demidovich-zad (832426), страница 30
Текст из файла (страница 30)
1993. Показать, что все плоскости, касательные к конической поверхности г =х) ® в ее точке М (х„ у„ г,), где хеФ О, проходят через начало координат. 1994е. Найти проекции зллипсоида х'+ у'+ г' — ху — 1 = О на координатные плоскости. 1995.
Доказать, что нормаль в любой точке поверхности вращения г =1()~ха-)-уа) (~' ФО) пересекает ось вращения. 9 12. Формула Тейлора для функции нескольких переменных Пусть функпня Г" (х, у) имеет в окрестностн точки (а, Ь) непрерывные ' частные пронаводные нсех порядков до (л+ !).го включительно. Тогда в рассматрнваемой окрестности справедлива дюрмула Тейлора: /(х, у) =1(а, 6)+ — (Гх(а, Ь) (х — а)+/„(а, Ь)(у — ЬЦ+ ! !!! + — (!'хх(а, Ь) (х — а) +21 с(а, Ь) (х — а)(у — 6)+г'сс(а, Ь) (у — Ь)а)+, ° ! г д д1ч ...
+ — ~ (х — а) — + (у в ь) — 1 г (а, ь) + )св (х, у), (О и! 1 дх ду! 4 гг! шормулд теелора для эзнкцин несколькнк цеременнык 2[7 где ! Г д д то+к ((к(х, у)= — ~(х — о) — +(у — Ь) — 1 /[и+В(» — о). Ь+В(у — Ь)[ (о+1)! ~ дх дуг (О < В < 1). В других обозначениях /(х+Ь У ей)=/(» У)+у(й/к(х У)-'гй/к(к: У)1+ ! + — [йк/кк (х, у) + 2Ь й/„а (х, у) + йз/аз (х, у) [+, ° ! г д дтз г д д то+1 ...+ — ~й — +й — ) /(к, у)+ — (й — +й — ~ /(к+Вы,У+Ой), (2) л! ~ дх ду) ' (я+1)! (, дх ду/ нлн а/(к, у)й д/ ( . У) + + — д /(кн у)+...
+ — б /(к, у)+ — И.+г/(х+Вй, у+Вй). (3) 1, ! ! 2! '' ''' ' л1 ' (пр!]~ Частный случай формулы (!) прн о=о=о называется формулой Моккоргло. Лналогнчные формчлы справедливы длн функции трек и большего числа переменных. При мер. Найти приращение, получаемое функцией /(х, у)=хз — 2узч+Зку при переходе от значений х= 1, У=2 к значениям хг=-1+а, ус=2+а. Р е ш е н и е. Искомое приращение можно найти, применяя формулу (2). Вычислим предварительно последовательные частные производные н ик значения в данной точке (1; 2): Все дальнейшие производные тождественно равны нулю.
Подставляя нзйд:нные результаты в формулу (2), получим; й/(1;2) -/Р+й, 2+й) — /(1,2)=Д.О+а( — 21)+ + [йк,б ! 2ЬЬ.З+йз( 24)[+ [йз 6+ Зйзй,0+Зййз,О+Уз( 12)[ ! к 1 2 3! = Уй — 2 ! й+ Зйз+ Зй З вЂ” 12йз+ Ьз — 2Ь К [996. Разложить /(х+/г, у+/з) по целым положительным степеням /г и й, если /(х, у) ь ахз+2(гху+суз. /, (х, у)=Зхг-[ Зу, /„(к, у) =- — бак+ах, /,',к(к, у)=бк, /,а (х, у) = 3, /кк (х, у) = — !2У.
/ккк (х У) = б. /„„з (х, у) = О, /как (х, у) =- О, /а,,у(к, у) = — !2, /к(!' 2)=3 1+3'2/ В /к(1; 2) = — 6 4+3 1= — 21, /кк('; 2) = 6 1 = 6. /, (1; 2) = 3, /кк(1; 2) = — !2 2= — 24, /ккк (!1 2) = 6, /ккк(Н 2)=0, /как (1," 2) =О, /аау(1; 2) = — 12. 218 Функции нескОльких пеРемениых 1гл. У! 1997. Функцию г(х, у) = — х'+2ху+Зу' — бх — 2у — 4 разложить по формуле Тейлора в окрестности точки ( — 2; 1).
