demidovich-zad (832426), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Нормаль МС эвольвеиты Гэ яваяегси касательной к эволюте ГП длина дуги ССт эволюты равна соответствующему приращению радиуса кривизны СС,=! М,С,— МС), поэтому заольвенту Гэ пазы. вают также разверткой кривой Гь получающей ся разматыванием иатвыутой нити, намотанной на Гт (рис. 36). Каждой зволюте соответствует бесчисленное множество эвольвент, отвечающих С различным первоначальным длинам иитн. 4'. Вершины кривой. Вершиной кривой называется точка кривой, в которой кривизна имеет максимум или минимум. Для определения вершин кривой составляется выражеыие кривнзны К и находятся ее точки экстремума.
Вместо кривизны К можно везть радиус криг' ! внзны и= — н искать его точки экстремума, )К! Фб если в этом случае вычисления проще. Рнс. 36. Пример 2. Найти вершину цепной ливии х У=ась — (а > О). а х, ! х ! Решение. Так ыак У'=оь —, а у'= — сь —,то К= — и, слеа' а а' ох а з х йн 2х йи довательыо; )1 а сиз в . Имеем =зь — . Приравнивая проиэводную— а йх а' йх 2х нулю, получим зь — =О, откуда находим едынственыую критическую точку а ба х=о. Вычисляя вторую производную — ' и надставляв в нее зыачение йх' йо)1 ! 2 2х! 2 х=е, получим — „~ = — си — ~ = — > О. Следовательно, х=о есть йхо !!в=о а а !!в=о а точка минимума радиуса кривизны (или максимума ыривизиы) ценной линии.
х Вершиной цепной линии у=ась —, таким образом, является точка А (О, а). а Найти дифференциал дуги, а также косинус и синус угла, образованного с положительным направлением оси ОХ касательной к каждой из следующих кривых: 993. х'+у'=й' (окружность). хз рв 994. —,, + — „,=1 (Эллипс). 995.
у'= 2рх (парабола). 999. Хо(о+ую' = ао(о (аетрОНда). 997. у=асЬ вЂ” (цепная линия). а ДИФФЕРВНЦИАЛ ДУГИ. КРИВИЗНА 10! 998. х=а(1 — з!п1); у=а(1 — созг) (циклоида). 999. х = а соз' 1, у = а з! пх 1 (астроида). Найти дифференциал дуги, а также косинус и синус угла, образованного полярным радиусом и касательной к каждой из следующих кривых: 1000. г =ау (архнмедова спираль). 1001. г = — (гиперболическая спираль). Ч' 1002.
г = а зес' — (парабола). ч 2 1003. г = асоз' — (кардиоида). ч 2 1004. Г=ат (логарифмическая спираль). 1005. г'=а'соз2<р (лемниската). Вычислить кривизну данных кривых в указанных точках: 1006. у =х' — 4х' — 18х' в начале координат. 1007. х'+ху+9*=8 в точке (1; 1). х~ у~ 1008. —,+,—,=1 в вершинах А (а, О) и В (О, Ь). 1009. х=1*, у=--1з в точке (1; !). 1010. Гз=2а'соз2ф в вершинах с полярными углами 0=0 и ф=л. 1011. В какой точке параболы у' = 8х кривизна равна 0,128? 1012. Найти вершину кривой уе ех. Найти радиусы кривизны (в любой точке) данных линий: !013.
а=-х' (кубическая парабола). ха у2 1014. —,+ —,=1 (эллипс). 1015. х = У: — "". 4 2 1016. х=-асоз'1; у=аз!и'1 (астроида). 10!7. х=а(соз1+1з!п1); у=а(з!п1 — 1соз1) (эвольвента окружности). 10!8. Г=ае"ч (логарифмическая спираль). 1019. Ге а(1+соз<р) (кардиоида). 1020. Найти наименьшее значение радиуса кривизны параболы у'= 2рх. 102!.
Доказать, что радиус кривизны цепной линии у = = асп — равен длине отрезка нормали. а Вычислить координаты центра кривизны данных кривых в указанных точках: 1022. ху= ! в точке (1; 1). 1023. ау'=хх в точке (а, а). 102 экстРемумы Функции. пРилОжения пРОизВОднОЙ ггл.
Нн Написать уравнения окружностей кривизны данных кривых в указанных точках: 1024. у=х' — Ох+10 в точке (3; 1). 1025. у=е" в точке (О; 1). Найти эволюты кривых: 1026. у'=2рх (парабола). хй д1 1027. —,+ —.„= 1 (эллипс). йз Ь 1028. Доказать, что эволютой циклонды х = а (г — з1П 1); у = а (1 — соз 1) является смещенная циклоида. 1029.
