demidovich-zad (832426), страница 10
Текст из файла (страница 10)
азу 6 6, Дифференциалы первого и высших порядков г(у=у' Их. Отсюда Если М)т' †ду графика функции у=- =1(х) (рис. 19), МТ вЂ” касательная в точке М(х, у) и РО= Ьх= дх, то приращение ординаты касательной АТ=г(у Рис. !9. и отрезок АД(=ау. Пример 1. Найти приращение и дифференциал функции у=Зхв — х, Решение. 1-й способ: Ьу = 3 (х+ Ьх) з — (х+ Ьх) — Зхз+ х или ау=(бх — !) ах+3(Ьх)з. Следовательно, Иу = (бх — 1) Ьх =- (бх — 1) <Ь. 2-9 способ: у'=бх — 1! 'Ыу=у'ах=(бх — !)г(х За 1а.
Дяффер е нци ал пер ного порядка. Дифференциалом (лервого порядка) функция у=((х) в точке х называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения Ьх = Йх независимой переменной х. Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал иезавнсимой переменной (гл. и ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ П р имер 2. Вычислять Ьу и бу функции у=3х' — х пря к=1 в Ах=0,01. Решение. АУ=(6 -!).йх+3( )з-5.00!+3.(0,01)з=0,0503 бу = (бх — 1) Ьх = 5 0,0 ! = 0,0500.
2е. Основные свойства д н ф ф е р е н ц н а л о в! 1) ус=0, где с=сопз!. 2) ух=Ах, где х-независимая переменная. 3) и(си) =спи. 4) б (и ю о) =Ни ю бо. 5) б(ио)=ибо+оба. 5) б (-")=" ",," ( та О). 7) бг(и)=/'(и)Ыи. 3'. Применение дифференциала к приближенным вы- ч н сл ен и ни. Если приращение Ьх аргумента х мало по абсолютной вели- чине, то дифференциал йу функции у=1(х) и приращение Ьу функции при- ближенно равны между собой Аушбу, т. е.
Г (х+Ак) — 1 (х) ш 1' (х) Ак, отиуда /(к+Ах) ш !(х)+!'(х)Ьх. (!) П р и м е р 3. Насколько приблизительно изменится сторона квадрата, если площадь его увеличилась от 9 мз до 9,! мз! Решение. Есле к — площадь квадрата и у — сторона его, то у= г' к. По условию задачи: х=9; Ах=О,!. Приращение Ьу стороны квадрата вычисляем пряближенно! Ау ш бу =у'Ьх = — 0,1 0,016 м. ! 2)/9 4', Дифференциалы высших порядков. Ящйфереициалом инорозо порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка: 5 ау = г( (г(у).
Аналогично определяются дифференциалы шрсюзего и т. д. порядков. Если у=! (х) и х — независимая переменнан, то бзу = у" (бк)з бау = у"' (йх)з, лчу — у!з> (их)а Если же у=7(и), где и=~р(к), то бту=У'(би)з+у'бзи, о"у=у'"(би)з+ЗУ'би бзи+у'бзи п т. д. (Здесь штрихами обозначено дифференцирование по и.) $ 61 ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПЕРВОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 69 712. Найти приращение Лу и дифференциал «19 функции у=5х+х' при х=2 и Ах=0,001. 713. Не вычисляя производной, найти а! (! — х') при х=! и Лх = — —. 1 з 714. Площадь квадрата О со стороной, равной х, выражается по формуле Я=ха.
Найти приращение и дифференциал этой функции и выяснить геометрическое значение последнего. 715. Дать геометрическую интерпретацию приращения и дифференциала следующих функций: а) площадь круга 3= ях'; б) объем куба о=ха. 716. Показать, что при Лх — 0 приращение функции у=2", соответствующее приращению х на величину Ьх, при всяком х эквивалентно выражению 2" Лх !и 2. 717. При каком значении х дифференциал функции у=х' не эквивалентен приращению этой функции прн Лх- О? 718. Имеет ли функция д=!х! дифференциал при х=О? 719.
Пользуясь производной, найти дифференциал функции у=созх при х= — и Лх= —. 88' 720. Найти дифференциал функции 2 у== при х=9 и Лх= — 0,0!. 721. Вычислить дифференциал функции у=!дх при х= —" и Лх= — ". 3 180 Найти дифференциалы следующих функций для произвольных значений аргумента и его приращения: 722.
у = —. 723. у = —. к ка ' 1 — х 724. у= агсз!и —. ч' 725. у=агс!9 —. о о 726. у=е-". '4727. у=х!пх — х. 728. у = 1п — . ь~729. г = с!9 ф+ созес ф. 730. з= агсс!йет. 731. Найти с!у, если х'+2ху — у'=а*. Р е ш е н н е. Пользуясь инварнантностью формы дифференциала, получим: 2хох+2(уох+хоу) — 2уоу=о. Отсюда о'у = — — ох.
