demidovich-zad (832426), страница 8
Текст из файла (страница 8)
к х х+1 2'. Производные фуннцнй, заданных параметрнчески. Если зависимость функции у и аргумента к задана посредством параметра ! х==ф(1), у=- ф (!). ° ут Ук ='=. г х! [гл. и 54 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ или в других обозначениях ку бу ~И бх ох' б1 Пример 2. Найти —, если бу г(х ' х= а соя 1, у=аз(п1. бх . Еу Р е ш е и и е. Находим — = — а юп 1 н — =асов 1. Отсюда о1 б1 пу осоз1 — = — с(я 1. бх — аз(п1 3'. П роиз в одна я неявной функции. Если зависимость между х и у задана в неявной форме г (х, у) = О, (!) то для нахождения производкой ух=у' в простейших случаях достаточно: !) вычислить производную по х от левой части уравнения (!), считая у функнией от х; 2) приравнять зту производную нулю, т. е. положить — г" (х, у)=О, о ях (2) н 3) решить полученное уравнение относительно у'.
Пример 3. Найти производную у„, если хе+ уз — Заку = О. Ре шеи не. Составляя производную левой части равенства (3) и приравнивая ее нулю, получим: Зхе+ Зу'у' — За (у+ ху') = О, отсюда х — оу у ах — у* ' х„', если 58!. Найти производную а) у=Зх+х', ! 6) у —.х — — шпх, в) у=О,)х+е'. Определить производную пар аметри чески: у = — для функций у, заданных ф !(у 1 1-~-! $ у = ( —,',,)'. у= х= асов'1, 589, у= Ь з)пв1. Севз 1 х= 1/ с052! 5103 ! г' с0521 х=21 — 1, 582. у = 15. 5 х=а(соз1+151п 1), 588. у=а(яп1 — 1соз1). х = а сои'1, 599. у = Ь яп'1.
1 х = агссоз 592 ~1-1-" 1 у = агсяп у !тгв 594. ~ 2 х=а 1п19 — +соз1 — яп1~ у = а (яп 1+ соз 1). 595. Вычислить — при 1= — если ид а дх 2 ' х=а(1 — япг), у = а (1 — соз 1). Хга', 593. у=С". ' 510— 2 =1. и — С05— 2 ек 05!п ! 510 1 1'Пв'1 Решение. — = = и 1 — 11 дХ 0 (! — С05 11 ! — С05 ! ~4Х/ С /С= =-11п1, 10 ! хг вссоз1, у=с'и!п1. 596. Найти — при 1=1, если еу ах у 597. Найти — при 1= е, если 0'д П 598.
Доказать, что функция у, уравнениями заданная параметрически х= 21+ 315 у=(5+215 551 пяоизводныв фкнкции. нв являкицихся явно заданными 55 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 1Гл. ц удовлетворяет уравнению 599. При х=2 справедливо равенство х* = 2х. Следует ли отсюда, что (х') ' = (2х') при х=27 600. Пусть у=)'а' — х'. Можно ли почленно дифференцировать равенство ха+ уе аар Найти производную у = — „ у лу ох 60!. 2х — бу+10=0. 610. !9 у = хд. 6!2. Егс!Й(х+у) =х. 614.
!Нх+е "=с. 616. агс1и у = — 1п (ха+у*). Р е ш ем и е. Лиффереипируя, имеем 2у'=у'+Зку'у'. Полагая к=1 а у=1, получим 2у'=!+Зу', откуда у'= — !. 620. Найти производные у' заданных функций у в указанных точках: а) (х+у)а=27(х — у) при х=2 и у=1; б) угу=а +" при х=О н у=1; в) у'=х+!и —" при х=1 и у =1. х 605.
ха+да 605. )Гх+) у=)'а. х — у 607. д = —. "+у 609. асоз'(х+у) =0. 611. ху=агс1и — ". у 613. Еа=х+д. 615. 1п у + — = с. у 617. 7 х*+у'с аагс!и -". х 619. Найти у' в точке М(1 2у= от неявных функций у: кч уч 60' о+а 604. х'+х'у+у'=О. 606. ~/ х'+ у' у' = у' аа. 608. у — 0,3 зйп у = х. 618. х" =у". ; !), если 1+хд'.
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОИ $4. Геометрические и ыехвничесиие приложеиии производной 1'. У равнения касательной и нор мали. Из геометрического смысля производной следует, что уравнение касательной к кривой у=) (х) нлн г" (х, у) =О в точке М (хе, уе) будет У вЂ” Уе = Уе (» — «о). где уе есть значение производной у' в точке М (ха, уе). Прямая, проходящая Рис. 12.
Рис. 13. через точку касания перпендикулярна к касательной, называется нормалью к кривой. Для нормали получаем уравнение х — хе+уе(у — уй =О 2'. Угол между к р изыми. Под углом между кривыми У=В (") и у=!а (х) в пх общей точке Ма(х„уе) (рис. 12) понимается угол ю между касательиымн Мед н МаВ к зтим кривым в точке Ме. По известной формуле аналитической геометрии получаем: га (хо) )т ("е) 1+);(хе) );(хе) 3'. Отрезки, связанные с касательной и нормалью, для случая прямоугольной системы координ ат. Касательная н нормаль определяют следующие четыре отрезка (рис.
