demidovich-zad (832426), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Найти момент инерции части боковой поверхности конуса г=ф'х'+у' [0(г - )т1 относительно оси 02. 2355. Применяя формулу Сток:а, преобразовать интегралы: а) ф (х' — уг) дх+ (у' — гх) ду-) (г' — ху) аг; с б) фуох+г~(у+х й. с Применяя формулу Стокса, найти данные интегралы и проверить результаты непосредственным вычислением: 2356. ф(у+г)с(х+(г+х)ду+(х+у)с(г, где С вЂ” окружность с х'+у'+г*=а', хту+г=О. 2357. ф (у — г) дх+ (г — х) ду+ (х — у) с(г, где С вЂ” эллипс с х +уа= 1, х+г=1. 230 кратные и кРиВОлинейные интегралы (гл. чн 2358. фхг(х+(х+у) г(у+(х+у+г) г(г, где С вЂ” кривая с х=ав1п(, у=асов(, г=а(в1п (+сов!) (0(((2н]. 2359. уг узг(х+гзг(у+хат(г, где АВСА — контур ~АВС АЛСА с вершинами А (а; 0; 0), В(0; а; 0), С(0; 0; а).
2360. В каком случае криволинейный интеграл 1 = уг Р г(х + Я г(у+ В с(г с по любому замкнутому контуру С равен нулю? 9 (!. Формула Остроградского — Гаусса Если Я вЂ” замкнутая гладкая поверхность, ограничивающая область (г, н Р— -Р (х, у, г), 0= — () (х, р, г), Гт= — Л(х, у, г) — функции, непрерывные вместе со своими частными производными 1-го порядка в замкнутой области (г, то имеет место формула Остроградского — Гаусса Д(Р сова+Ясов()+)тсоз у)сБ=Щ ~ — + — + — ) дхбудг, в (ч) где созп, совр, сову — направляющие косинусы внешней нормали к поверх- ности Я. Применяя формулу Остроградского — Гаусса, преобразовать следующие поверхностные интегралы по замкнутым поверх- вестям Я, ограничивающим области у'(сова, сов(), сову — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности В).
236!. ~ ~ ху1(хе(у+угс(ус(г+гхс(гг(х. 2362. )) хзс(ус(г+узг(гг(х+гзс(хс(у. 2363 а х сова+Усов ()+ г соз 7 с(5 )Гхз+ уз+ гз 2364. Д(д„созга+ — сов))+-~-;сову) с(3. С помощью формулы Остроградского — Гаусса вычислить следующие поверхностные интегралы: 2365.
) ) х'г(ус(а+у*1(гг(х+гзг(хг(у, где  — внешняя сторона поверхности куба 0<х(а, О<у<а, 0<я<а. 281 ЗЛЕМЕИТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 1 ! 21 2366. )) хс(ус(а+ус(гс(х+гс(хс(у, где 5 — наружная сторона пирамиды, ограниченной поверхностями х+у+г= а, х= О, у — -О, г=О. 2367. ~~ хас(ус(г-( уас(гс(х+гзс(хс(у, где 5 — внешняя сторона сферы х'+у'+г*=а'.
2368. )) (хзсоза+угсоз(у+гасозу)с(5, где 5 — внешняя полная поверхность конуса —;,,+у" — —,',. = [ ~ ~~1. 2369. Доказать, что если 5 — замкнутая поверхность и 1— любое постоянное направление, то ~~сов(п, 1)с(5=-0, где гг — внешняя Нормаль к поверхности 5. 2376. Доказать, что Объем тела (l, ограниченного поверхностью 5, равен у = — ) ) (хсОз я+у соя(а+я с057) с(5, 1 Р = з,) где сова, соз(), созу — направляющие косинусы внешней нор- мали к поверхности 5. 2 12. Элементы теории поля 1'. Ока л яр но е и нектарное поля. Скаллрное поле определяется скалярной функцией тачки и=с" (Р)=)(х, у, г), где Р(х, у, г) — точка пространстса Г!оаерхности )(х, у, г)=С, где С=-сопя(, называются ловерхноаааии уровня скалярного паля.
Во мирное иоле определяется векторной функцией точки а =а (Р) =. а (г), где Р—.Пщьа оространстпа и г — — х1+уу+ай — раднус-нектар точки Р. В кооРдинатп ~й фоРме а=-ах(+ал(+о,й, где ах=ах(х, У, г), ач — аи(х, Ч, г), л. =а, (и у, г) — проекцйн вектора а на коордннзтныо оси. Векторные,шнии (вливали ликии, линии тока) векторного поля находятся из системы дифферснапальпых ураснений дх ду дг ах ак аг Скэ-лрное или нектарное поле, не зависящее от времени О назыпается плачионионьыь а зависящее от нремеин †цес~(ионарным. 2'.
Г р а дне нт. Вектор дУ , дУ , дУ й ад У (Р) —.— — 1;- — У+ — й=-РУ, дх ' ду дг 282 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕИН'ЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1ГЛ. Ч!1 где у =1 — +/ — +й — — оператор Гамильтона (падла), называетсв градид д д дх ду дг гитам поля 0=)(Р) в данной точке Р (ср. гл. 71, 4 б). Градиент направлен по нормали н к поверхности уровня в точке Р в сторону возрастания функции 1Г н имеет длину, равную Если направленне задано еднннчным вектором 1(сова, соз(), сову), то ди дгт дГГ д1à — =утай У 1=угаде(Г= — соз а+ — соз()+ — соз у дг ' дх ду дг (проиэввднал функции (1 ло направлению 1). 3'.
