demidovich-zad (832426), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Деивдсвввв оынкцни нескольких переменных (гл. ыг хождения которой требуется минимум времени, вывести закон преломленыя светового луча. 2051. Пользуясь чпринципом Фермаз, вывести закон отражения светового луча от плоскости в однородной среде (рис. 73). 2052*. Если в электрической цепи, имеющей сопротивление )с, течет ток 1, то количество тепла, выделяющееся в единицу времени, пропорционально 1в)т, Определить, как следует разветвнть ток 1 иа токи 1„1„1, при помощи трех проводов, сопротивления которых )то А'„Я„чтобы выделение тепла было наименьшим. $15, Особые точки плоских кривых 1'. Оы редел еыле особой точ кы. ТочквМ(ив, у ) плоской кривой 1(л, д) =0 ыввыввется особой мочкой. если ее коордыызты одыовремеыыо удовлетворяют трем уравнениям: 1(лд ув)=0 1 (хв ув)=0 1 (хв ув) О, 2'.
Основные тыны особых точек. Пусть в особой точке В((ль уй нреывюдные 2-го порядке А =1 (кв„ув), В=/ (ле, ув), 1„'„( уз) ые все равны нуля» я а= АС вЂ” Вв, воглв: з) еслы Л > О, то М вЂ” изолиреааылал ягоога (рыс. 74), б) если а < О, то М вЂ” улгл (двойная шоига) (рыс. 75»; в) еслн Ь=О, то М вЂ” ылы глотка возлрама 1-го рода (рыс.
76) нлы 2-го рода (рве. 77), взн извлирозаняая вгочыа, ылы гасчка еаиелрикосиеаеивл (рыс. 78). и Рнс. 74. Рнс. 75. Рнс. 76. Пры решенны задач етого рззделз предползгвется обяззтельыым построеане крывык. Прныер 1. Покзззть, что кркввя ре итв+лв ымсст: узел, если а>0; ыволврозеыыуы еочыу. еслы а < О; точку вевврзте 1-ге реда, еслы а=О. 227 осовыв точки плоских кривых Реш е вне. Здесь 1(х, у) =алз+ха — уа. Найдем частные производные и приравняем их нулю /' (х, у) = гах + Зха = О> )„'(х, у) — — 2у=О. Эта система имеет два решения: О(0; 0) н 1т'( — га/3; 0», ио координата точки д> не удовлетворяют уравнению данной кривой. Значит, имеется едияственная особая точка О (О; О).
Рнс. 77. Рис. 78. Найдем вторые производные н ня значения в точке О: /"„(х, у) =2а+ба, А = 2а, )»„ (х, у) = О, В = О, )аа(х. У) = — г, С= — 2 б=АС вЂ” Ва= — 4а. Следовательно, если а > О. то б> < 0 н точка Π†уз (рис. 79»; если а < О, то Ь > 0 и точка О-изолированная точка (рнс. 60); Рис. 81. Рне. 80. Рис. 79 если а=О, то Ь=О. Уравнение кривой в атом случае будет уй=х' или у= ш )> ха, где и~01 кривая симметрична относительно оси ОХ, являющейся касательной.
Следовательно, точка М вЂ” точка возврата 1-го рода (рис. 81). (ГЛ. Ч1 226 аункции нескольких переменных Выяснить характер особых точек кривых: 2053. у'= — х'+х', 2054. (у — х')' = х'. 2055. а'у' = а'х' — х'. 2056. х'у' — х' — у' = О. 2057. я*+у' — 3аху=О (декартов лист). 2056. у'(а — х) =х' (циссоида). 2050.
(х'+ у')' = а' (х' — у') (лемниската). 2060. (а+ х)у' = (а — х)х' (строфоида). 2061. (х'+ у') (х — а)' = Ь'х' (а > О, Ь > О) (конхоида). Рас- смотреть три случая: !) а > Ь, 2) а=Ь, 3) а<Ь. 2062. Выяснить изменение характера особой точки кривой у*=(х — а) (х — Ь)(х — с) в зависимости от значенкй а, Ь, с (а(Ь~с вещественны). 6 16. Огибающая 1'.
Определение о г и баю щей. Огибающей селееогыо нлажих нри. лих называется криваи (или совокупность нескольких кривых), которая ка. сается всех линий данного семейства, причем в каждой своей точке касается какой-нибудь линни рассматриваемого семейства. 2'. Уравнения огибающей. Если зависнщее от одного переменного параметра а семейство кривых 1(х, у, а) =О имеет огибающую, то параметрнчесяие уравнения последней определяются из системы уравнений 1(х, у, а) =О, (;.
1'(х, у, а)=0: Исключая из системы (1) параметр а, получим уравнение вида О (х, у) =О. Оледует отметить, что формально получаемая кривая (2) (твк называемая гдискримининшнон нриаонэ) наряду с огибающей, если таковая имеется, мо кет содержать геометрическое место особых точек данного семейства, не входящее в состав огибжощей этого семейства. При решении задач этого параграфа рекомендуется делать чертежи. П р имер. Найти огибающую семейства прямых хсова+уа(па — р=О (р=сопз1, р>0). Решение.
Данное семейство прямых зависит от параметра а. Составим систему уравнений (1) х соа а+ у з!п а — р = О, -х з(п а+ у соа а=О, $16« 229 огнвлюшля Решив систему относительно «и у, получим параметрнчеснне 'уравнения егибаюшей «=рсоэо, у=рэ~па. Возводя оба уравнения в квадрат и складывая, исключим параметр он «а+ у« = ра.
