demidovich-zad (832426), страница 20
Текст из файла (страница 20)
ствамы: ~ / (х) <р (х) дх = / (с) $ !р (х) дх $ / (х) д = / (1) (Ь вЂ” ), где с н $ — некоторые числа, лежащие между а и Ь. Пример 1. Оценить интеграл /= 1-)- — з!пех!(х, 1 2 Р е ш е н и е. Так как О ~ шпз х ~ 1, то имеем: п и ГЗ вЂ” < 1 < — !г7 —, 2 2У2 т. е, 1,57 < ! < 1,91. 2'. Среднее апач ение функции. Число ъ р= — ) /(х)!(х 1 !' а называется средним значением функции /(х) на отрезке а~х~Ь. 1810*. Не вычисляя интегралов, определить ик знак: 2 2и а) !)'хз!/х; в) ) — „— с(х. — 1 е б) ) хсозх!(х; о 1611.
Выяснить (не вычисляя), какой из интегралов больше: ! ! а) ~)Г(-(-хе!/х или ~хс(х; о е 149 4 21 ПЛОШАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР 1 1 б) ) хзз|птхг(х или ) хз|пзхг(х; О О 2 2 в) ) ек с(х или ~ ехдх. 1 1 Найти средние значения функций на указанных промежутках: 1612. 1(х) =х', 0<х<1. !613. 1(х)=-а+Ьсозх, — п<х<тп. 1614. 1(х) =- з|п'х, 0 < х < и. 1615. ~ (х) = з|п' х, 0 =х<п. 1 ох 2 1616. Доказать, что ) заключен между — ж0,61 1' 2+ к — хт О ! и = ж 0,70.
Найти точное значение зтого интеграла. )г 2 Оценить интегралы: 1 ь! 1617. ~) '4+хзг(х. О 1616. ~ -1 1620*. ~х )г (~хг(х. о Е 10-1-Зсозх' о 2 1621. ~ — г(х. 4 1622. Интегрируя по частям, доказать, что 2оен соз х 1 0 < ) — г(х < †. х 1аам ' 1Оон 5 7. Площади плоских фигур 5= ) 1(х) йх. а 1*. Плошадь в прямоугольныя координатая. Если непрерываая кривая задана н прямоугольных координатах уравнением у= — 1(х) (1(х)гна), то площадь криволинейной трапеннн, ограниченной втой кривой, двумя вертикалями в точках к=о и х=й и отрезком оси абсцисс пн.хк.Ь (рис. 40), определяетси формулой (гл. и определенные интегндл Пример 1.
Вычислить площадь, ограниченную параболой у=ха!2, прямыми х=1 н «=3 н осью абсцисс*) (рис. 41). Рнс. 40. Рис. 41. Решение. Искомая площадь выражаегся интегралом з 8=3! — Ых=4 —. гхз 1 52 3' 1 Пример 2. Вычислить площадь, ограниченную кривой х=2 — у — ра и осью ординат (рнс. 42). Рис. 42. Рнс. 43. Решение. Здесь изменены роли осей коордкнат и позтому искомаи площадь выражается интегралом 1 3= ~(2 — р — р')бр=4 —. 1 2' -г «) Здесь и в дальнейшем для кратности вместо слов «площадь области» часто употребляется слово еплощадью 151 ПЛОШАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР где пределы интегрирования у,= — 2 н у,=1 найдены как срдинаты точек пересечения данной кривой с осью ординат.
В более общем случае, если площадь 3 ограннчена двумя непрерывными кривыми у=(1 (х) н у=-11(х] и двумя вертикалями х=-а н х= ь, где 11(х) ~ ~(ь(х) при аь-х~Ь (рис. 43), то будем иметь: ь 3 =: ) (11 (х) — 11 (хЦ ь(х. (2) а Пример 3. Вычислить площадь 5, заключенную между кривымн у== 2 — хь и уз= хь (3) (рнс. 44). Решение. Решая совместно систему уравнений (3), находим пределы интегрирования: хь= — 1 и ха=1. В силу формулы (2) получнлп ! Ь Ь,1 хь 3 — 11 2 3 = ~ (2 — х' — х П) бх = (2х — — — — х ' ~ = 2 —. 3 б У'-1 13 -! Если кривая задана уравнениями в параметрической форме х=ф(1), у=ф(!), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, Рис.
43. Рис. 44. двумя вертикалями, соответствующими х=а н х=д, и отрезком оси ОХь выражается янтегралом о = ) ф (1) ф (!) н(* где 1т и 1, определяются из уравнений а=!у(11) и Ь=ф (11) [ф(1) ~0 на отрезке (11, (ьЦ. П р и мер 4. Найти площадь зллипса 8 (рис. 45), используя его параметрические уравнения х=асоз1, у=Ьз(п1 (0~1 2п). Р е ш е н и е. Ввиду симметрии достаточно вычислить плон!адь одной чет- верти, а затем учетвернть результат. Полагая в уравнении х= а сов 1 сначала 152 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ !гл.
н к=о, затем л=а, получим пределы интегрирования гд — — — н !з=о. Позтому и 2 /~,— О ~'о~ ~ л — 3= Ьзшп( — з!ЕГ)й=аЬ зщз!й=— 4 ) о з в, следовательно, В=лаз. 2'. Плошадь в полярник коорлииатак. Если непрерывная кривая задана в полярных коордниатак уравнением г=г(~р), то площадь Рис. 47. Рис.
