demidovich-zad (832426), страница 43
Текст из файла (страница 43)
В концевых точках интервала сходвмости х=аш А' возможна кав сходимость, твк и расходнмость степенного ряда. Интервал сходимости определяют обычно с помощью прианаков Даламбера влн Коши, применяя их к ряду, членами которого явлвютсз абсолютные величины членов данного ряда (3). Применив к ряду абсолютных величин (са(+) с,((х — а(+... +(сл((х — а!л+.,„ признаки сходимости Коши и Даламбера, получим для радиуса сходнмоств степенного ряда (3) соответственно формулы )1= л н )1= Вш 1 ! сл Вщ ~Г(с,( л л слль Однако пользоваться ими следует весьма осторожно, так как, пределы, стоящие в правых частях этик формул, часто не существуют.
Тзк, например, если бесконечное множество коэффициентов сл обращается в нуль (зто, в частности, имеет место, если ряд содержит члены тольно с четными или только с нечетными степеннми (х — а)), то вольэоваться указанными формулзмн нельзя. В связи с этим рекомендуется прн определении интервала сходнмости применять признаки Даламбера мзн Коши непосредственно, как это сделано выше при исследовании ряда (2), не прибегая к общим формулам для радиуса сходнмости. Если а=х+ (у — комплексное переменное, то для степенного ряда се+от (з — а,)+с, (а — гэ)~+... +сл(з — ге)л+...
(4) 299 ФУНКНИОНАЛЬНЫП РЯДЫ членами которого являются модули членов данного ряда. Так, и!пример, с помощью признака Даламбера легко обнаружить, что круг сходимости ряда г+1 (г+1)о (г+ !)з (г+1)« определяется неравенством [а+11< 2 (достаточно повторить приведенные иа стр. 293 выкладки, служившие для определения интервала сходимости ряда (2), заменив лишь х на г). Центр круга сходимости находится з тачке г = — 1, а радиус В этого круга (радиус сходимости) равен 2. 3'. Ран номер н а я с ходи масть.
Функциональный ряд (1) сходится на некотором промежутке равномерно, если, каково бы нн было е > О, можно найти такое <У, не зависящее от х, что сри и > <У для всех х из данного промежутка имеет место неравенство [ Й«(х) [ < е, где )7«(х) — остаток данного ряда, Если 1/„(х)[о с (и=!, 2, ...) при ао х«Ь и числовой рид ~~ с и=! сходится, то функциональный ряд (1) сходится на отрезке [а, Ь[ абсолютно и равномерно (признак Вейерштрасса). Степенной ряд (3) сходится абсолютно н равномерно на всяком отрезке, лежащем внутри его интервала сходимости.
Степенной ряд (3)можно почлеано дифференцировать и интегрировать внутри его интервала сходимости (при [х — а [ < )г), т. е. если си+со(х — а)+со (х — а)о+... +с«(х — и)" +... =Г(х), (5) то для любого х из интервала сходимости ряда (3) имеем. со+ 2«о (х — и) + ... + лсл (х — и)и -! + ...
= 1' (х), « « « со<(х+ ~ с! (х — а) <(х+ ~ со(х — а)'<(х+... + ~ сл (х — и)" <(х+... «о «, оо Ю « сл +1 — — ) 7'(х) <(х + 3 (х — а)л+' — (хо — а)" +' !". и+1 «=О «4 (6) (7) (чнсло х, также принадлежит интервалу сходимости ряда (3)). При этом ряды (6) и (7) имеют тот же интервал сходимости, чта и ряд (3). Найти область сходимости ряда 2510. ~, — „.
2511. и=! 2512. ~~~ [ — 1)"+т —,„, . 2513. л«! и!и'' М ( 1)«+! и=! 5!п(2и — 1) х (2и — 1)о и=! (ел=а«+1Ьл го=хо+!уо) существует некоторый круг (круг схидилости) ! г — го [ < Й с центром в точке г = го, внутри которого ряд < ходится абсолютно; при [г — го! > <2 рнд расходится. и точках, лежащих на самой окружности круга схадимости, ряд (4) может кан сходиться, так н расходиться. Круг сходимостн обычно определяют с помощью признаков Даламбера или Коши, примененных к ряду [ со [+ [ с, [. ) г — го [+ [ с, 1. [ г — го Р+ ..
+ [ с„[ [ г — го [« -1-..., !гл. ч!и РЯДЫ 2515ии 2517. 2519. 2521. 2523. 2525. ~), х", Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходнмость на концах интервала сходимости: 2527,. 2526. 2529. 2531, 2530! 2533. 2532, 2534. 2535. 2537. 2536. 2539. 2538. 2541.
