demidovich-zad (832426), страница 47
Текст из файла (страница 47)
2773. х дд — д дх == )г'х'+да г(х. 2774. (4ха+Зхд+да) дх+(4дь+Зхд+хь) г(д=-О. 2775. Найти частное решение уравнения (х' — Зд') г(х+ +2хдс(д=О из условия, что д=1 при х=2. Решить уравнения: 2776. (2х — д + 4) с(д + (х — 2д ', 5) дх =- О. 77. 27 .д= 2778 х+ 2" + ! 2х-)-4у —.3 ' 2779. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; О) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на оси 01', равен полярному радиусу точки касания. 2780"".
Какую форму следует придать зеркалу прожектора, чтобы лучи от точечного источника света отразились параллельным пучком? 2781. Найти уравнение кривой, у которой подкасательная равна среднему арифметическому координат точки касания. и Ь==~ ' ) ~О, то, полагая в уравнении 12) х=и4-а, у=и+9, где по!а! Ь,! )аа Ьь) стоянные и й 6 определяются нз системы уравнений ага+ Ьтй+ст=о, аьа+Ьей+са — — О, линииныи дрлвнвния )со порядкл 328 2782. Найти уравнение кривой, для которой длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, з любой точка кривой равна расстоянию этой точки от начала координат. 2783*. Найти уравнение кривой, для которой площадь области, заключенной между осью збсцнсс, кривой и двумя ордипатами, одна нз которых постоянная, а другая — переменная, равна отношению куба переменной ордппаты к сбответствующей абсциссе.
2784. Найти кривую, для которой отрезок на оси ординат, отсекаемый любой касательной, равен абсциссе точки касания. 8 8. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли 1'. Л и ней н ы е у р а в н е н и я. Дифференциальное уравнение вида у' + Р (х) у =- )7 (х) (1) 1.й степени относительно у и у' нэзывается линсйныл. Если функция (7(х) — О, то уравнение (1) принимает еид у'+ Р (х) д =- О (2) и извивается однородным линейным дифференциальным уравнением. В этом случае перел)енине разделяются и общее решение урзвнення (2) есть — 1 Р(к)лх у=Се (3) Для решения неоднородного линейного урзвнепия (!) применяем тзк называемый метод вариации произвольной постоянной; этот ме~од состоит в том, что сначала находим общее решение соответствующего однородного лвнейного уравнения, т.
е. соотношение (3). Затем, полагая в этом соотношении величину С функцией от х, ищем решение неоднорокного урзвнения (!) в виде (3). Для этого подстзвляем в урзвнение (!) д и у', определяемые нз (3), и иэ полученного дифференцизльного урзпнения определяем функцию С(х), Таким обрззом, общее решение неоднородного уравнения (!) получзем в виде -~ р(к)лх у=С(х) е П р и м е р !. Решить уравнение д' =- (К х. у+ соз х. (4) Р е ш е н и е.
Соответствующее однородное уравнение есть у' — !ах у=о. Решая его, получим: 1 у=С— соз х Считая С функцией от х, дифференцируя, находим: 1 йС 5)ПХ у= —. — -) — С. соз х йх сов' х 326 (гл. гх диффнрвнцилльиыв урлвнвния Подставляя у и у' в уравнение (4), получим: О ИС Мпх С 0С вЂ” ' — + — „С=!як — +сов х, или — =совах, соек их сов х созх ик откуда С (х) =~ созз х бх== — х+ — шп 2х+Сг, 1 ! 2 4 Следовательно, общее решение уравнения (4) имеет внд /1 1 1 у= ~ — х+ — зш 2х+ Сг) ° —. ~2 4 сов х' Для решения линейного уравнения (!) можно также применить подстановку у==ив, (6) где и и о — неизвестные функции от х. Тогда уравнение (1) примет внд (и'+ Р (х) и) в+ и'и = Я (х) .
(6) Если потребовать, чтобы и '+ Р (к) и = О, (7) то из (7) найдем и, затем из (6) найдем о, а следовательно, из (6) найдем у. 2'. У р а в н с н ив Б е р ну л л и. Уравнение 1-го порядка вида у'+ Р (х) у = Я (х) уи, у'= — у+х)' у. 4 х !Д Решение. Это — уравнение Бернулли (а = — ) . Полагая 2)' у =ив, получим; 4 и'о+о'и= — ио+х У ио нли о ~и' — — и) +Ми =х г' ии. к х (8) Для определения функции и потребуем выполнения соотношения 4 и' — — и=О х откуда Подставляя зто выражение в уравнение (8), получим: о'хе =к у' ока, где а Ф О н и ~ 1, называется уравнением Бернулли.
Оно приводится к ланЕйнону с поывщыо подстаиовки а=уз-и. Можно также непосредственно применять подстановку у==ив нли метод вариации произвольной постоянной. П р и и е р 2. Решить уравнение линвнныв уравнения 1-го порядка 327 $5! отсюда находим о: l! та о = ( — 1и 1х1+ С) ° (! 2 и, следовательно. общее решение получим в виде л ! ча а= ( — 1о1х(+ С) (~ 2 Найти общие интегралы уравнений: 2785. — — — =х. бд д Их х 2786. — + — = х'. — а 'бх х 2787Я (1 + у') с(х = О/Т+ ув з1п у — ху) с(у. 2788. у' с(х — (2ху + 3) с)у = О. Найти частные решения, удовлетворяющие указанным условиям: 2789.