Таким образом, огибающей данного семейства прямых служит окружность радиуса р с центром в начале координат. Данное же семейство прямых есть семейство касательных н этой окружности (рис. З2). 2063. Найти огибающую семейства окружностей оа (х о)а + у«вЂ” 2 ' 2064. Найти огибающую семейства прямых р=йх+— Р 2й (й — параметр, р = сопя(). 2065. Найти огибающую семейства окружностей одинакового радиуса тс, центры которых находятся на оси ОХ. 2066.
Найти кривую, которую огибает отрезок длины (, когда его концы скользят по осям координат. Р . ЗЗ. Рис. 02. 206?. Найти огибающую семейства прямых, образующих с осями координат треугольник постоянной площади Я. 2068. Найти огибающую эллипсов постоянной площади Я, оси симметрии которых совпадают. 2069. Исследовать характер «дискриыинантных кривых» се- мейств следующих линий (С вЂ” параметр): а) кубических парабол у=(х — С)', б) полукубических парабол р«=(х — С)«; в) парабол Нейля ра=(я — С)', г) строфоид (а+х)(у — С)а=х«(а — х). 20?О.
Уравнение траектории движения снаряда, выпущен- ного из точки О с начальной скоростью о, под углом а к 230 (гл. ис аункции нескольких пеоеменных горизонту (без учета сопротивления воздуха), будет яке у =х(па†Принимая угол а за параметр, найти огибающую всех траекторий снаряда, расположенных в той же вертикальной плоскости («парабола безапаспостиэ) (рнс.
83). й 17. Длина дуги пространственной кривой ди4Сдедеициак дуги пространственной кривой в'примоугоаьнмк декартовмк координатах раееы г - «тккуветР, где х, у, к — текущие коордииатм точки кривой. Если к=х(0, в=(с(с), а=а(с) — параметрические урааыении пространственной кривой, то даыыа дугы участка ее от С=с« до С=с, равна с. ) с~(в) «(и) «(и) « $ В задачах 2071 †20 найти длину дуги кривой: Ясз 207!.
х=(, у= с«, г= — от 1=0 до (=2. 2072. х=2соз(, у=2з(п(, г = — „( от (=О до (=и. 3 2073. х=ессоз(, у=все!пу, г=е'от «=Ода произвольного(. х' х' 2074. у= —, г= — от х=0 до х=б, 2075, хе =Зу, 2ху = 9г от точки О (О; О; О) до точки М (3; 3; 2). 2070. у=аагсз(п —, г= — 1и — „от точки 0(О; О; О).
до х а а+к точки М (х„у„ге). 2077. Полон(ение точки для любого момента ((г >О) определяется уравнениями х=2(, у=1п(, г=Р. Найти среднюю скорость движения между моментами (г -— 1 и 1,=10, 231 е Се1 виктор-эункции склляриого лргммиитл 5 18. Вектор-функции скалярного аргумента 1'. Производная вектор-функции скалярного аргуме н та. Вектор-функция а=а(С) может быть определена путем задания трех скалярных функций о„(С), ое (С) и ое (С) — ее проекций на координатные оси: а=о„(с) 1+се (с)л+о (с) й. Производная вектор-функции а=а(С) по скалярному аргументу С есть новая вектор-функция, определяемая равенством да .
а (с+ лс) — а (с) до„(с) "ле Р) до, (с) ,и лс' ЛС дС +,и еч ЛС Модуль производной вектор-функция равен Конец переменного радиуса-вектора г=г(С) описывает в пространстве кривую г = к Р) 1+ у (С) У+ я (С) й называемую годоерофом вектора г'. дг Производная — представляет собой вектор касательной к годографу в сн соответствующей точке, причем где з †дли дуги годографа, отсчитываемая от некоторой начальной точки.
дг В частности, ~ — ~=1. де дг Если параметр С есть время, то — =я — еекюор асоросюи конца вектора г, дС бег до а — = — =ео — еекюор ускорения конца вектора г. сиа сИ 2'. Основные правила дифференцирования вектор- функцни скалярного аргумента. с(а дЬ дс 1) — (а+ Ь вЂ” с) = — + — —; си дС дС дС 1 д да 2) — (юа) =яс —, где и — постоянный скаляр) гИ си 3) — (ра)= — а+~р —, где ф(С) — скалярная фуинция от 11 д дф да <СС си си Да дЬ 4) — (аЬ) = — Ь+ —; ад си си С( С(а дЬ, 5) — (а Х Ь) = — Х Ь+ а Х вЂ” 1 ги дг ги 6) — а(т(С)1 = д Ыа дт, дф' И' 232 (гл. щ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 7) а — =О, если )а(=сонь(.
аа щ П р имер 1. Радиус-вектор движущейся точки в любой момент времена задан уравнением и 1 4(зУ+З)зй (1) Определить траекторию движения. скорость и ускорение движения Р е шеи не. Из уравнения (1) имеем: «=1, у= — 4(з, з=з(з. Исключав время 1, находим, что траектория двнженяя есть прямая линия « — 1 у в Π— 4 3 ' Из уравнения (1), дифференцируя, находим вектор скорости движении — = -8(л+61а о'и Д( в вектор ускорения движении озг — = — ()7'+ 6». Жз Скорость равна — )=~( — в~!,'-оз =ю1~ь ! дг Ж Отметим, чзо ускорение постоянно и равно —,~-)~'( — З)з+Е = )О.
1 —" и'тз 2078. Показать, что векторное уравнение г — гт=(г,— г,) (, где г, и г,— радиусы-векторы двух данных точек, является уравнением прямой. 2079. Определить, какие линни являются годографами сле- дующих вектор-функций: а) г = а(+ с; в) г = а сон (+ Ь з(п (; б) и=а('+Ь(; г) г=асй(+Ьз)1(, где а, Ь н с — постоянные векторы, причем векторы а н Ь перпендикулярны друг другу. 2080.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