40. сектора АОВ (рис. 40), ограниченного дугой кривой и двумя 'полярными радиусами ОА н ОВ, соответствующими значениям щ=а и ре — — 6, выразнтси интегралом з В= — ~ 1(рр)1 Ьр. 1 г 2,) о П р и и е р 5. Найти площадь, заключенную внутри лемнискаты Бернулли ге = ае сов 2~р (рис. 47). Р е ш е н н е. В силу симметрии кривой определяем сначала одну четверть искомой площади 1 ! Р а' Г ! 1 е о' — З= — ~ аесозй~р йр= — ~ — а!и 2Ф ~ 4 2~ Отсюда Я=о ° 1623.
Вычислить площадь, ограниченную параболой у = = 4х — х' и осью абсцисс. 1624. Вычислить площадь, ограниченную кривой у=1пх, осью ОХ и прямой х=е. 1625*. Найти площадь, ограниченную кринойу=х(х — 1)(х — 2) и осью ОХ. 1626. Найти площадь, ограниченную кривой у'=х, прямой у=! и вертикалью х=8. 153. $71 ПЛОШАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР 1627. Вычислить площадь, ограниченную одной полуволной синусоиды у=гппх н осью ОХ. 1628. Вычислить площадь, заключенную между кривой у=1их, осью ОХ и прямой х= —.
=3' 1629. Найти площадь, заключенную между гиперболой ху=т*, вертикалями х=а и х=За 1а > О) и осью ОХ. 1660. Найти площадь, содержащуюся между локоном Аиьези аЗ у = „—,, и осью абсцисс. 1631. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой у=х', прямой у=8 и осью ОУ'.
1632. Найти площадь, ограниченную параболами у'=2рх и х'= 2ру. 1633. Вычислить площадь, ограниченную параболой у = = 2х — х' и прямой у= — х. 1634. Вычислить площадь сегмента, отсекаемого прямой у= =3 — 2х от параболы у=х'. 1636. Вычислить площадь, заключенную между параболами х7 у=х', у= — н прямой у=2х. 1636. Вычислить площадь, заключенную между параболами х7 3 у = — и у=4 — — х'. 3 3 1637. Вычислить площадь, заключенную между локоном 1 х' Аньези д= —,, и параболой у== —.
1638. Вычислить площадь, ограниченную кривыми у=ах, д=е " и прямой х=1. !639. Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой х7 — — — =1 и прямой х=2а. х' 1640". Найти площадь, ограниченную астроидой хз +ух аэ 1641, Найти площадь между цепной линией х у=асЬ вЂ”, а осью 01' и прямой д= — (е +1). 1642. Найти площадь, ограниченную кривой а'у'=х'(а' — х'). 1643. Вычислить площадь, содержащуюся внутри кривой .154 !гл. т ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1644. Найти площадь между равнобочной гиперболой х' — у'= 9, осью ОХ н диаметром, проходящим через точку (5; 4).
1645. Найти площадь между кривой у= — „,, осьюОХи орди- 1 натой х= 1 (х > 1). 1646". Найти площадь, ограниченную циссоидой у'= — „ и ее аснмптотой х=2а (а > О). 1647*. Найти площадь между строфоидой у'= „и ее аснмптотой (а > О). 1648. Вычислить площади двух частей, на которые круг х'+у'(8 разделен параболой у' =2х. 1649. Вычислить площадь, содержащуюся между окружностью х'+9'=16 и параболой х'= !2(у — 1). 1650.
Нанти площадь, содер- жащуюся внутри астроиды тт х=асоз'1; У=ЬЕ!и'1. 1651. Найти площадь, ограниченную осью ОХ и одной аркой циклоиды (== х=а(1 — з!Н1), Рис. 43. у=а(1 — созг). 1652. Найти площадь, ограниченную одной ветвью трохоиды х=а1 — Ьз!П1, Ь г' ('('~') и касательной к ней в низших ее точках. 1653.
Найти площадь, ограниченную кардиоидой х = а (2 сов 1 — соз 21), у= а(2 з!Н1 — з|п 2!). 1654*. Найти площадь петли декартова листа ЗЕГ . Ы х= —; 9= —. 1+ГА' ! +!А 1655". Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой г = а (1+,соз ф). 1656*. Найти площадь, содержащуюся между первым и вто- рЫМ ВИтхаМИ СПИраЛИ АрХИМЕда Ге аф (рИС. 48). 1657. Найти площадь одного лепестка кривой г=асоз2ф. 1658.
Найти площадь, ограниченную кривой Г'=а'з!п4ф. 1659". Найти площадь, ограниченную кривой г=аз!НЗф. 4 в) ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ 1660. Найти площадь, ограниченную улиткой Паскаля г = 2+ сов <р. 1661. Найти площадь, ограниченную параболой г=аэесв— а Ф 2 и полупрямыми <р= — и <р= —. 4 2' 1662. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом 1663. Найти площадь, ограниченную кривой г=2асоэЗгр и лежащую вне круга к=а. 1664". Найти площадь, ограниченную кривой х" +у' = х'+ув. 5 8. Длина дуги кривой 1'.
Длина дуги в прямоугольнык координатат. Длина а дуги гладкой кривой у=((х), содержащейся между двумя точками с абсциссами х=а н х=Ь (а ( Ь), равна ь а= ~ Ф'14:р" бх. а Пример 1. Найти длину астроиды х'П-~-~И =ни~ (рис, 49), Рис. 49. Рис. 50. Р е шеи не. Дифференцируя уравнение астронды, получим: и' 3 р = — —, хп Поэтому для длины дуги одной четверти астроиды имеем; и — в=~ ййг !+ —,бх=~ —,бх=-а. 4,~ рг ~'/~,~ х'/ ° 2 о о Отсюда а=ба. (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