Доказать, что эволютой логарифмической спирали г=аеьз является также логарифмическая спираль с тем же полюсом. 1030. Показать, что кривая (развертка окружности) х=а(созт+1з1п1); у=а(з1пт — гсозг) является звольвентой окружности х=:асоз|; у=аз(п(. АЛ В 1. Непосредственное интегрирование 1'.
Основные правила интегрирования. !) Если г'(х) =1(х), то ') 1 (х) Ых = г (х) + С, где С вЂ” яронзвольная постоянная 2) ~ А1(х)г(х = А ~ 1(х] Их, где А †постоянн величина. 3) 1 У (х) ~ 1 [х)) г(х = 1 1 (х) г(х ~ 1 1 (х) г(х 4) Если ~ 1(х) Их=с" (х)+С н и=ф(к), то ~ 1(и) гГи =Г (и)+С, В частности, 1(ах+Ь)г(х= — Р(ах+Ь)+С (а40). ! 2'. Таблица простейших интегралов.
хл+ ь 1. ~х»йх= +С. и ~ — 1. л+! 1[ С 1п)х(+С. р йх Нх ! х ! к 1РЕ 0! —,,= — агс!и — +С= — — агсс!и — +Сь (а Ф О). )хт)пт г(х ! !х — а! 1Ч. ! —,= — !и ~ — !+С (а фо). Ч. ~ =!и!х+ р'хь-гп(-)-С (аф0). Ь~хт-Р о Нх . х х Ч1. ( =агса!п — +С= — атосов — +Са (а > О), '.) Уа~ — хя !ГЛ. !Ч 104 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЧП. Р) ааз!х= — +С (а > 0)! )Рсзз)в=за+С, ЧШ. ~ в!пхз)х= — совк+С. 1Х.
) сов аз!х=в!их+С, Р з!х Х. ) — =!их+С. ,) совз х Р з7х Х!. ) —.= — с!их+С, ',) в!изх 3 ХИ. ) —.=!и !!и — +С=!п )совесх — с!як)+С, 2 ! ХШ. ) — =!п ~!Е ~ — + — 7!(+С=!п )!як+всех)+С. ',) совх ~ ~2 4) Х!У. ~ сивых=сЬк+С. ХЧ ~ сЬ х з7х = зЬ х+С. ХЧ!. ! — =!Ь х+С. Р з!х ',) спзх ХЧП. ) — „, = — !Ь в+С.
Р з)х П р н и с р !. ~ (ах'+ Ьх+ с) з7х = ~ ахз з)х+ ~ Ьх з!х+ ~ с з7х = хз хз = а )Р хз з!х+ Ь Р) х ах+ с Р) ах = и — + Ь вЂ” "+ах+ С. 3 2 Применяя основные правила !), 2), 3) и формулы интегри- рования, найти следующие интегралы: 1031. ) 5а'х'з1х. 1032. ) (6х'+8х+3) дх. 1033. ) х(х+а)(х+Ь)з(х. 1034. ~ (а+-Ьхз)'Их.
1035. ~ )' 2рхс!х. 1036, Г и'-' з зта 1037.,) (ах) ° 1х. 1038.,) (а — х з ) )х. 1030. 1 (Ь'х+1) (х — ) х+ 1) ! . 1040. ~ ! ) ! с!х 104!. з — з1х. Г' ах ,! хз+7' 1044. ( —, 1045. ,) Р'4+хз 1046. Г 1047 Г )' 2+х' — Р 2 — х ',) $'8 — хз' 105 непосРедстВенное интеГРИРОВАннв 1048*.
а) ~ 15тхг(х) б) ) ()тт х г(х. 1050. ) 3'е" с(х. 1049. а) ) с(дэхг(х; б) $ с()тэхг(х. $ ( (ф (х)) ~р' (х) Йх = ~ ((и) би, где и = ~р (х). Такого рода преобразование называется подведением пад знак дифференциала. Полезно отметить часто применяемые преобразования дифференциалов, которые, в частности, использовались в примерах 2 и 3: а) бх = — б (ах + Ь) (а ~ О); б) х бх =- — б (хэ) н т. п, 1 1 а 2 Применяя основные правила и формулы интегрирования, найти следующие интегралы: 1052*". ! ", ц(х. ,12хт1 1054. ) х — 1 г(х' 1058. ~ х'+ "+ ' г( х — ! 1051*'".
