demidovich-zad (832426), страница 26
Текст из файла (страница 26)
р !846. и = агс(д — . гг 1847. Найти с(1(3; 4; 5), если 1(х, у, г) = у'хг- рг 1848. Одна сторона прямоугольника и = !О см, а другая 5 = 24 слк Как изменится диагональ ! прямоугольника„ если сторону а удлийить на 4 мм, а сторону Ь укоротить на ! мм? Найти приближенную величину изменения и сравнить с точной. ФУНКЦИИ ННСКОЛЪКИХ ПНРНМНННЫХ (гл. щ 1849.
Закрытый ящик„имеющий наружные размеры 10 сж, 8 сг«и 6 сы, сделан из фанеры толщиной в 2 жм. Определить приближенно объем затраченного на ящик материала. 1850». Центральный угол кругового сектора, равный 80' ° желают уменьшить на 1'. На сколько надо удлинить радиус сектора, чтобы площадь его осталась без изменения, если пер- воначальная длина радиуса равна 20 см? 1851. Вычислить приближенно: а) (1 02)в. (О 97)в б) т бб,05)+~~в,бвт~ в) з)п32' соз59' (при переводе градусов в радианы и при вычислении з)п60' брать три значащие цифры; последний знак округлить). 1852. Показать, что относительная ошибка произведения при- ближенно равна сумме относительных ошибок сомножителей.
1863. При измерении на местности треугольника АВС полу- чены следующие данные: сторона о=)00 м~ 2г«, сторона Ь = = 200 м ~ 3 и, угол С =60' ~ 1'. С какой степенью точности может быть вычислена сторона с? 1854. Период Т колебания маятника иычисляется по формуле Т=2н )~ —, Г7 я где 1 — длина маятника и йб — ускорение силы тяжести. Найти погрешность в определении Т, получаемую в результате неболь- ших ошибок Ы=бб н Ьд=Р при измерении ) и и. 1855. Расстояние между точками Р, (х„у,) и Р (х, у) равно р, а угол, образованный вектором Р,Р с осью ОХ, равен а.
На сколько изменится угол сг, если точка Р, прн неизменной точке Р„ займет положение Рг (х+ г)х, у+ г(у) ? 6 5. Дифференцирование сложных функций 1'. Случай одной независимой переменной. Если г=г(х, у) есть дифференцируемая функция аргументов х и у, которые в сваю очередь являются дифференцируемыми функциями неэавясимой переменной Н =фр). у=о(г).
то производная сложной функции г=) (бр(1), ф(1В мажет быть вычислена по формуле б)г дг дх дг ду дг дх Ж+ду Ж В частности, если 1 совпадает с одним из аргументов, например х, то «полнаяв производная функции г по х будет: дг дг дг ду — = — + —— дх дх ду дх' (й) )ву ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИИ дг П р и м е р 1. Найти —, если с!т я= ее"+со, где х=ссз 1, у=!в, Р е ш е н и е.
По формуле (!) имеем — =е ~~'о 3(-з!п!)+е "+ о 2 2! д! о езх~ао(4! -3з!п !)=езсое с+И'(41-3з!п!), Пример 2. Найти частную производную — н полную производную дг дх дг —, если дх ' г =еш, где у = ф (х), Решение. —.=ус ". На основании форм>лы (2) получаем дг дх — =ус "+лег" ~р'(х), дг дх 2'. Случай нескольких независимых переменных.
Если г есть сложная функция нескольких независимых переменных, например г=! (х, у), где х=!р(и, и), у=-ф(ц, и) (и и о — независимые переменные; ), !р, ф — дифференцируемые функции), то частные производные г по и и о выражаются так: дг дг дх дг ду — = — — + —— (3) ди дх ди ду ди дг дг дх дг ду (4) — ~ — — + —— до дх ди до до Во всех рассмотренных случаях справедлива формула дг = — дх+ — '-ду дг дг дх ду (сеойстоо инеариантности полного диффере!!цикла), дг дг П р и м е р 3.
Найти — и —, если ди до' и г=т(х, у), где х=но, у= —. о ' Решение. Применяи формулы (3) и !4), получим: дг ! д =!с(х у) о+!о(х у) — =)' (х, у) и — ~о(х, у) —. еникпии пнсколвких пннимнииых (гл. чг Пример 4. Показать, что функция г=~р(ха+у') удовлетворяет урез. дг дг нению у — — х — =О. дк ду Решение. функция ф зависит от х н учерез промежуточнма аргумент к*-1- уг = г, иоэтому дг дг дг — = — — =ф'(х'+у*) 2' дх дг дх дг дг д( — = — — =~р'(ха+уз) 2у. ду дг ду Подставяв частные производные в левую часть уравнения, будем иметь: у — — х — =уф' (к +у ) 2х — эр'(х +у )2у= дг дг т 3 дх ду = 2хур' (ха+ уг) — 2хур' (х'+уз) О, т.
е. функция г удовлетворяет данному уравнению. 1856. Найти —, если дг г= —, где х =ее, и= 1п1. х 1857. Найти —,, если и=.1пз(п —., где х=81а, у=у (г-)-1. уу' ' гм 1858. Найти — „, если ди и=хуг, где к=уз+1, у=!пу, г=1иу. 1859, Найти — „, если ди у=Я а(п1, у=о. и =, где х = Я сон 1, Ух*+у' ' 1860. Найти „-, если дг г=и", где и=н1пх, о=соах.