2540. п=1 2514.,~„2« а4п а,, п«О 2516. ~Х" ( — 1) -е-"1". «=О ~51~. ~" — „,',„. и=! 2520. л=! И л=! 2524п.~~~,' (Хи+ 2«хи ). к=! хи и О п=! л=! ( — 1)и(2л+])ихи, л=О ~~~, л!х". «=! ~( — "". Г '"" З~и~ л (Х)л «=О Ф «=1 Х 1 (2« — !)ки ' Е 2«-!- ! (л+ !)~хил «=ΠŠ— "„".. л=! л и=! и=! Е (Л + !)И Иии 2«+ ! Ф и=! Е%. л=! ~, 3" хп. л=О л=! ~, хи'. 301 ФУНК!(ИОНЛЛЬНЫЕ РЯДЫ $2! 2542** 2544* 2548 2550 2552 2556 2560 2562 Определить круг сходимости: Ф Ф 2564.
~~, 2«гп. 2565. ~, (1+и() г". л=О и=О л=! 2568. (1+2!)+(1+2!) (3+2!) г+... ... +(1+2!) (3+2!)... (2п+1+ 2!) ги+ .. 2569. 1+ —,+ . + ° ° ° + ° ! — (! — 0(! — 2!) ' ' ' (! — 0(! — 20 - (! — !Н) 2567. л=О « ~~! !2! хп! . п=! Е'— " и=! и (х — З)л и 5» л=! и и=! « ,'), и«(х+3)". п=! и (х — 2)" (2» — !) 2« ' Ю ' ° и! (х + З)п лл л=! ~ ! (и + !) )О (л + !) и (х -!- 2) "' ил л=. ! Х (2» — !)л (х+ !)п 2»-! и« л=! (Зл — 2) (х — З)и (л.)-!)' 2"+' »=О 2543». л=! 25~5. '„) ( — Цл- (;,,„" . и=! 2547. п=! Ф 2549.
и=! » 2551. 2».4» п=! ,~,,и ( 1) (Зл 2)п« п=! (х+ !)» х и (л-! !) )и'(л+ !) ' 1 и+! 2557. х'и ( — 1)л" «+!) )п(и+ !) 2559*.,5, (1+ — „) (х — 1)". ил! ОО 2561 ~~'. ( — 1)л и ! (х — 2)". 2563, ~ ( — 1)" !гл. ьчп 302 в яды -' ~('.')" 2571. Исходя из определения равномерной сходимостп, доказать, что ряд 1+ х+ х'+... + х" + .. не сходится равномерно в интервале ( — 1, 1), но сходится равнолсерно на всяколг отрезке, лежащем внутри этого интервала. Р е ш е н и е. Пользуясь формулой суммы геометрической прогрессии, получим нри )х)< 1 ха+3 Ав (х) = ха" э+хл+'+...
= —, 1 — х Возьмем лежащий внутри интервала ( — 1, 1) отрезок ( — 1+а, 1 — а), где а — сколь угодно малое положительное число. На этом отрсзне ) х(;,1 — а, ) 1 — х ) ) а н, следовательно, )Яв(х) 1~ Для того цтобы доказать равномерную сходимость данного ряда на отрезке [ — 1+а, ! — а), достаточно показать, что к любому е > О можно подобрать такое дс, зависящее только от е, что при всяком л > дс будет иметь место неравенство (ссэ(х)1 < е для всех х вз рассматриваемого отрезка.' (1 — а)" эс Взяв любое е > О, потребуем, чтобы < е; отсюда (1 — а) +' <еа, а (л-1-1) 1п (1 — а) < )п (еа), т.е. л+! > )п (ах) 1п (1 — сс) (так как 1п (1 — а) < 0) н 1п (еа) 1п (еа) л > — 1.
Положив, таким образом, Лс= — 1, мы убеж. 1п (! — а) )п (1 — а) даемся, что при л > дс, действительно, ) А' (х)1 < з для всех х из отрезка 1 — 1+а, 1 — а) и равномернан сходимость данного ряда на любом отрезке, лежащем внутри интервала ( — 1, 1), тем самым доказана. Что же касаетсн всего интервала ( — 1, 1), то ои содержит точки, сколь Ха+с уГОдип бЛИЗКИЕ К ТОЧКЕ Х= — 1, а таК КаК 1ннйл(Х) = ПШ вЂ” =СО, тО КаК х ! х ! 1 — х велико бы ни было л, найдутся точки х, для которых )сл(х) больше любого, сколь угодно большого числа. Следовательно, нельзя подобрать такое йС, чтобы при л > дс неравенство 1)1„(х)) < з имело место во всех точках внтервала ( — 1, 1), а зто и означает, что сходимость ряда в интервале ( — 1, 1) не является равномерной, 2572.
