demidovich-zad (832426), страница 22
Текст из файла (страница 22)
1699. Прямой параболический сегмент, основание которого 2а и высота Ь, вращается вокруг основания. Определить объем тела вращения, которое при этом получается («лимонэ Кавальери). 1700. Показать, что объем части, отсекаемой плоскостью х=2а от тела, образованного вращением равнобочной гиперболы хе — 9« =ае вокруг оси ОХ, равен объему шара радиуса а. 1701. Найти объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной одной аркой циклонды х.=а (à — з'и Г), у=а (1 — соз Г) и осью ОХ, вокруг: а) оси ОХ, б) оси 01' и в) оси симметрии фигуры. 1702.
Найти объем тела, образованного вращением астроиды х=асоз'1, у=аз!я«1 вокруг осн 01'. 1703. Найти объем тела, которое получается от вращения кардиоиды г=а(1+созф) вокруг полярной осн. !704. Найти объем тела, образованного вращением кривой г = а созе у вокруг полярной оси. 1706. Найти объем обелиска, параллельные основания которого — прямоугольники со сторонами А, В и а, Ь, а высота равна й. 1706.
Найти объем прямого эллиптического конуса, основание которого есть эллипс с полуосями а и Ь, а высота равна Ь. 1707. На хордах астроиды хне+ун*=апн параллельных оси ОХ, построены квадраты, стороны которых равны длинам хорд и плоскости которых перпендикулярны к плоскости ХО1'. Найти объем тела, образованного этими квадратами. 1708. Деформирующнйся круг перемещается так„что одна из точек его окружности лежит на осн 01', центр описывает эллипс хе эе —,+ —,=1, а плоскость круга перпендикулярна к плоскости ХО)'.
Найти объем тела, образованного кругом. Б Пел ред. Б. П. нее«Хе««ее 162 ггл. и ОПРЕДЕЛЕННЫН ИНТЕГРАЛ 5 10. Площадь поверхности вращения Площадь поверхности, обрааованной вращением вокруг оси ОХ дуга гладкой кривой у=((х) междуточкамих=о н х=Ь(а < Ь), выражается формулой ь з оз 8г = 2п ') 1 у ) — ба = 2и ) ( у 1 у' 1+ у' бк а а 312 — днфференпиал дуги кривой). В случае нного задания уравнения кривой площадь поверхности Яг получается пз формулы (1) путем соответствующей замены переменных.
П р и и е р 1. Йайти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ ветла кривой йуз=х(3 — к)' (рис. 54). Рис. 33. Рнс. 54. хризой при О~ха-3 имеем: х+1 дуги аз==ах. На основании 2 у'к Р е ш е н и е. Для верхней части 1 у= — (3 — х) угх . Отсюда дифференциал 3 1709. Плоскость движущегося треугольника остается перпендикулярной к неподвижному диаметру круга радиуса а. Основанием треугольника служит хорда круга, а вершина его скользит по прямой параллельно неподвижному диаметру на расстоянии й от плоскости круга.
Найти объем тела (называемого коноидолг), образованного движением этого треугольника от одного конца диаметра до другого. 1710. Найти объем тела, ограниченного цилиндрами х'+ге=а* н у'+г'=а'. 1711. Найти объем сегмента, отсекаемого от эллиптического У' 2' параболоида †+ †(х плоскостью х=а. 2р 2д 1712. Найти объем тела, ограниченного однополостным гиперхз уа 22 болоидом †,+ †, †, =1 и плоскостями г= 0 и г=а. ХЗ У' 22 1713. Найти объем эллипсоида —,+ —,+ —,=1. 4 !а1 ПЛОШАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ формулы (!) плошадь поверхности Г 1 х+1 В= ~~ (З вЂ” ) Р'х =.б = .) з 2 х о П р и м е р 2. Найти площадь лавер хностн, образованной врашеннем одной арки цнклонды х= а (! — 3!и !); у = а (! — соз !) вокруг ее осн свмметрнн (рнс.
55). Решен)!е, Искомая поверхность образуется вращением дуги ОА вокруг прямой АВ, уравнение которой х=ла. Принимая у за незавнснмую переменную н учитывая, что ось врашення АВ сдвнаута относительна координатной осн Ог на расстоянне ла, будем иметь: за Аа В = 2л (ла — х) — бу. бу' о Переходя к переменной б получим: '-"('--"""" Р (и)''( — "')'"- о 2л ) (ла — а(+ аз!и!) 2ами — б! 2 о 4ла» ') (из!и — — ! з!и — +яп ! з!и — ) а! 2 2 2) о 4 . (1" Г 41 4ла» [ — 2л соз — +2(соз — 4з!и — + — з!и' — 1 =вл ~л — — ) аз. 2 2 1714. Размеры параболического зеркала АОВ указаны на рис.
бб. Требуется найти площадь поверхности этого зеркала. 1715. Найти площадь поверхности «веретена», которое получается в результате вращения одной полуволны синусоиды у= э!их вокруг оси ОХ. 1716. Найти площадь поверхности, образованной вращением части тангенсоиды д=(пх от х=О до х= — вокруг оси ОХ. 4 1717. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ дуги кривой у е е ", от х = О до х= + со. 1718. Найти площадь поверхности (называемой кагиеноидом), образованной вращением цепной линии у =с)! †" вокруг оси ОХ, в пределах от х=О до х=а. 1719.