13): Г=ТМ вЂ” так.называемый отрезок касательной, Вг = Т К вЂ” надкагательная, л = )УМ вЂ” отрезок нормали, Вч = КДà — лоднормаль. Так как КМ = ! Уе ! " 12 'р= уз та~ ау~ ~„~ ~, .=им !ч~/~.цю)'!' ~е Вг=тк=)41; В.=(уу,'! ! Уе ! Уе !гл. и диффврпнцнповлнив функции 4'. Отрезки, связанные с касательной н нормалью, для случая полярной св стем ы коо рдн н а т.
Если кривая задана в полярных коорднватах уравнением г=!(ф), то угол р, образованный касательной МТ н полярным радиусом гьь ОМ (рве. 14), определяется следующей формулой: йр г !кр=г — = —. йг г'' Касательная МТ н нормаль Мь! в точке М вместе с полярнньв радиусом точки Рве.
!5. Рве. 14. касания в перпендвкуляром к полярному радиусу, проведенным через полюсо, определяют следующне четыре отрезка (см. рве. 14): ! = МТ вЂ” отрезок полярной касательной, п=Мь! — отрезок полярной нормали, Бе = ОТ вЂ” полярная нодкиееинельнаь, Зп=ОГà †полярн иоднормаль. Этн отрезки выражаются слсдующвмн формулами: г гь — )Г гь+ (г')ь! Ле = ОТ = —, ! 1г'1 ' )г'1 ' и = М Ф = )г гь+ (г') ь; Яь = О)У = 1 г' 1. 621. Какие углы ф образуют с осью ОХ касательные к кривой у=х — х в точках с абсцнссамн: а) х=О; б) х= —; в) х=1? 1 Решена е. Имеем р'=! — хя.
Отсюда: а) !Кф=!, ф=45'! 5) !дф=о ф=о', В) !Кф= — 1, ф=135ь (рне. 15). 622. Под какими углами синусоиды у=з)пх и у=з)п2х пересекают ось абсцисс.в начале координат? 623. Под каким углом тангенсонда у=1йх пересекает ось абсцисс в начале координат? 624. Под каким углом кривая у=е"зв пересекает прямую х= 2? 626, Найти точки, в которых касательные к кривой у =йхь+ + 4х' — 12ха+20 параллельны оси абсцисс. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 59 626. В какой точке касательная к параболе у =х' — 7х+3 параллельна прямой 5х+у — З=Ор 627. Найти уравнение параболы у=ха+Ьх+с, касающейся прямой х =- у в точке (1; 1).
628. Определить угловой коэффициент касательной к кривой х'+у' — ху — 7=0 в точке (1; 2). 629. В какой точке кривой уэ=2х' касательная перпендикулярна к прямой 4х — Зу+ 2 = — О? 636. Написать уравнения касательной и нормали к параболе у=~/х в точке с абсциссой х= 4. ! Решение. Имеем у'==; отошла угловой коэффициент касатель. 2 1'х ! ной й= (у'1 ! —— —. Так как точка касания имеет координаты х=4, у=2 4" ! то ураанение касательной есть у — 2= — (х — 4), или х — 4у+4=.0.
4 В силу условия перпендикулярности угловой коэффициент нормали йт== — 4, откуда уравнение нормали у — 2= — 4(х — 4), илн 4х+у — (8=0. 63!. Написать уравнения касательной и нормали к кривой у = х'+ 2х — 4х — 3 в точке ( — 2; 5). 632.
Найти уравнения касательной и нормали к кривой у= ~хх — 1 в точке (1; О). 633. Составить уравнения касательной и нормали к кривым в указанных точках: а) у = 16 2х в начале координат; х — ! б) у =агсз)п — в точке пересечения с осью ОХ; в) у =агссоэ Зх в тачке пересечения с осью ОУ; г) у=)пх в точке пересечения с осью ОХ; д) у=е' " в точках пересечения с прямой у=-1. 634. Написать уравнения касательной н нормали в точке (2; 2) к кривой 60 1гл. и диефвгвнциговлние еэнкцип 635. Написать уравнения касательной к кривой х=1соз1, у=1япт в начале координат и в точке 1= —. 4 ' 636.
Написать уравнения касательной и нормали к кривой х~+у'+2х — 6=0 в точке с ординатой у=а. 637. Написать уравнение касательной к кривой х'+у'— — 2ху=О в точке (1; 1). 638. Написать уравнения касательных и нормалей к кривой у=(х — !) (х — 2) (х — 3) в точках ее пересечения с осью абсцисс. 639. Написать уравнения касательной и нормали к кривой у'=4х'+бху в точке (1; 2).
640*. Показать, что отрезок касательной к гиперболе ху = а', заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам. 641. Показать, что у астронды х*м +у'1' = ам' отрезок касательной, содержащийся между координатными осями, имеет постоянную величину, равную а. 642. Показать, что нормали к развертке окружности х=а(созг+1яп1), ус а(з1пг — асов!) являются касательными к окружности х'+у'=а'. 643.
Найти угол, цод которым пересекаются параболы у= =(х — 2)' н у= — 4+ах — х'. 644. Под каким углом пересекаются параболы у=х' и у=х'Р 645. Показать, что кривые у=4х'+2х — 8 и у=х' — х.+10 касаются друг друга в точке (3; 34). Будет ли то же самое в точке ( — 2; 4)7 646. Показать, что гиперболы ху=а' и х"- — у'=Ь' пересекаются под прямым углом. 647. Дана парабола у'=4х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