ху'+у — е"=О; у=Ь при х==а. 2799. у' — н а — 1 — х=О; у=О при х=О. 1 — ха 2791. у' — у1пх= —; у=О при х=О. сов х' Найти общие решения уравнений: 2792. — а+ —" = — ху'. бх х 2793. 2ху — ~ — у'+х=О. ду ох 1 2794. у с(х + ( х — — х'у) с(у = О. 2 2795. Зх Иу = у (1+ х з1 п х — Зу' з1п х) дх. 2796.
Даны три частных решения у, уп у, линейного уравнения. Доказать, что выражение — "' ~сохраняетпостоянное знао — уь чение при любом х. Каков геометрический смысл этого результата? 2797. Найти кривые, для которых площадь треугольника, образованного осью ОХ, касательной и радиусам-вектором точки касания, постоянна. 2798. Найти уравнение кривой, у которой длина отрезка, отсекаемого касательной иа оси абсцисс, равна квадрату ординаты точки касания. 2799.
Найти уравнение кривой, у которои длина отрезка, отсекаемого касательной на оси ординат, равна поднормали. 2800. Найти уравнение кривой, у которой длина отрезка, отсекаемого касательной на оси ординат, пропорциональна квадрату ординаты точки касания. 328 !гл. !к ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2801. Найти уравнение кривой, для которой длина отрезка касательной равна расстоянию точки пересечения этой касательной с осью ОХ от точки М(0, а).
й 6. 'Уравнении в полных дифференциалах. Интегрируюв!Ий множитель 1'. Уравнения в полных дифференциалах. если для дпф. ференциального уравнения Р(х, у)йх+!2(х, у) йу=о (!) дР дв) выполнено равенство — = — —, то уравнение (1) может быть записано в ду дх ' виде йУ (х, у) =О и называется уролн~ нигм в полных дифференциилих. Общий интеграл уравнения (1) есть У(х, у)=-С. Функция У(х, у) определнется способом, указаняым в гл.
Н!, б 8, или по формуле У=~ (х,у)да+~0(х,,у)йу «л (см. гл. Н!1, $9). П р н м е р ! . Найти общий интеграл дифференциального уравнения (Зх'+ бхув) йх+ (бх'у+ 4уа) ду = О. Р е ш е н и е. Это — уравнение в д (Зхт+ Бхуе) д (бхлу +4уа) + =- 12ху и, ду д» дУ=О. Здесь полных дифференциалах, так как следовательно, уравнение имеет внд — =Зха+бхуа и — =Ох'у+4у'; дУ „ дУ дх ду отсюда У =- ~ (Зха+бхуе) йх+ср(у) =хл+Зхтув+ф(у).
Отсюда получаем, что функция р удовлетворяет уравнению д д ду дх — ( Р) = — (РО). Дифференцируя У по у, найдем —:=-бх'у+ ф' (у) =базу+4ув (по условию); ду отсюда ф'(У)=4Ул и Ф(У)==У4+Се. Окончательно полтчим У(х, У)=хт-1- + Зхаув-)-ул=Се, следовательно, хв — Зх'у'+ул=С есть искомый общин интеграл данного уравнения.
2'. Инте г р и р ующий м нож и тель. Если левая часть уравнения(!) не является полным дифференциалом и выполнены условия теоремы Коши, то существует функция р==р (х, у) (интегрирующий мнохсипыль) такая, что р (Р ах+ О йу) = йУ. (2) 829 $6! МРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ Интегрирующий множитель и легка находится в двух случаях: ! lдР дО'1 !) — !к — — — ) =Р(х), тогда р =р(х); О ~ду дх) ! г'дР аО'к 2) — !К вЂ” — — ) =Рг(у), тогда р=)г(у).
Р Кду дх2 уа к П р имер 2. Решить уравнение (аху+хеу+ — ) ах+(х'+у') ау=о. 3 ) уа ... ! /дР дОТ Решение. Здесь Ру Оку+к у+ —, О==ка+уе и — ! — — — ) =а З ' == О '(ау дх) 2» 4 ха уе 2х =1, следовательно, р==р(х). хт -т- уа д (РР) д (НО) оР дО ар Так как — = — или и — = р — фΠ— то ау дх ду дх дх др ! / дР аО 1 ( ! — = — ( — — — ) дх дх и !и р=х, р=е». ) р=Е '(ау дх,) Умножая уравнение на р —.— е", получим: уа к е" (зху ! х у+ — ) ах+е" (ха 1-у ) ау=-О 3,) — уравнепяе в полных дифференпиалак.
Проинтегрировав его, будем иметь общин гппеграл уе(х+з) — С Найти общие интегралы уравнений: 2802. (х+ у) е(х+(х+2у)к(у — О. 2803. (хе -т- у'+ 2.к) дх+ 2ху е(у = О. 2804. (х' — Зхуе+2) г(х — (Зх'у — да) е(у= О. 2805.
х е(х + у г(у = 2807. Йайти частный интеграл уравнения ~х+ е а ) е(х -+ е а (1 у ) г(у = О, удовлетворяющий начальному условию у(О) =-2. Репп2ть уравнения, допускающие шпегрпрующий множитель вида р=-р(х) нли р=р(у): 2808. (х+да)бх — 2хус(у=-О. 2809. у (! + ху) к(х — х 6(у = О. 2810. — 6(х+(уа — (пх) г(д=- О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