1998. Найти приращение, получаемое функцией Г(х, у) =х'у прн переходе от значений х=1, у=1 к значениям х;=1+Ь, у,=1+й. 1999. Функцию Г(х, у, г)=х +у~+г~+2ху — уг — 4х — Зу— — г+4 разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1; 1; 1).
2000. Разложить Г(х+Ь, у+9, г+1) по целым положительным степеням Ь, Й и 1, если 1(х, у, г) =х'+у'+г' — 2ху — 2хг — 2уг. 2001. Разложить по формуле Маклорена до членов 3-го порядка включительно функцию у(х, у) =е" Е1п у. 2002. Разложить по формуле Маклорена до членов 4-го порядка включительно функцию ~(х, у) =созхсозу. 2003. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1; 1) до членов 2-го порядка включительно функцию г(х, у) =у'. 2004. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1; — 1) до членов 3-го порядка включительно функцию ((х, у) =е"+е.
2005. Вывести приближенные формулы с точностью до чле- нов 2-го порядка относительно величин а и р для выражений а) агс1п —, 1+а. б) ~Г» 1 +( +91 2 если 1а1 и 1р1 малы по сравнению с 1. 2006 . Используя формулу Тейлора до членов 2-го порядка, вычислить приближенно а) У1 ОЗ ~з/О 98. б) (О 95)ка1 2007. Пусть г есть та неявная функция от х и у, опреде- ляемая уравнением г' — 2хг+у =О, которая принимает значе- ние г = 1 прн х= 1 и у= 1.
Написать несколько членов разло- жения функции г по возрастающим степеням разностей х — 1 н у — 1. Ь гз! ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 219 В 13. Экстремумы функции нескольких перемеииыи 1'. Определение экстремума функции. Говорят, чтофункция ! (х, у) имеет максимум (минимум) )(а, Ь) в точке Р (а, Ь), если для всех отличных от Р точек Р'(х, у) в достаточно малой окрестности точки Р выполнено неравенстно г(а, Ь) > г(х, у) (илн соответственно г(а, Ь) < 1(х, у)).
Максимум нлн мпнвмум функции называется ее экстремумом. Аналогично определяется экстремум функции трех н болыиего числа переменных. 2'. Необходимые условия экстремума. Точки, в которых днфференцируемая функция 1(х, у) может достигать экстремума (так называемые стаиионарные тонки), находятся путем решения системы уравнений (х, у) = О, !а (х, у) = О (1) (необходимые условия экстремума). Састема (') эквавалентна одному уравнению д! (х, у) =О. В общем случае в точке экстремума Р (а„з) функции ! (х, у) или д! (а, Ь) =О, илн д) (а, Ь) не существует.
3'. Достаточные условия экстремума.Пусть Р(а,Ь) — стационарная точка функции Г(х, у), т. е. д!(а, Ь) =О. Тогда: а) если ба!(а Ь) < 0 пви дх'+Ау' > О, то Г(а, Ь) есть максимим функции у(х, у); б) если д ((а, Ь) > 0 при Ахал дуэ > О, то Г(а, Ь) есть минимум функции ((х, у); в) если де( (а, Ь) меняет знак, то 1(а, Ь) не является экстремумом функции ((х, у).
Приведенные условии эквивалентны следук1щим: пусть 1„(а, Ь) =!у (а, Ь)= =О и А =)хх (а, Ь), В =-!ха (а, Ь), С= — )иа (а, Ь]. Составим дискуииикант А= АС вЂ” Ва.. Тогда: 1) если А > О, то функции имеет экстремум н тачке Р(а, Ь), а именно максимум, если А < О (или С < О), н мивнмум, если А > 0 (нли С > 0); 2) если д < О, то экстремума в точке Р (а, Ь) нет; 3) если А=О, то вопрос о наличии экстремума функции в точке Р (а, Ь) остается открытым (требуется дальнейшее исследование). 4'. Случай функции мв о г их не ременных.