Днверген цн я м вихрь. Дивгргмнцигй векторного поля а(Р) = дах даз дав =а„1+а /+а й называется скаляр б(чд= — "+ — + — ва ра. в в дх ду дг Вихрем векторного поля а(Р) =а 1+аз(+а й называется вектор 4'. Поток вектора. Паюсном вектооного поля д(Р) через поверхность 5 в сторону, определяемую единичным вехтором вормалн и (соз а, соз (), сову) к поверхности 5, называется ннтеграл ~ ~ ад йЯ = ~ ~ ан "йЯ = ~ ~ (ах сов а+ ав соз р+ а, соз у) йЯ. Если Я вЂ” замкнутая поверхность, ограничивагощая область У, а д — единичный вектор внешней нормали к поверхности Я, го справедлива формула Осюроградского — Гаусса, которая в векторной форме имеет внд а йЯ=) ~) б(чдйУ.
(Чг б'. Цнркуляцяя вектора; работа поля. Линейный интеграл от вектора а по крнвой С определяется формулой ~ дйг= ~ а, да= ~ а„ах+а„йу+ах йг С С н представляет собой рабошу паля д вдоль кривой С (ав — проенцня вектора а па касательную к С). Если кривая С вЂ” замкнутая, то линейный интеграл (1) называется циркуляцией векторного поля а вдоль контура С.
' Если замкнутая крнвая С ограничивает двустороннюю поверхность Я, то справедлива формула Сюокса, которая в векторной форме имеет вид ф а йг = ~ ~ д го1 а й5 = ( ) (гог а)„й5, С Б л где и — вектор нормали к понерхностн Я, направление которого должно быть выбрано так, чтобы для наблюдателя, смотргщего по направлению д, обход 283 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ $ 121 контура С совершался в правой системе координат против хода часовой стрелки.
6'. П о т е н ц и а л ь н о е н с о л е н о и д а л ь н о е п о л я, Векторное поле а (г) называется латенциааьчыл, если а=йгаб У, где У =)(г) — скалярная функция (потенциал поля). Для потенциальности поля а, заданного в односвязной области, необходимо и достаточно, чтобы оно было беэвихрввым, т. е. чтобы го1 а=о. В атом случае существует потенциал У, определяемый из уравнения г(У = пх г(к+ аз г(у+и, г(г. Если потенциал У вЂ” однозначная функция, то ~ маг=У(В) — У(А): ла в частности, циркуляция вектора а равна нулю: фа',дг=о. а Векторное поле а(г) называется солвлоидпльлым, если в каждой точке поля гит а=о; в зтои случае ноток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю.
Если поле является одновременно потенциальным и соленоидальным, то б1т (ягаб У)=- О и потенциальная функция У является гармонической, т. е. дгу азу дэу удовлетворяет уравненшо Лапласа — + — + — =О, илн АУ=О, где дхь дуз дгь ьм дэ дт а= та= — з+ — + — „-оператор Лапласа, дхз дуе дгз 2371. Определить поверхности уровня скалярного поля э-~~1, г -утгтг'~- *.к гггг г*ю гг поля 0 =. го (р), где р = Ух'+ сэр 2372.
Определить поверхности уровня скалярного поля и= з(п *. у' ха+уз 2373. Показать, что векторными линиями векторного поля а((г) =С, ГДЕ С вЂ” ПоетОЯННЫй ВЕКТОР, ЯВЛЯЮТСЯ ПРЯМЫЕ, ПаРаЛ- лельные вектору с. 2374. Найти векторные линии поля а= — оту1+огх/, где оз— постоянная. 2375. Вывести формулы: а) йгаг((С,У+СУ)=С,дгайУ+С,дгайУ, где С, и С,— постоянные; б) йгаг( (() У) = У ягаг) У+ У ягаг( У; в) нгаг) ((г'2) = 2У йгаг) (7; 1 г У ') уйгадУ вЂ” У агам у г) йгаг) (т — ) =* д) Пгас( р((,))= р'(11)нгаг(У. 2376. Найти величину и направление градиента поля (7 =х' + +дэ+гз — Зхуг в точке А(2; 1; 1).
Определить, в каких точках 284 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ !ГЛ. Чп градиент поля перпендикулярен к оси ОЯ и в каких точках равен нулю. 2377. Вычислить пгабУ, если У равно соответственно; а) г, б) г"-, в) —, г) ~(г) (г=)/х*+у'+г'). 2378. Найти градиент скалярного поля У = сг, где с — постоянный вектор. Каковы будут поверхности уровня этого поля и как опи расположены относительно вектора су х" у' г' 2379. Найти производную функции У = —,+ — „, + —, в данной точке Р(х, у, г) в направлении радиуса-вектора г этой точки. В каком случае эта производная будет равна величине градиента? 2380.
Найти производную функции У = — в направлении ! г ! (сов с!, сов(1, соз у). В каком случае эта производная равна нулю) 2381. Вывести формулы: а) б)Р(С,а,+С,а,)=С,бра,+С,б(ча„где С, и С,— постоянные; б) йч(Ус)=-дгадУ с, где с — постоянный вектор; в) б)Р (Уа) = афтаб У а+ У б!ч а. 2382. Вычислить д(ч !! — !. ! г'! ~ ) 2383. Найти б!ч а для центрального векторного поля а(Р) = =- Г" (г) —, где г=~/х'+у'+г'. 2384. Вывести формулы: а) го1(С,а,+С,а,) =С,го(а,+С,го1а„где С, и С,— постоянные; б) го1 (Ус) = йгад У х с, где с — постоянный вектор; в) го1(Уа) =агадУ ма+У го1а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
