demidovich-zad (832426), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Выразим производные от у по х через пронзвсдные от х но у: бу 1 Ых бх бу бзу 0 ! И ! бу пуз су Иха Нх 4х бу бх бх !'~1х !а Пх ( бх !з ! бу / т, бу / ~бу! Юу ~ ну 1 Подставив зтн выражения проиаводных в данное уравнение, будем иыетш [ вли, окончательно П р и м е р 3. Преобразовать уравнение бу х+у бх х — у 210 1гл. И1 аинкции нескольких переменных перейдя к полярным координатам Х=ГС05ф, Д=Г5!Пф. Решение. Рассматривая Г как функцию ф, из формул (1) получим: бх=соафбг — Га!пфбф, Нр=51пфдг+Гсоафбф, отсюда бг ду 51пфдг+Г соа файф иф Я) П ф — + Г СО$ ф соафГ(à — Г51'Пфиф иг соа 1р — — Г 51п 1р бр Подставляя в данное уравнение выражения для х, у и —, будем иметь: др бх ' дг $1Пф — +Г С05 ф аф ' Г сов ф+Г 5)пф бг .
Г СО5 ф — Г 9!П ф сов 1р — -Г 51П 1р др нли, после упрощений, 1(Г др 2'. Замена переменных в выражениях, содержащих частные производные. Пример 4. Уравнение колебаний струны даи д'и —.=а' — (а ~ О) дП дха преобразовать к новым независимым переменеым и и Р, гяе а =х — ат, Р =х+оГ. Решение. Выразим частные производные от и по х и Г через частные производные от и по а и б. Применяя формулы дифференциронания сложной функции ди ди да ди дб ди ди да ди др — = — — + —— — = — — + —— дт да дт д(3 дт ' дх да дх д)) дх ' получим ди ди ди Г'ди ди 1 — = — ( — а)+ — а=а ~ — — — ), дт да д() ~дб дау' ди ди ди ди ди — = — ° 1+ — ° 1=' — + —. дх да др да д(1 ' Дифференцируем вторично, применяя те же формулы: Г' д'и д'их Уд'и даи Д Г'даи даи д'иЪ = а ~ — — — ~ ( — а)+а ~ — — ~ а=аз ~ — -2 — + — ); ~дадр даау ~др дадр/ ~даа дад() д() у' ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ $!О! д'и д'и Подставив — и — в данное уравнение„ будем иметь: дга дкз илн дзи — =!).
додо дг дг П р и м е р 5. Преобразовать уравнепг е хз — +уз — = за, приняв эа но. дх ду ! ! ! ! вые независимые переменные и = х, о= — — — и за новую фунхнню в= — — —. и х г к дг дг Р е ш е н и е. Выразим частные производные — и — через частные произдх ду дв дв водные — и †. Для этого продифференцнруем данные соотношения между ди до ' старыми и новыми переменными дх ду дх дг ди=дх, до= — — —, св= — — —, х' Из ' х' г' ' С другой стороны, ив = — ди+ — до.
дв дв ди до Поэтому дв дв Фх дг — ди+ — до= — —— до +до хз дв дв / дх дд'! дх дг — дх+— ди до ~хз уз) хз гз' Отсюда ,У ! дв 1 дв~ гадю да=ге ~ — — — — — — у! дх+ — ду ~х' ди х' до ) узда и, следовательно, дг,/! дв ! дв'! — =гз ~ дх ~ хз ди хз до у дг г' дв др Из до ' Подставляя эти выра!Яйййй В Дйййбй урййййййй, ПОЛУЧИМ.' дв ! ди~ д хзгз ~ — — — — — — у! +г' — =г' ~хз ди хз до у+ до 212. 1гл.
л еункцнц несколькик пауаманнык д — =о. ди 1969. Преобразовать уравнение ,дг ду х' — +2х — +у=О, дх' дх полагая х=е'. 1970. Преобразовать уравнение г дгУ ЮУ (1 — х') — х — О дхг дх полагая х = сов 1. 1971. Преобразовать следующие уравнения, приняв за аргумент у: 1972. Тангенс угла р, образованного касательной МТ и радиусом.вектором ОМ точки касания 1рнс. 69), выражается следующим образом: у х 16'р = 1+ — у' х' Преобразовать это выражение, перейдя к полярным координатам: Рис. 69.
х=гсов<р, у=гв1п~р. 1973. Выразить в полярных координатах х= г сов <р, у= г в1п 9 формулу кривизны линии К= 1 у'1 1~ + (у')'1 ' 1974. Преобразовать к новым независимым переменным и и а уравнение дг дг у — х — =О дх ду если и=х, п=х*+уг.
$ н! кАсАтельнАЯ ллОскость и нОРмАль к НОВеРхнОс и 213 1975. Преобразовать к новым независимым переменным и и о уравнение дг дг х — +у — — г=О дх ду = ° если и=х, о= —. у .т 1976. Уравнение Лапласа дги , дги —.+ — ==О дха ду' преобразовать к полярным координатам г и гр, пологая х=гсозгр, у == гз!лгу. 1977. Преобразовать уравнение г д'г дат х' — — у' — '.- 0 дха дут х полагая и=ху и о= —. у 1978. Преобразовать уравнение дг дг у — — х — =(у — х) г дх ду введя новые независимые переменные ! ! и=х*+у', о= — +— х и новую функцию го — )л г — (х+у).
