ср(р) =--р, то получаем уравнение Клеро у = хр + 14 (р). Общее решение его имеет аид у=-Сх- ф(С) (семейстао прямых). Кроме того, сущестаует особое решение (огибающая), получающееся к результате исклю- чения параметра р из системы уразиений (= --' ' х --. — ~ (р), у=р -'-ф(р) П р и м е р.
Решить уравнение 1 у =- 2у'х+ —, . (3) 1 Решение. Полагаем у'=р, тогда у=-2рх+ —; дифференпируя н заме- Р аяя с(у на р с(х, получим: р ах = 2р с!х; — 2х с(р —— Ир Р УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И КЛЕРО 1 в1 333 или бх 2 — = — — х+ —,, "Р Р Р~ Решив ато линейное уравнение, буден иметь: 1 х= — (1п )р)+С). Ра Следовательно, общий интеграл будет х = —, (!и ! р ! -!. С), с ! 1 у=йрх+— Р Для нато'кдения особого интеграла .ю общему правилу составляем систему 1 1 у=2рх+ —, 0=2х —— Р Р Отсюда 1 2 х= —,, д= —— 2ра ' р и, следовательно, у = ш 2 $~ 2х.
Подставляя у в уравнение (3], убеждаемся, что полученная функ гня не является решением и, следовательно, уравнение(3) не имеет особого ни~стрела, Решить уравнения Лагранжа: 2823. у= —,х(у'+ —,). 2824. у=(!+у')х+У". 2 т д' 2823*. д= — —,у'(2х+у'). 1 Найти общий и особый интегралы уравнений Клеро и построить поле интегральных кривых: 2826. у=-ху'+у'. 2827. у =ху'+у'. 2828. у=ху +)/(+(у )'-. 2829. У=хд'+ —,. Д 2830. Найти кривую, для которой площадь треугольника, образованного касательной в любой точке и осями координат, постоянна. 283!.
Найти кривую, если расстояние данной точки до любой касательной к этой кривой постоянно. 2832. Найти кривую, для которой отрезок любой бй ((йбйтельной, заключенный между осями координат, имеет постоянную длину (. 334 1гл. зх ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 9 9. Смешанные дифференциальные уравнения 1-го порядка 2836. (2ху' — у) е(х+хе(у=О 2838. у = ху' + у' 1п у'. 2833.
Определить типы дифференциальных уравнений и укаэать методы нх решения: а) (х+у)у'=хагс1д «; н) у'=(х+у)', б) (х — у)у'=у', к) хсоеу'+уе!Ну'=1; в) у'=2ху+х', л) (х' — ху) у' = у'. г) у'=2ху+у', м) (х'+ 2ху') з(х+ д) ху + у = е!и у; + (у'+ Зх'у') з(у = О; е) (у ху')з у'з. н) (х' — Зху) е!х + (х'+ 3) з(у = О; ж) у=хез'; о) (ху'+ 1п х) е(х = у' з(у. а) (у' — 2ху) $ у=х*; Решить уравнения: 2834.
а) (х — усов «) з(х+хсоа — "з(у=О; б) х !и —" з(у — у з(х = О. 2835. хе(х=( — — уз) з(у. « 2837. ху'+у=хуз !пх. 2839. у=-ху'+~/ — ау'. 2840. х'(у+ 1) з!х+(хз — 1) (у — 1) з(у = О. 2841. (1+уз) (е' е(х — езз!«) — (1+у) з(у=О. 2842. у' — у —,= 1. 2843. уег = (у'+2хе") у'. 2844. у'+успех=а!пхсоех. 2845. (1 — х')у'+ху=а.
2846. ху' — — « — х=О., 2847. у'(хсоеу+аа!Н2«) =1. х Р! 2848. (х'у — х'+ у — 1) з(х+ (ху+ 2х — Зу — 6) г(у =- О. 2849. у'= (1+~ ) . 2850. хузз(х=(хзу+2)з!у. 2851 у=з 2852. 2з(х+ ~' — ду — )/ «з!Е=О. 2853. у'= «+1я « . 2854. уу'+уз=соех. 2855. хз(у+«Ох=узз(х. 2856. у'(х-';е!ну) =1. 2857. у — ~= — р+р'. з(у 2858. х' е(х — (х'+ у') е(у = О. «хз-,«' Е В! СМЕШАННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 335 2861. ееах+ (хее — 2у) йу = О. 2862. д = 2ху'+ У1+ у'*. 2863.
у'= е (1+1пу — 1пх). 2864. (2е +у')с(у — уе" с!х=О. 2865. у' = 2 („~ ', ) . 2866. ху (ху'+ 1) ду — йх = О. 2867. а(ху'+2у) =хду'. 2868. хг!у — дух=у'йх. 2869. (х' — !)н ду+(х'+ Зху)'х' — 1) г!х=О. 2870. 1и х — ~ — у=а. ед ех 287!. $ ал+х'~!д+(х+ у — Р а', х') их=О. 2872. хуу" — (х'+у') у'+ху=О. 2873.
у = хд' + —,, . е'-' ' 2874. (Зх'+ 2ху — у') с(х+ (х' — 2ху — Зу') Ну = О. 2875. 2ур ~ = Зре + 4у'. еу Найти решения уравнений при указанных начальных условиях: 2876. у'=" '; у=О при х=-1. 2877. е"- Ру' == 1; у = 1 и р и х =-! . 2878. у' с!8 х + у =- 2; у = 2 при х = О. 2879. ее (у' + 1) = 1; у =- О при х =- О. 2880. у' -', - у = соз х; у = — и р н х =- О. 2 288!. у' — 2у=- — х"; у= 4 при х=О.
2882. у' -л- д =- 2х; у =- — 1 и ри х = О. 2883. ху' =у; а) у=1 при х=1; б) у=О при х=О. 2884. ху'=у; а) у=1 при х=1; б) у=О при х=-О. 2885. 2хуу'+х' — у'=О; а) у=О при х=О; б) у=1 при х=О, в) у == О при х = 1. 2886. Найти кривую, проходящую через точку (О; 1), у которой подкасательная равна сумме координат тачки касания. 2887. Найти кривую, зная, чта сумма длин отрезков, атсекаемых касательной к ией на осях координат, постоянна и равна 2а. 2888. Сумма длин нормали и поднормали равна единице.
Найти уравнение кривой, если известно, что кривая проходит через начало координат. 2889*. Найти кривую, у которой угол, образованный касательной и радиусом-вектором точки касания, постоянен. 2890. Найти кривую, зная, что площадь области,заключенной между осями координат, этой кривой и ординатой любой точки на ней, равна кубу этой ординаты. 336 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕЙИЯ 1гл. 1х 2х или — дх = — Ж, !00+ т — дх=2сЖ, Это и есть искомое дифференциальное ураннение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
