demidovich-zad (832426), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Р' 25+ Зк 1 а 1 1529. ) хз-|-4к-1-5' а |гх 1533. о 1 1535. ) —" Уу т4 2 1537. ~ 2!па !р йр. о с 1 1534. У5-~-4х — кз 1535. 1 соек а ГЬ. о сс 1533. ~ „— ",„', „ с 1540. ~ 1дх|1х. 140 1гл. т ОпРеделенный интегрлл 1542. ~ —, с(х. о 1541. ~ с(д' ф с6р. е ! 1543.
~ с)! х !(х. о 1545. ~ з)!з х е/х. о !аз 1544. !аз 3 3. Несобственные интегралы ь Если (/(х) (~Ф (х) при аеСх~ Ь н $ Ф (х) дх сходится, то интеграл (1) а также сходится (признак сраенения). А Если / (х) ге 0 и Ига (/ (х) ! с — х рь) = А Ю аь, А Ю О, т. е. / (х) —— !с — х/м при х с, то: 1) при аг < 1 интеграл (1) сходится, 2) при юрн ! интеграл (1) расходится.
2'. Интегралы с бесконечными пределами. Если функция /(х) непрерывна при а~х < ео, то полагают Ф Ь ~ /(х) дх= 1пп ) /(х) дх (3) Ь-е Ф а а н в зависимости от существования или несуществования конечного предела в правой части равенства (3) соответствующий интеграл называетсн сходящимся или расходящимся. Аналогично Ь Ь а Ь ) /(х)дх= !нп ) /(х)дх и ~ /(х)дх= Ищ ) /(х)дх. а е Ф а ю и а а Ь-е+ на 1'. Интегралы от не о гран и че нн ы х функций. Если фуикпия /(х) ие ограничена в любой окрестности точки с отрезка (а, Ь) и непрерывна при а ~х < с и с < х~ Ь, то по определению ползгают: ь с-а ь ~ /(х) дх= !пп ) /(х) дх+ Ищ ') /(х) дх, (!) е о ч- о О а с+ч Если пределы в правой части равенства (1) существуют н конечны, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.
При с=а нли с=Ь определение соответствующим образом упрощается. Если существует непрерывная на [а, Ь) функция Р(х) такая, что Р' (х) =- = / (х) при х Ф с (обобщенная нереообразная), то ь ) /(х) де= Р(Ь) — Р(а). (2) 141 й з! НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Если ) г'(х))а г" (х) и интеграл ) г (х) бх сходится, то интеграл (3) тоже а сходится. Если 1 (х) ~ О и Иш (г (х) хм) =А Ф ео, А ~ О, т е. 1 (х) — — при х-ь оз, А к -> хш то: 1) при т > 1 интеграл (3) сходится, 2) при т ~ 1 интеграл (3) расходится, Пример 1. ~ —,= Иш ') — + Игп ) —,= !пп ( — — 1)+ Нш ( — — 1)=т — интеграл расходится, Пример 2. бх, Р бх а ,= Иш ) —,= 1пп (агс1НЬ вЂ” агс120)= —, !+ХЗ=Ь а,) 1+ХЗ=Ь ю 2' о П р и м е р 3.
Исследовать оходимость интеграеа Эйлера — Пуассона Ф е-к' бх. о (4) Решение. Положим е-к'бх= ~ е-кзбх+)Г е-кебх, Первый из двух интегралов в правой части не является несобственным, а второй сходится, так как е-к' ~е" к прн х'- 1 и Ю ь е"кбх= !пп (е как= !пп ( — е ь+е-з)=е-11 ь а следовательно, интеграл (4) сходится. П р и м е р 4. Исследовать на сходимость интеграл (3) Решение. Прн х — ++со имеем: 1 1 1 ! ! Ух'(!+ — ) " 1 '+ — " 5 4. Замена переменной в определенном интеграле Если функция 1(х) непрерывна на отрезке а~х~Ъ и х=-гр(1) — функиия, непрерывная вместе со своей производной Оз'(1) на отрезке а~г~р, где а= р(а) и Ь=- р(р), причем 1 (ф(!)) определена и непрерывна на отрезке сходится при р > О и г) > О.