к+у к — у (гл. и 70 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ Найти дифференциалы следующих функций, заданных неявно: 732. (х+у)'(2х+у)'=1. х 733. д= е и, 734. !п)/'ха+да = агс16 — ". х 735. Найти г(у в точке (1! "2), если уа — у = бх'. 736. Найти приближенное значение з)п 31'. Ре шемие. Полагая х=агс30'= — и Ьх=агс!'= —, иа формулы (1) 0 !ао' (см. 3] имеем шп31'ги и!п30'+ — соаЗО'=0 500+00!7 — =05!5. 180,' ' 2 'ь' 737.
Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно вычислить: а) соз 61', б) (и 44'1 в) е"; г) !6 0,9; д) агс1а1,05. 733. Насколько приблизительно увеличится объем шара, если его радиус Я =15 см удлинится на 2 мм? 739. Вывести приближенную формулу (для (Лх), малых по сравнению с х) )'х+Лхж) гх+— 21' х и с ее помощью найти приближенные значения для )'5; )/17; )'70' $'640. 740. Вывести приближенную формулу )г"х+ Ьх ж у' х+ = ЗарÄ— е и найти приближенные значения для ~'10, ~~70, ~~ 200. 741.
Найти приближенные значения функций: а) д=х' — 4х*+5х+3 при х=1,03; б) ) (х) =) г 1 + х при х=0,2; в) 1(х)= ~гг —, при х= 0,1; г) у=е'-" при х=1,05. 742. Найти приближенное значение 1н45'3'20". 743. Найти приближенно агсз)п 0,54; 744. Найти приближенно )гг17. 745. Показать, основываясь на формуле закона Ома ! = —, что Е малое изменение тока, обусловлецное малым изменениемсопротивления, может быть найдено йриближенио по формуле бу= — ~~ М. $71 71 ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ 746. Показать, что относительная погрешность в 1% прп определении длины радиуса влечет за собой относительную погрешность приблизительно в 2% при вычислении площади круга и поверхности шара.
747. Вычислить г(зу, если у=соз5х. Р ею е н не. гРу= у" (бх)з=- — 25 созбх (бх)з. 748. и =')7гТ вЂ” х', найти сРи. 749. у = агссоз х, найти с(зу. 750. у=з!пх)пх, найти 7(зу. 75!. г = —, найти сРг. 1пх х 752. г=х'г ", найти сРг. ха 753. г= —, найти сРг. 2 — х' 754. и =За(п(2х+5), найти с(ии. 755 у ел сот из!п (ха!па) найти г(лу $7. Теоремы о среднем 1'. Теорема Ролля. Если функция 1(х) непрерывна на отрезке а~х~Ь, имеет производную 1' (х) в каждой внутренней точке етого отрезка и 1(о) =1(,Ь). то для аргумента х существует по меньшей мере одно значение 5, где а < 5 < Ь, такое, что 1' (5) =о.
2'. Т е о р е м а Л а г р а н ж а, Если функция 1 (х) непрерывна на отрезке а~х~Ь и имеет производную в каждой внутренней точке этого отрезка, то 1 (Ь) — 1 (а) = (Ь вЂ” а) 1' (5), гдеа<$<Ь. 3', Теорема К о щи. Если функции 1(х) и г (х) непрерывны иа отрезке а~х~Ь и при а < х < Ь имеют производные, не обращающиеся в нуль одновременно, причем г" (Ь) ~ Р(а), то 1 (ь) — 1(а) 1' ($) р (Ь) л (о) = рр (5) где о < ь < Ь.
756. Показать, что функция ) (х) =х — х' на отрезках — ! ц (х(0 и 0(х~! удовлетворяет условиям теоремы Ролля. йайти соответствующие значения $. Р е ш е н а е. функция 1 (х! нецрсрывяа и дифференцируепа для всех значений х, кроме того, 1( — !)=1(О)=1(!) —..О. Следовательно, теорема Ролла применима на отрезках — 1ч. х< О и О~х~ !. Для нахозкдения числа 5 составляем уравнение: 1'(х)=1 — Зх =О. Отсюда57= — )г —; 5з= 1гг причем — 1<5т<О; О<$з<1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ !гл. и 757.
Функция 7(х) = )~~ (х — 2)' на концах отрезка [О, 41 принимает равные значения 1(0) =1(4) = ~~/4. Справедлива ли для этой функции теорема Ролля на отрезке [О, 417 758. Выполнены лн условия теоремы Ролля для функции 7 (х) = 15х иа отрезке (О, п)7 759. Пусть у(х) =х (х+1) (х+2) (х+3). Показать, что уравнение 1'(х) =0 имеет три действительных корня. 760. Уравнение е'=1+х, очевидно, имеет корень х=О. Показать, что это уравнение не может иметь другого действительного корня.
76!. Проверить выполнение условий теоремы Лагранжа для функции ~(х) =х —.* на отрезке [ — 2, 11 н найти соответствующее промежуточное значение $. Решение. Функция 1(х)=х — ха непрерывна и дифференцируема для всех значенка х, причем !' (х) = ! — Зха. Отсюда по формуле Лагранжа имеем ! (1) — 1 ( — 2) =0 — е= [! — ( — 2)1 !' (5), т. е. !' (Ц= — 2. Следовательно, ! — Зла= — 2 н 5= х 1; годится только значение $= — 1, для которого сира.