1979. Преобразовать уравнение д'г дгг дгг — — 2 — + — =О дхг дх ду дуа приняв за новые независимые переменные и=х+у, о — н за и г новую функцию ю= —. х ' 1980. Преобразовать уравнение д'г, д'г д'г — +2 —.+ —.=О, охг ох ду ' ду' полагая и = х +у, о = х — у, ю=ху — г, где и!= Ьн(и, о). 9 11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности !' Уравнения касательной плоскости н нормали дла случая явного задания понерхяосты. Касапильной лгосхос!Лью к поверхности в точке М (тачка касания) называется плоскость, в которой лежат все касательные в точке М к различным кривым, проведенным на поверхности через зту точку.
214 [ГЛ. Уг ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕИИЬГХ Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания. Если уравнение поверхности в декартовой системе координат задано в явной форме г=г'(х, у), где ) (х, у) — дифференцируемая функция, то уравнение касательной плоскости в точке М (хо, уо, го) поверхности есть 2 — го =6(хо, Уо)(Х вЂ” хо)+)г(хо Уо) (У вЂ” Уо) (1) ЗДесь зов - 1(хо, Уа).
а Х, У, Я вЂ” текУщие кооРдинаты точки касательной плоскости. Уравнения нормали имеют вид У вЂ” Уо х — го Х вЂ” хо (2) о 1а(хо Уо) (г(хо Уо) где Х, У, 2 — текущие координаты точки кормали. П р и м е р 1. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к пах' верхности г= — — уо в ее точке М (2; — 1; 1). 2 . Решение.
Найдем частные производные данной функции и их значения в точке М дг — — х дх (д ) =2, Отсюда, применяя формулы (1) и (2), будем имегго г — 1=2(х — 2)+2(у+1) х — 2 ут1 или 2х+2у — а — 1 — -Π— уравнение касательной плоскости и — = 2 2 г — 1 = — †уравнен нормали, — 1 2'. Уравнения касательной цпо скости н Но р мали для случая неявного задания поверхности.
В том случае, когда уравнение гладкой поверхности задано в неявной форме Г(х, у, г)=0 и Г(хо, уо, го) =О, соответствующие уравнения будут иметь вид Га(хо. уо го) (Х вЂ” хо)+Гг(хо уо го) (У вЂ” уа)+Га(хо, уо, го) (Я вЂ” го)=0 (3) — уравнение касательной плоскости и Х вЂ” хо Я вЂ” го (4) Гх (хо уо го) Гг (хо уо го) Га (хо уо го) — уравнения нормали. П р и и е р 2. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности Зхуг — го=аз в точке, для которой х=О, у=а. Рещение.
Найдем аппликату точки касания, подставив х=О, у=а в уравнение поверхности: — г'=а', откуда г= — а. хаким образом, точки касания есть М(0, а, — а). $11! кАслтельнАя плОскОсть и нОРИАль к пОВеРхнОсти 215 Обозначив через г (х, у, г) левую часть уравнения, найдем частные праизводные и их значения в точке А4: г» =Зуг, Гг =Зхг, г, =Зху — Згг, (.х,,)А1 = — Заа, (Рг)„=О, (гч )и = — Заа. Применяя формулы (3) и (4), получимс — Заз (х — 0)+0(у — а) — За'(г+ а) =О или х+г+а=Π— уравнение касательной плоскости, х — 0 у — а г-1-а — Заг 0 — Заа х у — а а+а нли — = — = — — уравнения нормали.
! О ! 1981. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к следующим поверхностям в указанных точках: а) к параболоиду вращения г=х'+у* в точке (1; — 2; 5); х' уг г' б) к конусу — + — — — =О в точке (4; 3; 4); !б 9 8 в) к сфере ха+уз+ге=2Рг в точке ()ссозос; )сз(па; гс). 1982. В каких точках эллипсоида ха уа ге — + — + — 1 а' за с' нормаль к нему образует равные углы с осями координату 1983. Через точку М (3; 4; 12) сферы х'+у'+г'=169 проведены плоскости, перпендикулярные к осям ОХ и О)». Написать уравнение плоскости, проходящей через касательные к получившимся сечениям в их общей точке М. 1984.
Показать, что уравнение касательной плоскости к центральной поверхности 2-го порядка ах'+ Ьуг + сг' = )г в ее точке М(х„у„г,) имеет внд ах,х+ Ьу,у+ гг,г = я. 1985. К поверхности х'+2у'+ Зг' = 21 провести касательные плоскости, параллельные плоскости х+4у+бг=О. ха уг гз 1986. К эллипсоиду —, + —, + -; = 1 провести касательные плоскости, отсекающие на координатных осях равные по величине отрезки. 1987, На поверхности х' + уз †' — 2х = О найти точки, в которых касательные плоскости параллельны координатным плоскостям. 216 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ !ГЛ.
УВ 1988. Доказать, что касательные плоскости к поверхности хуг=т' образуют с плоскостями координат тетраздр постоянного объема. 1989. Показать, что касательные плоскости к поверхности )' х+):у+) ' г =)Га отсекают на осях иоординат отрезки, сумма которых постоянна. ха уа аа 1990. Показать, что конус — а+ —.а = —, и сфера Ьа+са1а х'+у'+ (г — — ) = — (Ь'+с') с ~ — сч касаются друг друга в точках (О, ~Ь, с).
1991. Углом между двумя поверхностями в точке их пересечения называется угол между касательными плоскостями, проведенными к данным поверхностям, в рассматриваемой точке. Под каким углом пересекаются цилиндр ха+уа=йа и сфера (х — )?)а+ус+ге=)?а в точке М( —, —, О)? /)? д уз 1992. Поверхности называются ортоеональными, если они пересекаются под прямым углом в каждой точке линии их пересечения. Показать, что поверхности х*+у'+ г' = г' (сфера), у=х 1к чч (плоскость) и г'=(х'+у*)19атР (конус), являющиеся координатными поверхностямн сферических координат г, у, ф, взаимно ортогональны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