1575ь. Доказать, что эйлеров интеграл 2-го рода 1гаммафункция) Г(р) = ~ ХР 'Е кг(Х о сходится при р > О. 142 (гл. в ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Так кик интеграл сходится, та наш интеграл (6) также сходится. П риме р 6. Исследовать на сходнмость эллиптический интеграл ! о (6) Решение. Точка разрыва подынтегральной фуикцив: х=1. Применив формулу 1 — х'=(1 — х) (!+х) (1+х') ° получим: 1 1 1 1 ГТ вЂ” хх )' (1 — х) (1+х) (1+хе) ' г' (1+х) (1+ха) (1 — х) з Следовательно, при х — + 1 будем иметь Так как интеграл 1 1 сходится, та данный интеграл (6) также сходится. Вычислить несобственные интегралы (или установить ие расходиность): Ю Ф 1555. ~ е . 1558.
~з!Нхг(х. и а 1545. ! =, з 1545. ~ — „),. о Р "" 1Ф. ! 1547. ~ '-'„". -1 1 1550. ~ а О 1553. ~ р ! 1548. ~ — „" . о 1551. ~ — „. 1 1554. Ф 1 2 1557. ~ — „. о 1 е! адмвнд пврвмвннои в опрвдвлвнном интвггдлв 143 1558. ~ †. 1559, ~ — (а > !). 1560. ( —., (а>1). о » » 1561. ~ с(нхс(х.
о О х'+! 1564. ( ,) (хз — !)к ' о е ! 1565. ~ .„ . 1566: о о Исследовать сходимость интегралов: !оо »Ф 1567 , , 1568. ( й' х+2 р/х+ха 2х+ р' х'-ц !+ 5 1569, ) з 1570, ( х™, х'+ р' х'+ ! ' „! у'хк-)-! -! ! 2 ~ з 1572. ) —, о ! 1573. ~ —.," с(х. 1574*. Доказать, что эйлеров интеграл 1-го рода (бэта- функция) 1 В(р, !)) = ~ хн з(1 — х)е-'Нх о 1562. ~ е ехс(х(я > О) о 6 4. Замена переменной в определенном интеграле Если функция г(х) непрерывва на отрезке ам=х~Ь и х=ф(Π— функции, непрерывная вместе со своей производной ~р'(!) иа отрезке а~!» тде а=р (сс) н Ь= р (5), при»ем 1 (ф(!)! определена и непрерывна на отрезке сходится при р > О и д > О. 1575е. Доказать, что эйлеров интеграл 2-го рода (гамма- Функция) Г (р) = ~ хл 'е х с(х о сходится при р > О. !гл.
и 144 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ га~! вам, то ь в $ 1 (х) г(х =- ~ Г (~р (Г)) гр' (Г) г(Г, П р и м е р 1. Найти и ~ ха Г'а' — х~г)х о (а > 0). Решение. Положим х=-ов!пг; г(а=асов! г(г, Тогда Г=агов1п — и, следовательно, можно принять а=агсв1ПО=О, х и ()=а!се!п1= —. Поатому будем иметь; 2' х' Уа' — хааа= ) а'в!и'! Г' ав — а'в!паГ асов!А о о оа Р оа Р а'~ в)п'!сраа гбГ= — ~ в!па2гг(г= — ~ (1 — сов 4!) б! = а.') = — ~à — а!п4!) 8 ~ 4 )~ 16' 1578. Можно ли интеграл ~,") — *ь о 1 1578. ! 1580. ~~(х)г(х, о 1577.