ведливо неравенство — 2 < $ < 1. 762. Проверить выполнение условий теоремы Лагранжа и найти соответствующую промежуточную точку $ для функции )(х) =хч ° на отрезке [ — 1, 11. 763. Для отрезка параболы д=хз, заключенного междуточками А(1; 1) и В(3; 9), найти точку, касательная в которой параллельна хорде АВ. 764. Пользуясь теоремой Лагранжа, доказать формулу з!и (х + Ь) — 3!и х = гг соз ьг где х < $ ( х+ 8. 765. а) Для функций 1(х) =ха+2 и г (х)=ха — 1 проверить выполнение условий теоремы Коши на отрезке [1, 21 н найти $; б) то же для )(х) =з1пх и г(х) =созх на отрезке [О, — "! . Зз) ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 5 8.
Формула Тейлора Ясли функпия /(х) непрерывна и имеет непрерывные производные др (и — 1)-го порядка включительно на отрезке а~х~Ь(нли Ь~х~ а), причем в каждой внутренней точке этого отрезка существует конечная производная /гш(х), то на этом отрезке справедлива форлула Тейлора 7(х) =7 (а)+(х — а) /' (а)+ 1' (а) + 1""(а)+" ° ..+(' ')п ') -'()+(х ')п("(З). (л — 1) ! л! где В=а+6 (х-а) и О < В < 1. В частности, при а=О имеем (чгормула Маклорена): г(х) г(О)+«г~(О) ( " г (О) 1 „, ! " )тп-ьг(О)+" гш1(е), где $ =- Ох, О < В < 1. 766.
Многочлен 7(х) =х' — 2х'+Эх+5 разложить по целым неотрицательным степеням бинома х — 2. Р е ш е н н е. /' (х) = Зхз — 4х+ 3; /" (х) = бх — 4; 1"' (х) = б; гсп' (х) .= О длн лрь 4. Отсюда: 7(2)=11; ~' (2) =7; !" (2) =8; !"' (2) =б Следовательно, х' — 2хз+Зх+5=11+(х — 2) 7+ — ° 8+ — ° б (х — 2)з (х — 2)в 2! 31 или хз — 2хз+ Зх+ 5 = 11+ 7 (х — 2) + 4 (х — 2) з+ (х — 2)*. 767. Функцию Т(х)=е" разложить по степеням бинома х+! до члена, содержащего (х+ 1)'.
Р е ш е н и е. !чп1 (х) = е* для всех л, )ш1( — 1) = — . Следовательно, 1 "= — +(х+ 1) — + 1 1 (х + 1)з 1 (х + 1)з 1 (х + 1)е е е 21 е 3! е 4! + — — + — ей, где 3 = — ! + В (х + 1), О < В < 1. 768. Функцию 1(х)=!пх разложить по степеням х — 1 до члена с (х — 1)*. 769. Функцию 7(х)=з!пх разложить по степеням х до члена с х' и до члена с х'. 770.
Функцию 7(х)=е' разложить по степеням х до члена 77!. Показать, что з(п(а+)г) отличается от з(па+)!сова не более чем на — Из. 1 2 !гл. н ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 772. Выяснить происхождение приближенных формул: а) ) ' 1+ х ж 1+ — х — 8 х*, ~ х ~ < 1, 1 1 з б) ~хх1+х~ 1+ — х — х', ~х~ < 1, и оценить их погрешность, 773. Оценить погрешность формулы 1 ! 1 е ж2+ — + — + —. 2! 3! а!' 774. Тяжелая нить под действием собственного веса провисает по цепной линии у=асЬ вЂ”.
Показать, что для малых )х~ форма нити приближенно выражается параболой хз п=а+ —. 2о' 775а*. Показать, что при )х)(~а с точностью до Я имеет место приближенное равенство 5 9. Правило Лопиталя — Бернулли раскрытия неопределенностей о 1'. Раскрытие неопределенностей типа — и —. Пусть одно- 0 аа значные функции 1(х) и ф(х) дифференцируемы при 0 <)х — а)< Л, прнчеы производная ф' (х) не обращается в нуль.
Если 1(х) и ф(х) — обе бескояечно малые или обе бесконечно большие при х-ь а, т. е. если частное — представляет в точке х=а неопределен) (х) р (х) 0 со ность типа — илн —, то 0 оз' Ьп — = 1(ш —, /(х) 1' (х) х аф(х) х аф (Х) при услонии, что предел отношения производных существует (правило Лолиталл — Бернулли). Правило применимо и в случае, когда а= аз. Если частное †, вновь дает неопределенность в точке х=о одного из !'(х) ф'(х) двух упомянутых типов и г' (х) и ф'(х) удовлетворяют всем требованиям, раисе сформулированным для 1(х) и ф(х), то можно перейти к отношению вто.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