Исходя из определения равномерной сходнмостп, доказать, что: а) ряд х х' х" 1+!!+2!+...+,+... сходится равномерно во всяком конечном интервале; егнкционхльныа гады ЗОЗ б) ряд хи »4 хи ( !)и-1 хи» вЂ” — — + — —" ° + + ! 2 3 ' л сходится равномерно во всем интервале сходимости ( — 1, 1); в) ряд + 2" + 3" + ' ' ' + и» + ' ' ' ! ! ! сходится равномерно в интервале (1+5, оо), где б — любое положительное число; г) ряд (хи — х»)-(-(х» хи) ( (хи хи) 1 ...
-~-(хи» вЂ” х»+»)-~ сходится не только внутри интервала ( — 1, 1), но и на концах этого интервала, однако сходимость ряда в интервале ( — 1, 1)— неравномерная. Доказать равномерную сходимость функциональных рядов в указанных промежутках: 2573. ~~ †„. на отрезке [ †.1; Ц. »=1 2574. ~~~ †„ на всей числовой оси. и=! 2575. ~, ( — 1)»-! = на отрезке [О, Ц. р'и Применяя почленное дифференцирование и интегрирование, найти суммы рядов: х» хи хи 2576.
х+ 2 + 3 + ° ° ° + — „+ ° ° ° к" х» и х 2577. х — — + — — ° ° +( — 1)и ' + ° 2 3 Л х» хи Х»и 1 2578. х+ 3+ 3+'' +2» — !+ х* х» Х»и — ! 2579. х — — + — —. ° ° +( — 1)и "— + ° ° ° 3 3 2» — ! 2580. 1+ 2х+ Зх'+... + (и+ 1) хи+... 2581. 1 — Зх'+бх' — .. +( — 1)и '(2п — 1)х'" '+... 2582. 1 ° 2+2 Зх+3 4х'+... +п(п+1)хи !+... Найти суммы рядов: 2583. — + —, + — и+ + —. + ! 2 3 и х' хи х'и 2584.
х+ — + — + .. + + 3 9 ' 4и — 3 !гл. и<<! ряды 2585". 1 — — + — — + .. + + ° ( 1)а-» 3 3 Б Зэ 7 Зг '' (2л — !) 3""» 2586. 2 + 2э + 2з + ''' + 2<» + ' ! 3 5 2л — ! $ 3. Ряд Тейлора !'. Разложение функции в степенной ряд.
Если функция /(х) допускает в некоторой окрестности )х — а( < )< точки а разложение в степевиой ряд по степеням х — а, то этот ряд (рлд Тейлора) имеет вид / (х) = / (а) + /' (а) (х — а) + †,, (х — а)' + . , + — (х — а)н + ... (1) /' (а) , /<"»(а) При а=О ряд Тейлора называют также рядом Маклорена. Равенство (5 справедливо, если прн )х — а( < )! ос<лаю<жима член ряда Тейлора л )1н (х) =/ (х) — / (а)+ ~~», — (х — а)» 0 /<"! (а) ь=! при н — » ое, Для оценки остаточного члена можно пользоваться формулой (х !)н<-» )<»н(х)= — /<" +»! (а+6(х — а)1, где 0 < О < ! н (л+!)! (4 (4юрма Лагранжа). П р имер 1, Разложить функцию / (х) = с)< х в ряд по степеням х.
Р е ш е н и е. Находим производные данной функции / <х) = с)< х, /'(х)=з)<х, /" (х)=с)<х, /"'(х)=а)< х, ...; вообще /<н<(х)=ей х, если л— четное, и /<"»(х)=зйх, если л — нечетное. Полагая а=.О, получим /(О)= — 1, /'(0)=0, /'(0)=-1, /д/(0)=-О, ...; вообще /<"<(0)=1, если л — четное, ч /«(0)=0. если л — нечетное. Отсюда на основании (1) имеем: хв х< х<п сЬ х = 1+ — + — +... + — +... (3) Для определения интервала сходимости ряда (3) применим признак Даламбера. Имееи: Хан+ э «н! х' н»» ~(2л+2)! ' (2л)! ~ н н (2л+1) (2л )-2) при любом х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