~ф'х+1г!х, х=2! — !. х = з)П1. 1579.. !в Г ха+1 х= е)11. х= агс(51. а 4 вычислить с помощью подстановки х=-соз(1 Преобразовать определенные интегралы с помощью указанных подстановок: ! 1! ВАменА пеРеменной В ОРРБделенном интеГРАле 145 1581. Для интеграла ь ~ 1(х) 1(х (Ь ) а) х ох 1 ео ох 1592. -1 2х 1594. Š— Зсоох указать целую линейну1о подстановку х=а1+5, в результате которой пределы интегрирования сделались бы соответственно равными 0 и 1. Применяя указанные подстановки, вычислить следующие интегралы: 1582.
1 х= 12. !+ Р'х о 29 з 1п 2 1584. ) $'ех — 11(х, о 1585' ) 3 2соо! 2 Ж 8 2 о о С помощью подходящих подстановок вычислить интегралы: 1 2 1587. ') 1, дх. 1588. 1 с( хх ',3 х 1'2 1 2 мь 1589. ~ ~ ", дх. 1590. ( ее+ 3 ~ 2х+ Рсзх+ ! Вычислить интегралы: 2 1 1591. х $' х*-1-Вх+ ! 1 о 1598. ') Р'ах — хо с(х. о 145 [гл. ч ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1595.
Доказать, что если ((х) — четная функция, то 1 ((х) йх=2) ((х) йх. Если же ((х) — нечетная функция, то ) ((х) йх=О. а 1596. Показать, что ~ е-х'йх 2~е-к йх (:"йх .) Ух Ю о о 1597. Показать, что ! а 1598. Показать, что ) ((з)пх)йх=) 1(созх)йх. 9 5. Интегрирование по частям а 1600. )!пхйх. 1 1602. ) ехз)пхйх. о И04. ) е аасозЬхйх о Если функции и (х) и а (х) непрерывно диф4мренцируемы на отреэие [а, а), то ь ь ь ) и (х) и' (х) йе = и (х) и (х) ~ — ~ и (х) и' (х) ах. (() а а а Применяя формулу интегрирования по частям, вычислить интегралы: 1599. ) хсозхйх.
о 1 1601. ) хаеаайх. о 1603. ~ хе-"йх. (а > О). о 147 а б! ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ 1606 ~ е-лаз|и Ьхб(х (а>0). о !606**. Показать, что для гамма-функции (сл!. )ЧР 1575) справедлива формула понижения: г(р+Ц=рг(р) (р>0). Отсюда вывести, что Г(и+1)=п!, если и — натуральное. 1607. Показать, что для интеграла л л 7л — — ~ 3!Пл хо(х = ~ созл х г(х о о справедлива формула понижения л — 1 7 = — 7 л Л л Э' Найти 7„, если и — натуральное. Пользуясь полученнойфор- мулой, вычислить 7, и 7!о.
1608. Применяя многократное интегрирование по частям, вычислить интеграл (см. )!(о 1574) ! В(р, 0)=Г~ХР г(1 — х)о-тг(х, о где р и !) — целые положительные числа. 1609*. Выразить через В (бэта-функцию) интеграл 1 „„= ') з!и" хсозлхг(х, о если пт и л — целые неотрицательные числа. и 6. Теорема о среднем значении 1'.
Оценк н ннтегр алов. Если 7(х)л-г (х) прн плах~о, то ь ь ) 1 (х) с(т ~ ) г" (х) о'х, л л Если 7 (х) я ф (х) непрерывны прн а ~х ~ Ь н, кроме того, !р (х) ~ О, то ь ь ь бл (ф(х)!(х~ (7(х) !р(х)г(Х~М ~ф(х)б(х> 148 1Гл. н ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ где ш-наименьшее, а М вЂ” наибольшее аыаченне функции /(х) на отрезке (а, Ь). В частности, ослы !р (х) аа 1, то ь ш (Ь вЂ” о) ~ ~ / (х) дх Ш. М (Ь вЂ” а). (3) а Неравенства (2) ы (3) можно соответственно заменить зквнвалевтнымн нм равен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
