demidovich-zad (832426), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Вычислить еее (2+У+7+ ))1 (У) где уг — область интегрирования, ограниченная координатными плоскостями и плоскостью х+у+ г == 1. 261 ТРОИНЫЕ ННТГГРАЛЫ ( 7! 2249. Вычислить ~ ~ ~ (х+у+ г)' (1х(1у(1г, где У вЂ” общая часть параболоида 2аг)х'+у' и шара х'+у'+ +гг (Заг. 2250. Вычислить ))) гг((х(1у(1г, где 17 — общая часть шаров х'+у'+г': Яг и хг+уг+гг(2Кг.
2251. Вычислить ~ ~ ~ г (1х ду (1г, где 1' — область, ограниченная плоскостью г=О и верхней полохг уг г' виной эллипсоида —, + — + — = 1. аг а' с' 2252. Вычислить хг уг гг где 17 †внутреннос зллипсоида — + — + — = 1. аг Ьг сг 2253. Вычислить ) ) ) г ((х (1у ()г, (Р) ))г где 17 — область, ограниченная конусом г'= —., 1хг+дг) и пло((г скостью г=й. 2254. Переходя к цилиндрическим координатам, вычислить ) ) ) (1х Йд (1г, о') где 17 — область, ограниченная поверхностями хг+уг+ гг = 2Яг, хг--, 'у'=гг и содержащая точку 10, О, 1().
2255. Вычислить г Игх-* а ~ (1х ~ (1у ~ г 1)схг+у'(1г, а о преобразовав его предварительно к цилиндрическим координатам. 262 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ кгл. Чп 2256. Вычислить хк Ухгк-л~ Уа7~-д~-у~ ) бх ~ с(у ~ дг, -У~кх-х' о преобразовав его предварительно к цилиндрическим координатам. 2257. Вычислить и У~Р-~~ Уя'-к -К ( бх ( Иу ( (х'+ у') с(г, Я Уяа кй 0 преобразовав его предварительна к сферическим координатам. 2258. Перейдя к сферическим координатам, вычислить интеграл ~ ~ ~ 1/'х'+ у'+ гк с!х буЫг, (ю где»' — шар х'+ук+г'(х.
В, Вычисление объемов с помощью тройных интегралов 2259. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями у'= 4а' — Зих, у'= их, г= ~ й. 2260ь". Вычислить объем части цилиндра «к+ у' = 2их, содержащейся между параболаидом «к+у~ =2иг и плоскостью ХО»'. 226»ь. Вычислить объем тела, ограниченного сферой х' +у'+ + г'=и' и конусом г'=х'+у' (внешнего па отношению к конусу). 2262Ь. Вычислить объем тела, ограниченного сферой х'+у'+ +г' = 4 и параболоидом х'+у'= Зг (внутреннего по отношению к параболаиду).
2263. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью ХО»к, цилиндром хк+у*=их и сферой х'+у'+г'=и' (внутреннего по отношению к цилиндру). 2264. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом ук хк — + —,=2 — и плоскостью «=и. Ьк ск а 2264.1. Найти объем тела, ограниченного поверхностью ( хк ух хк тк хх Рк гк — + — + — ' = — +-т —. Ьк ск ак Ь 2264.2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями хк Ек хк хк ук хк ак + Ьк + кк ~ а + Ьк (г) О). 263 1 а! НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В. Приложения тройных интегралов к механике и физике 2265. Найти массу М прямоугольного параллелепипеда 0 =х(а, 0 =у(Ь, 0(г<с, если плотность в точке (х, у, г) есть р(х, у, г)=х+у+г.
2266. Из октанта шара ха+у«+ге(са, х)0, у --О, г - 0 вырезано тело ОАВС, ограниченное координатными плоскостямн и плоскостью — + ~~ =1 (а(с, Ь(с) (рис. 100). Найти массу этого тела, если плотность его в каждой точке (х, у, г) равна аппликате этой точки. 2267*. В теле, имеющем форму полушара ха+у«+ге~а», г>0, плотность с изменяется пропорционально расстоянию точки от центра.