1861. Найти — и — если дг дг дх дк ' х=агс16- у к ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ 1862, Найти — и — „, если дх дг г = хх, где у = 1р (х). 1863, Найти — и †, если дх дх дх ду' г =7(и, Р), ГДЕ и =Х' — У', О=гхг. 1864. Найти — и — если дг дг ди ди' г=агс(и —, где х=из1по, у=исозо. х 1865. Найти — и — если дг дг дк ду ' г=('(и), где и=ху+-, у 1866. Показать, что если и = 61 (Х'+ у'+ гг), где х=ггсозфсозф, у=йсозфБ1пф~ г=ЯБ1пф — =О и —,= — О.
ди ди д1р дф 1867; Найти — „, если ди и=((х, у, г), где у=ф(х), г=ф(х, у). 1868. Показать, что если г =т (х+ау), где ( — днфференцнруемая функция, то дх дг — =а —. ду дх' 1869. Показать, что функция и=1(и, у), где и=х+а(, о=у+Ы, удовлетворяют уравнению д д дФ вЂ” =а — +Ь вЂ”. да дх ду . Функции нескольких пеуеменных (гл. Ег 1870« Показать, что функция г = у«р (хе — уг) удовлетворяет уравнению 1дг 1дг г — — + — — =— .к дх у ду уе ' 1871, Показать, что функция г=ху+х«р ( — ) удовлетворяет уравнению дг дг х — +у — =ху+г, дх ду 1872.
Показать, что функция г =ех«р (,уего') удовлетворяет уравнению дг дг (х' — у') — + ху — хуг. дк ду 1873. Сторона прямоугольника х=20 м возрастает со скоростью 5 м/сок, другая сторона у= 30 м убывает со скоростью 4 м/сек. С какой скоростью изменяются периметр и плон(адь прямоугольника? 1874. Уравнения движения материальной точки 1 у 1е г 1а С какой скоростью возрастает расстояние этой точки от начала координат? 1 875.
Два парохода, вышедшие одновременно из пункта А, движутся один на север, другой на северо-восток. Скорости движения пароходов: 20 км(цас и 40 км(цас. С какой скоростью возрастает расстояние между ними? $6, Производная в данном направлении и градиент функции 1о. Пронаноднан функции ы данн оы направлении, Произкодное Функции а=7(х, у) а «нонка Р а данном налраахении 1=РР« ыаамааетсн дг н«п $ (Р«) — 7 (Р) д( — + В «Р«Р« ° о (Р«Р! ПРОИЗВОДНАЯ В ДАН НОМ Н АПРА ВЛ П НИ И 19) где 7(Р) и г" (Р,) — значения функции в точках Р н Ры Если функция г диф. ференцируема, то справедлива формула дг да дг — = — соз а+ —. з( ° сг, д! дх ду (1) где гг — угол, образованный вектором 1 с осью ОХ (рис.
67). Аналогично определяется производная в данном направлении 1 для функции трех аргументов п=((х, у, г). В этом случае ди ди ди ди — = — соз а+ — соз ()+ — соз у, д( дх ду дг (2) Рис, бб. Рис. 67. П р имер 1. Найти производную функции г=2ха — Зуе в точке Р (1; О) в направлении, составляющем с осью ОХ угол в 120 . Р е ш е н и е. Найдем частные производные данной функции и их значения в точке Р: ( — ) =-4; дг — =4х; дх — = — бу; (д — ) =О. Здесь 1 соя и = сов ! 20' = —— 2 ° з(п о=а)п 120 — — — ° 2 Применяя формулу (1), получим: дг / 1~ у'3 — =4 ~ — — ~+Π— = — 2. д1 ~ 27' 2 Знак минус показывает, что функция в данной точке и в данном направлении убывает.
2'. Градиент функции. Градиентном функции г=)(х, у) в точке (х, у) называется вектор, проекциями которого на координатные оси являются где п, (), у — углы между направлением (и соответствующими координатными осями. Производная в данном направлении характеризует скорость изменения функции в этом направлении, 1гл. щ 192 Функции нискольких пиреминных соответствующие частные производные данной функции: дг дг йтзд г= 1+ дх ду ' (з) Производная двиной функции в направлении 1 свяаана с градиентом фуякции следующей формулой: дг — =пргйтад г, д1 Аналогично определяется градиент функции трех переменных и=у(х, у, г): дх +д г+д ди ди ди (4) Градиент функции трех переменыых в каждой точке направлен по нормали к поверхыости уровня, проходящей через зту точку.
Пример 2. Найти и построить градиентфуыкцииг=хзувточкеР(1; 1). Решение. Вычислим частные производные ы их значения в точке РЧ дг — = 2ху; дх дг — =х'; ду Следовательно, йтабг=21+/ (рис. 68). 1876. Найти производную функции г=х' — ху — 2у' в точке Р(1; 2) в направлении, составляющем с осью ОХ угол в 60'. 1877. Найти производную функции г = х' — 2х'у+ху'+ 1 в точке М(1; 2) в направлении, идущем от этой точки к точке А1(4; 6). 1878.
Найти производную функции г = 1п у~хе+уз в точке Р (1; 1) в направлении биссектрисы первого координатного угла. 1879, Найти производную функции и=х' — Зуг+5 в точке М(1; 2; — 1) в направлении, составляющем одинаковые углы со всеми координатными осями. 1880. Найти производную функции и=ху+уг+гх в точке М(2; 1; 3) в направлении, идущем от этой точки к точке Ф(5; 5; 15). т. е. производная в данном направлении равна проекции градиента функции на направление дифференцирования. Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к соответствующей линии уровня функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