Для функции трех и большего числа переменных необходимые условия существования экстремума аналогичны условиям 2', (1), а достаточные условия аналогичны условиям 3', а), б), в). Пр им ер 1. Исс.чедовать на экстремум функцию х = ка+ Зху' — 15х — 12у. Решение. Найдем частные производные и составим систему уравнений (!): да , „ дх дк ' ду — =— Зле+ Зу' — 15 = О, —: — бху — 12 = 0 нлн х'+у' — 5=0, (' ':: ху — 2=0.
Решая систему, получим четыре стационарные тачки." Рт(!! 2)! Ре(2! 1)1 Рз( — 1! -2)! Ра( — 2! 1) Найдем производные 2-го порядка дта дэх д'х —,=бк, — =бу, — =6х дха ' дх ду ' дут н составим дискрнминант А= АС вЂ” В' для каждой стационарной точки.
220 ФУНКИИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1ГЛ. Ч! 1) Дла точки РИ А= ~ — э) =6, В= ~ — ) =!2, С вЂ” -- ~ — ~ =6, ~дх~)Р, ' ~д»ду)Р, ' " ~аузуи, й=АС вЂ” Ве=36 — 144 < О. Значит, в точке Р, экстремума нет. 2) Дзя точки Ре: А = 12, В = 6, С = 12; б = 144 — 36 > О, А > О. В точке Р, функция имеет минимум. Минимум этот равен значению фуакцни при х=2, у=1: з !а=8+6 — 30 — 12= — 28.
3) Длн точки Ре. 'А= — 6, В= — !2, С= — 6; 8=36 — !44 < О. Экстремума нет. 4) Для точки Рд А= — 12, В= — 6, С= — 12; 8=144 — 36 > О, А < О. В точке Р, функция имеет максимум, равный з,„= — 8 — 6+30+12=28. 5'. Условный экстремум. В простейшем случае ус»юным зкапре. лумоы функции /(х, у) называется максимум нли минимум этой функции„ достигнутый прн уеловин, что ее аргументы связаны уравнением ф(х, у)=0 (ураененизк салан).
Чтобы найти условный экстремум функции ) (х, у) прн ыалнчни соотношения ф(х, у)=0, составляют так называемую фуихыыю ЛазРаыжо Р(х, у)=у(х, у)+д ф(». у), где» вЂ” неопределенный постоянный множитель, и ищут обычный экстремум втой вспомогательной функции. Необходимые условия экстремума сводатсз я системе трех уравяеинй — ~ — +Л вЂ” =О, дР д( дф дх дх дх дР а( аф — = — -(-)г — =О, ау ау ау = ф(х, у)=0 с тремя неизвестными х, у, », из которой можно, вообще говоре, определить эти неиэвестиые.
Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании ыэучения энаха второго дифференциала функции Лагранжа деР деР дзР ааР(х, у)= — дхз+2 — ахар+ — заре дхз дх ду дуз для испмтуемой системы эыачений х, у, л, полученной иэ (2) при условие, что ах и ду связаиы уравнением — ах+ — ау=О (д '+ау' ж 0). дф дф дх ду А именно, функция Г(х, у) имеет условный максимум, если деР < О, ы условный минимум, если аЕР > О. В частности, если днскриминант б для функции Р (х, у) в стационарной точке положителен, то в этой точке имеется условный максимум функции Г(х, у), если А < 0 (или С < О), и условный минимум, если А > 0 (или С > 0). Аналогично находится условный экстремум функции трех или большего числа переменыых пры налички одного или нескольких уравнений связи (число которых, однако, должно быть меньше числа переменных).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