Найти центр тяжести д этого тела. ' а )г 2268. Найти центр тяжести тела, ог- . раниченного параболоидом у' +2г' = 4х и плоскостью х= 2. х 2269*. Найти момент инерции круг- Рнс. !00. лого цилиндра, высота которого й и радиус основания а, относительно оси, служащей диаметром основания цилиндра. 2270». Найти момент инерции круглого конуса, высота которого й, радиус основания а и плотность Р, относительно диаметра основания. 227!"». Найти силу притяжения, оказываемого однородным конусом высоты й с углом а при нершине (в осевом сечении) на материальную точку, содержащую единицу массы и расположенную в его вершине. 2272**.
Показать, что сила притяжения, действующая со стороны одного шара па внешнюю материальную точку, не изменится, если всю массу шара сосредоточить в его центре. й 8. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Несобственные кратные интегралы !'. Днфференпнронапне по параметру. Прн некоторых ограпнченняк *), налагаемых на функпнн 1(х, а), 1„(х, и) н на соответстьующне несобственные интегралы, нмеет место правило Лейбница « м г — З! 1(х, а) ах=) 1«(к, а) йх.
и'а,) « а *) Ом. Г. М. Фихтенгольц, Курс пнфферевцнального н нвтеграаь- ного исчисления, т. 11, гл. Х1Ч, $ 3, и. 520, «Наукаа, !970. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1ГЛ. УИ 264 Пример 1. С помощью дифференцирования по параметру вычислить ьь -ахь -Ихь дх (а>О, () >О). а Решение. Пусть ьь кхь Ихь дх=-Р(а, (3). о Тогда ьь ьь о о Отсюда Р(а, (1)= — — (па+С(()). Чтобы найти С((1), полагаем в последнем 1 2 1 равенстве а=(). Имеем 0= — — !и()+С())).
2 ! Отсюда С(()) = — )п (). Следовательно, 2 Р(а, ()) = — — 1па+ — !п()= — !п —. 1 1 1 (1 2 2 2 сь' 2'. Несобственные двойные интегралы. а) Случай бе с конечной области. Если функция Г(х, И) непрерывна в неограниченной облзсти 5, то полагают: ~ ~ /(х, у) дхду= Пш ~~ )(х, у)дхду, (3) о л $~ У(х, у) дхдр= 1нп ~ Г! /(х, И) дхду, (з) (з:) (2) где 5е — область, получаемая из 5 путем удаления малой области диаметра е, содержащей точку Р, В слтчае существования предела (2), не зависящего от вида удаляемых из области 5 малых областей, рассматриваемый несобственный интеграл называется сходящимся, а в противном случае — расходящимся.
тле а — конечная область, целиком лежащая в 5, причем о — ь 5 означает, что мы расширвеи область о по произвольному закону так, чтобы в нее вошла и осталась в ней любая точка облести 5. Если предел в правой части существует и не зависит от выбора области о, то соответствующий несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходящимся. Если подынтегрзльиая функция )(х, д) неотрицательна ()(х, у)=«0), то для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы предел в правой части равенства (1) существовал хотя бы для одной системы областей о, исчерпывающих область 5. б) Случай разрывной функции. Если функция )(х, у) непрерывна в ограниченной замкнутой области 5 всюду, за исключением точки Р (а; Ь), то полагают: 1 а) НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Если 7(х, у)~0, то предел в правой части равенства (2) не зависит от вида удаляемых из области 5 областей; в частности, в качестве таких областей можно брать яруги радиуса — с центром в точке Р.
2 Понятие несобственных днойных интегралов легко переносится па случай тройных интегралов. П р и и е р 2. Исследовать на сходнмость дх ду д (1+хе-Г-у')Е' (з! (3) где я — вся плоскость ХО)г. Р е гоеи не. Пусть а — круг радиуса р с центром в начале коордонат. Переходя к полярным коордннзтам, прп Р та 1 имеем: гя р ' =Б -,"."7,"=~" ~ '-":,= !о! о О ! (1+,2)г-е!о и дф= — Н1+ре) -е-1!.
