demidovich-zad (832426), страница 46
Текст из файла (страница 46)
у * 2735. у' = 1+у'. 2736. у':== .—"У 2737. у' = х' + у'. 3'. Теорема К о ши. Если функция /(х, у) непрерывна в некоторой области (! (а < х < А, Ь < у < В) и имеет в этой области ограниченную производную )а(х, у), то через каждую точку (х„уч), принадлежащую (1, проходит одна и только одна интегральная кривая У=Ф(х) уравнения (1) ('р ("а) = уа). 4'. Метод ломаных Эйлера. Для приближенного построении интегральной кривой уравнении (!), проходящей через заданную точку Ма(х,, уч), йу , йх Учитывая, что у' = — и х'= †, дифференциальные уравнения (!) н (!') йх =йу * можно записать в симметрической форме Р(х, у) йх+!7 (х, у) йх=о, (2) !а) УРАВнениЯ с РАзделЯющимисЯ пеРеменными 319 агу кривую заменяют ломаной с вершинами М; (хн уг), где х;+,— — х;+Ьхп у;+г —— у;+Ьуь Ьх;=Ь (шаг процесса), ау!=а! (хп уг) (1=0, 1, 2, ...), П р имер 2.
Методом Эйлера для уравнения ху у 2 найти у(1), если у(0)=! ()г=0,1). Составляем таблицу: Итак, у(1)=1,248, Для сравнения приводим точное значение у(1) = г =е е 1,284. Методом Эйлера найти частные решения данных дифференциальных уравнений для указанных значений х: 2738. у'=у, у(0) =1; найти у(1) (8=0,1), 2739. у'=х+у, у(1)=1; найти у(2) (6=0,1). 2740. у'= — —,"„, у(0)=2; найти у(1) (Й=0,1). 2741. у'=у — —, у(0)=1; найти у(1) (6=0,2). 5 3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории 1'. Уравнения !-го порядка с разделяющимися переме и и ы м и.
Уравнением с разделяющимися лерсиениыми называется уравнение 1-го порядка вида у = ! (х) а йг) (1) нли Х (х) !' (у) ах+ Ха (х) Уг (у) ау= О. (1*) !гл. !х ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Разделив обе части уравнения (1) на у(у) и умножив на бх, пулем иметь — =1 (х) 0х. пу у (у) Отсюда, интегрируя, получим общий интеграл уравнения (1) в виде (2) Аналогично, разделив обе части уравнения (1') на Х,(х) )'(у) я проинтегри- ровав, получим общий интеграл уравнения (1') в виде (2') Если для некоторого значения у=у, мы имеем у(уз)=О, то функция у=уз янляется также, как непосредственно легко убедиться, решением уравнения (1). Аналогично прямые х=а и у=Ь будут интегральными криаымн уравнения (1'), если а н Ь является соответственно корнями уравнений Х,(х)=О и У(у)=О, на левые части которых приходилось делить исходное уравнение.
П р и м е р !. Решить уравнение у у х В частности, найти решение, удовлетворяющее начальному условию: у(ц= 2. Решение. Уравнение (3) можно записать в виде оу у Кх х Отсюда, разделяя переменные. будем иметь: бу бх у х н, следовательно, !п! у! = — 1п ! х)+1пСт, где произвольная постоянная 1пСт взята в логарифмическом виде. После потснцироваиия получим общее решение у= С (4) х ' где С = ш С;.
При делении на у мы могли потерять решение у=О, но последнее содержится в формуле (4) при С=О. Используя заданное начальное условие, получим С=2, и, следовательно, искомое частное решение есть 2 у= —, а 1 з) УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 32! 2'. Некоторые дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными, Дифференциальные ураанения аида у' -= ( (ах+ Ьу+ с) (Ь ~ О) прааодягся к уравнениям вида (1! прн помощи замены и=ах-(-Ьу.)-с, где и †нов искомая функция, 3'.
О рта го на л ь н ы е т р а е к то р и н — кривые, пересекающие линии данного семейстна Ф!х, у, а) =О (а — параметр) под прямым углом. Если г (х, у, у') = О есть дифференциальное уравнение семейства, то г" (х, у, — —,) =Π— дифференциальное уравнение ортогональных траекторий. Пример 2. Найти ортогопальные траектории семейства эллнпсоа ха+ 2уз= — ал (б) Р е ше н не, Дифференцируя обе части урзанения (5), находим дифференциальное уравнение семейства х+2уу' =-О.
! Отсюда, заменяя у' на — —,, получам дифференциальное уравнение ортого- у нальпых траекторий оу 2у х — —,=О нли у'= —. у х Интегрируя, будем иметь у=миха (семейстпо парабол) (рис. !Об). Рнс. 106. 4'. Состйилеине дифференциильинх уриииеиий, При составлении дифференциального урааяенпя з геометрических задачах часто может быть использован геометрический смысл производной как тангенса угла, образованного касательной к кривой с положительным направлением осн ОХ; зто позволяет во многих случаях сразу установить соотношения между орди- 11 Пад ред.