х+3 3'. Интегрирование путем подведения под знак днф- фе р е нцкала. Правило 4) значительна расширяет таблицу простейших ин- тегралов. А именно, в силу этого правила таблица интегралов оказывается справедливой независимо от того, является переменная интегрирования неза- висимой переменной или дифференцируемой функцией. 1 бх 1Г Пример 2. ( — = — ~ (5х — 2) э Ы(бх — 2)= ) )г'бх 2 5 ~ 1 т 1 — и' 1 (бх — 2)' = — ) и э Ыи = — ° — +С= — +С= — гг5х — 2+С, 5) 5 ! 5 1 5 2 2 где было положено и =5х — 2. Использовалось правило 4) и табличный интеграл 1, Пример 3.
3! ~ — — )п(х'-1- у'1 ' х!)+С. Г хбх 1 Г б(хэ) ,) 1Г1+хь 2,) у"1-,.(хэ)э 2 Неявво подразумевалось и=х', причем применялось правила 4) и таб- личный ннтегрзл Ч. П р и мер 4. ) хэе" бх = — ) еа б(хэ) = — сх +С в силу правила 4) и г 3,) 3 табличного интеграла т'Н. В примерах 2, 3, 4, прежде чем исэальзовать тат нли иной тзбчичный интеграл, мы приводили данный интеграл к виду МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 1177. гйп ах соз ох 9 2.
Метод подстановки 1'. Замена переменной в неопределенном интеграле. Полагая х= ~р (г), где ( — новая переменная и ф — непрерывно диффсренцируемая функция, бу- дем иметь: ~ ) (х) дх = $ / [н (1) ) ю' (г) оа Функю~ю ф стараются выбирать таким образом, чтобы правая часть формулы (1) приобрела более удобный для интегрирования вид, Пример !. Найти ~х Ргх — 1бх. Р е ш е н не. Естественно положить ( = — 'ггх — 1, отсюда х= Р+1, и бх=2! б!. Следовательно, х р' х — ! йх =- ~ (Р+ Ц 1. 21 й( = 2 ~ ((4+ 89 б! = 6 а а 2 а 2 а = — П+ — Ге+С= — (х — 1) + — (х — 1) +С.
5 3 Иногда применяются подстановки вида =ф (х). Допустим, что нам удалось подынтегральное выражение 1(х)бх преобразовать к такому виду: ((х) бх = й (и) Йю, где и == ф (х). 1179. х (4 — 1па х) 1181, ~ е-'ахзестхг(х. 1183. в!пах совах )/ веса х -1- 1 1! 87*. 1189. ~ ха сЬ (х'+ 3) г(х. 1178. ~ в)п (-ф-+ фа) с(!. х ( агссоа— 1180. ) г(х. г' 4 — ха 1!82 ( а!нхсоах 1 р2 — 51п 1188 ) г + г(х 1+ ха ГЗВ 1190. ~ — „, г(х. !ГЛ.
1Ч НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Если ~ 2(и) би известен, т. е. ~ б (и) )Ти = г' (и) + С, ~ 7(х)бх=г (ч)(х))+С. Зтим способом мы уже, собственно говоря, пользовались з 4 1, 3'. Примеры 2, 3, 4 $1) можно было решить следующим образом: 1 Пример 2. и=Ох — 2; ба=бах! )(х= — аи. 5 йх 1Г аи 1 из 2 — == — — +С= — г'бх — 2+С. — О~У-и б 1 =б 2 )1и П р и и е р 3. и = х'1 ди = 2х бх; х ах=-,— о == — ) — 1п (и+ з)Т+и))+С =* хбх 1 Г )(и 1 )Г !+хе 2 ) )г 1+из 2 2 = — !п(х'+ у'Т+хз)+С, Пример 4.
и=хе; ба=3»збх; хзИх= —, би 3 ' хзе» ах= — ~ е»с!и=» — е»+С= — е* +С, --1 1 Р 1 1 3) 3 3 2е. Три гоыометрические подстановки. Пусть а > О, тогда: 1) Еслы интеграл содержит радикал ГГае — хз, то обычно полагают х= =аз(п11 отсюда р а' — т'=асоз1. 2) Если интеграл содержит радикал ))х" — аз, то полагают х=азесП отсюда )/х' — а'=а 121, 3) Если интеграл содержит радикал )/хз.(-аз, то полагают к=а!2 П отсюда у ха+а'=а зес1.
Заметим, что тригонометрические подстаыовки не всегда окаэызаютсн выюдными. Иногда вместо трнгонометрическии подстанозок удобнее пользоваться зилерболичесхиии лобсшалоехами, которые имеют аналогичный характер (см. пример 1209). 0 трыгоыометрическнх и гиперболических подстановках более подробно см. в $9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