2 1 — Р (о 1 — Р О ! (Х) == ~ Е-ха'С(у (Х, 0). 2274. Доказать, что функция х!" 1г) и= ( —,,' —,Г(г хг !у. г)г удовлетворяет уравнению Лапласа деи дги — + — ' =-О. дха ду' 2275. преобразование лапласа е'()2) для функции ((1) определяется формулой х (р) =- ~ е ег 1(1) Ж о Если р < 1, то 1)пг 7(о)= 1пп У(о)=со и интеграл расходится. Если >ке о 5 о а р > (,то Игп I (о)=- — и интеграл сходится. При р=-1 имеем 1(о) о о Р гдг дф ) —,,=и !п (1+р'); 1!пг /(о) = со, т. е, интеграл расходится. ,)!(ге и о о Таким образом, интеграл (3) сходится при Р > !. 2273. Найти 7'(х), если 266 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1ГЛ.
Чн Найти Р(р), если: а) 7(1)=1; 6) 7(1)=е ', в) 1Я=В1пр1; г) ~(1) =соз61. 2276. Пользуясь формулой 1 х" 1дх= — (и> 0), 1 о вычислить интеграл 1 х"-1 1п х 6х. а 2277о. Пользуясь формулой е-Р1 61 = — (р > О), о р вычислить интеграл ) (ае Р11Ц. а Применяя дифференцирование по параметру, вычислить следующие интегралы: З 2278. ~ „" а(х (са>0, 6> 0). -ох 2279. ') „В1птхдх (а>0, р>0). а ',1 х(1-~-х') а 1 а 2282. ) е-"х ~ дх (а О). о Вычислить следующие несобственные интегралы: 2283. ) дх)е 1х+а1йу. а о 1 а* х 2284.
~ду~ еа дх. о о 287 5 э1 коиволинняные интегралы 2285. ~~ —... где 5 — область, определяемая неравенстр )/х)(у (а) вами х) 1„у х'. вввв*. ]в*)~ ( >ю). о о 2287. Интеграл Эйлера — Пуассона, определяемый формулой в /=))е-" (]х, может быть записан также в виде /= ']е-г'(]у. о о Перемножая эти формулы и переходя затем к полярным координатам, вычислить /. 2288. Вычислить ~ с(х ~(]у ~ (/г (х'-)-ув ~ г'-[-1)в ' о о о Исследовать на сходнмость несобственные двойные интегралы: 2289**. 11 1п У х]-ув((х((у, где Я вЂ” круг ха+у»(1. (5) )(х )(у 2290.
~ в в „, где 5 — область, определяемая неравен(з) ством х*+у*) 1 («внешность» круга). 2291*. 11, е в, где Я вЂ” квадрат ~х)(1, ]у](1. Эв (» — р)в 2292. Я (, , , „, где У вЂ облас, определяемая нераЕх в)р )(г (х" -, 'яв -)- г в) и ' (.) венством х*+у'+еэ) 1 («внешность» шара). 5 9.
Криволинейные интегралы 1'. Криволинейные интегралы первого' типа, Пусть /(х, у) — непрерывная функция и у=ф (х) [о~» «Ь] — уравнение неко)орой гладкой кривой С. Построим систему точек М;(хь уг) ()'= О, 1, 2, ..., л), раэбиваюп(их криную С на элементарные дуги Мг (Мь и составим интегральяую сумму За = ~а/(х(. У() Ьа(, где Ьг! — длина дуги Мг «М(.
Предел этой суммы при (=) и- оо н тах Ьаг — О называется криволинейным инюегролом лара«го мила и Кп) ',в /(хо ГН) Ьа;=~ /(х, р)ог л вавхев» О ! 268 1гл. Рн КРАтные и кРВВОлинейные интегРАлы (йв — дифференциал дуги) н вычнсляетсн по формуле ~ 1 (х, у) г(5 = ~ 1 (х, ф (х)) )г 1+(ф' (х))а бх, С в В случае параметрического задания кривой С: х=ф (1), у=ф(1) [а~(щр[ имеем. ~ У (х. у) йв= ~ ) Ор(1), ф(1))У фм(1)+Ф'(1) бгс а Рассматривают также криволинейные интегралы первого типа от функцпи трех переменных 1 (х, у, г), взятые по пространственной кривой, которые вычисляются аналогично. Крнволннейный интеграл 1.го у тяпа яг зависит вт исярввлгкия лущи интегрирования; если подынтегральную функцию 1 интерпретировать как В линейную плотность кривой интеграции С, то этот интеграл представляет гобой массу кринга С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