Найти площадь поверхности вращения астроиды хпз+у'/а=агч вокруг оси 01г. 164 1ГЛ. и ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1720. Найти площадь поверхности вращения кривой 1 е 1 х= 4 у' — -1пу вокруг оси ОХ от у 1 до у=е. 4 2 1721е. Найти поверхность тора, образованного вращением окружности х'+(у — Ь)*=аз вокруг оси ОХ(Ь~а). д 1722. Найти площадь поверхности, образован- ие Ие ной вращением эллипса †,+ †, =1 вокруг: 1) оси ОХ; 2) оси Оу (а>Ь). 1723. Найти площадь поверхности, образован- ной вращением одной арки пиклонды х = ' =а(1-з(п1), у=а(1 — соя|) вокруг: а) оси ОХ; „б) осн О)'; в) касательной к пиклонде в ее высшей 1 точке.
1724. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ кардиоиды х = и (2 соз 1 — соз 21), у у а (2 з»п1 — з|п 21). ) 1726. Определить площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты Ге =ае соя 2»р вокруг полярной осн. 1726. Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды Г=2а(1 +сов»р) вокруг полярной осн. 6 11. Моменты.
Центры тяжести. Теоремы Гульдена 1е. Статический момент. Станичееним моментом относительно осн ! материальной точки А, имеющей массу т и отстоящей от оси 1 на расстоянии б, называется величина Ме=ни1. Статическим моментом относительно оси 1 системы и материальных точек с массамн т,, т„..., т„, лежащих в одной плоскости с осью и удаленных ат нее иа расстояния»5,, ба, ..., би, называется сумма и Ме= ~и~ тА (1) 5=5 причем расстояния точек, лежащих по одну сторону оси 1, берутся со знаком плюс (+), а по другую — со знаком минус ( — ).
Аналогично определяется статический момент системы точен относительно плоскости. Если массы непрерывно заполняют линию или фигуру плоскости ХО1», то статические моменты Мх и Му относительно координатных осей ОХ и Огг вместо сумм (1) ныражаются соответствующими интегралами. Для случая геометрических фигур плотность считается равной единице.
В частности: 1) для кривой л=х(5); у=у (е), где параметр з есть длина дуги, инеем: с с Щ = ')у(5)»55; Му=1 х(5)»(5 (2) о о »»* = г'Щг » »»е ~» » ч с » » ,»»~ й Н) мОменты. центРы тяжести, теОРемы ГульденА )6о М х = — ! у ! р ! йх; М г = ') х ! у ! йх. 1 Р 2 л и а (3) П р и м е р 1. Найти статические моменты относительно осей ОХ и О)г треугольника, ограниченного прямыми: — + — =1, х= О, у=О (рнс.
57). и Ь вЂ” ь — ) Рис. 53. Рис. 57. Решение. Здесь р=Ь(! — — 7!. Применяя формулы (3), получаеш х~ и) ' а МХ = — ~ (1 — — ) йх= —. а О х' ией М =Ь|х (1 — ) И а ) б о 2'. М о и е н т и н е р ц и и. Моментам инерции относительно осн ! материальной точки массы т, отстоящей от оси 1 иа расстоянии й. называется число у!=шаг. Моментам инерции относительно ася 1 системы н материальиык точек с массами ты т„..., т„называется сумма Гдс йы йа, ..., йн — раССтсяНИя таЧЕК От аСИ 1, В СЛуЧаЕ СПЛОШНОЙ МаССЫ вместо суммы получаем соответствующий интеграл.
Пример 2 Найти момент ннерннн треугольника с основанием Ь н высотой Ь относительно его основания. Р еше н и е. Основание треугольника примем за ось ОХ, а его высоту— ва ось Ог (рис. 53). 2) для плоской фигуры, ограниченной кривой у=у(х), осью ОХ и двумя вертакалями х=и и х=-Ь, получаем: онридилиннын ннтип ал Разобьем треугольник ва бесконечно тонкие горнаонтальные полоски толщины ау, играющее роль влемеытарных масс дт, Испольвуя подобие треугольников, получаем: Ь вЂ” у бт=Ь вЂ” ду Ь Их=рабы= — уь (Ь вЂ” у) Фу, Ь г — уа (Ь вЂ” у) Ыу= — ЬЬа. Ь г 1 Ь~ 12 Мг — М, х —, у= —, М М где Мх и Мг — статические моменты васам. ю случае геометрических фягур масса М численно равна соответствующей длине дуги нлн площади.
Для координат нентра тяжести (х, у) дугы плоской кривой у г(х) (аасх~ь), соединиющей точки А(а; /(а)) в В (ь; у(6)), имеем: в ь ~ яда ~ х )~Т+(у")а бх А а ~ уда ) у )г1+(у')'дх ь а ) ~Т+ йу )а бх а ь ~ 'гг 1-)-(У')'бх Координаты центра тивгести (х, у) криволныейной трапецяи и(х~Ь, О~ум 1(х), могут быть вычислены по формулам ь ь ~ худ — ) уьбх а а Хаа —, у= 8 ь где Я= ~ у ух — площадь фигуры, а Рис. 59. Аналогичные формулы имеют место для координат центра тяжести тела. Пример 3.
Найты центр тяжести дугы полуокружносты хв+уа=ив (у мО) (рис. 59). Реюеыие. Имеем — х у= у':аа:хяь у' )г ав — ха 3'. Центр тяжести. Координаты г(гитри тюисти дуги плоской кривой (нлн фигуры) массы М вычисляются по формулам моменты. НентРы тяжести. теоРемы Гульдена 187 $ зы з1з= 1~!+(у'1> их= р'оз — хз Отсюда а з ох Д4Р= ~ хиз= ~ = — йх =О> раз хз л -а и з — а ох йуд= ~ раз= ~ Ргаз — хч — =йаз, у' а' — хз -а -а з Следовательно, 2 к=О' у= — я д 4>. Теоремы Гульдена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