Б. П. Демидавнча 322 (гл. ~х ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАННЕНИЯ натой у искомой кривой, ее абсциссой х и у', т. е, получить дифференциальное уравнение. В других случаях (см. №№ 2783, 2890, 2898) используется геометрический смысл определенного интеграла квк площади криволинейной трапеции или длины дуги. При этом нсносредственно из условия задачи получается простейшее интегральное уравнение (поскольку искомая функция содержится под знаком интеграла), однако путем дифференцирования обеих его частей можно легко перейти к дифференциальному уравнению.
П р имер 3. Найти кривую, проходящую через точку (3; 2), для которой отрезок любой ее касательной, заключенный между коорднватными осями, делится пополам в точке касания. Р е шеи и е. Пусть М(х, у) есть середина касательной ЛВ, по условию являющаяся точкой касания (точки Л и  — зто точки пересечения касательной с осями Ог' и ОХ). В силу условия ОА=2у н ОВ=2х. Угловой коэффициент касательной к кривой в точке М (х, у) равен бу ОА у бх= ОВ х' Зто и есть дифференциальное уравнение искомой кривой. Преобразовав, получим: — -1- У=О х 'у и, следовательно, 1п 1х! -1-1п )у)=!п !С! или ху=С. Используя начальное условие, определим С=З 2=6.
Итак, искомая кривая есть гипербола ху=б. Решить дифференциальные уравнения: 2742. 16хя!и-'уг(х+соязхс!аут(у=-О. 2743. ху' — у =у'. 2744. хду' = 1 — х'. 2745. у — ху'=-а(1+хэу'). 2746. Зл" 1нуг(к+(1 — е*) яес'ус(у= О. 2747. у'15к=у.
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие ука. ванным начальным условиям: 2748. (1+ее) у.у'=е'; у=1 при х=О. 2749. (ху'+х)Ых+(х'у — у)с(у=О; у=1 при х=О. 2750. д'я!пх=у1пу; у=1 при х= — ', Решить дифференциальные уравнения, использовав замену переменных: 2751. у'=(х+у)'. 2752. у' = (8х+ 2у + 1)'. 2753. (2х+ Зу — 1) г(х+ (4к+ 6д — 5) с(д = О. 2754. (2х — у) г(к+(4х — 2у+3) с(у = О. В №№ 2755 и 2756 перейтн к полярным координатам: У -+р'— у 2756. (х'+ у') с(х — ху г(у = О.
ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ Г-ГО ПОРЯДКА 323 2757*. Найти кривую, у которой длина отрезка касательной равна расстоянию точки касания от начала координат. 2758. Найти кривую, у которой отрезок нормали в любой точке кривой, заключенный между осями координат, делится пополам в этой точке. 2759. Найти кривую, у которой подкасательная имеет постоянную длину а. 2760. Найти кривую, у которой подкасательная вдвое более абсциссы точки касания.
2761". Найти кривую, у которой абсцисса центра тяжести плоской фигуры, ограниченной осями координат, этой кривой и ординатой любой ее точки, равна а/» абсциссы этой точки. 2762. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3; 1), для которой отрезок касательной между точкой касания и осью ОХ делится пополам в точке пересечения с осью О)'. 2763. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (2; О), если отрезок касательной к кривой между точкой касания н осью 01' имеет постоянную длину 2. Найти ортогональные траектории данных семейств кривых (а †параме), построить семейства и их ортогональные траектории: 2764. х'+у'=а'.
2766. ху= а. й 4. Однородные диффереициальаые уравнения 1-го порядка 1'. Од н о р о д н ы е у р а в н е н и я. Дифференциальное уравнение Р(х, у)бх+г7 (х, у) ну=о (1) называется обнороднылг, если Р (х, у) и 17(х, у) — однородные функции оди. пакового измерения. Уравнение (1) может быть приведено к виду н при помощи подстановки и=хи, где и — новая неизвестная функция, преобразуется в уравнение с разделяющимися переменнымн. Можно также при. менять подстановку х=уи. П р имер 1. Найти общее решение уравнения у'=е +— и х Решение. Полагаеи у=их; тогда и+хи'=е'+и или г(х е аии= —. х 11» 324 1гл. тх ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С Интегрируя, получим и = — ! п !и ~ — ~, откуда С у= — х!и !и [ — [.
х 2'. Уравнения, пр и водящиеся к однородным. Если '=( ) а~ я+ Ь,у+ сг '1 аах г Ььу+ се / (2) получньг однородное дифференциальное уравнение относительно переменных и и е. Если О=-О, то, полагая в уравнении !2) а,х+Ьгу= и, получим урав- нение с разделяющимися переменными.
Проинтегрировать дифференциальные уравнения: 2768. д'= —" — 1. 2769. д = —— х 1-у 2770. (х — д)ддх — хзг(д=О. 2771. Для уравнения (х'+д')Нх — 2хддд=-О найти семейство интегральных кривых, а также выделить кривые, проходящие соответственно через точки (4; 0) н (1; 1). 2772. ддх+(2)г хд.— х) г(д= О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
