demidovich-zad (832426), страница 7
Текст из файла (страница 7)
(!о х)'= —. ! с!Пх' () х) > !). () х! < 1). 46 1гл. и диаавввицивовьииа аиикций А. Алгебраические функции 369. у= — — — х+х' — 0 5хз. 1 1 4 3 3 Зхз 371. у = —— 373. у= Ьаа„„з. 375. у=Зхз — 2х' +х '. а Ь 377. у=— 379. у= —. 2»+ 3 хз — Зх+ 3 ' 381. у= — ' 1+ Ье 1 — Ух 368. у = хз — 4хз+2х — 3.
370. у = ах'+ Ьх+ с. 372. у =а!" +Ы'"+а. 374. у= — "+1п2. 376*. у=х' ьеехз. 378. у = —. а+ Ъх с+ах ' 2 1 380. у= — —. 2х — 1 х Б. Функции тригонометрические и обратные круговые 383. у = 1и х — с! 5 х'. 385. у = 21 ЬЗп 1 — ((з — 2) соз 1, 387.
у=хс1дх. (! + х') ага!а х — х 389. у= 382. у =5еЗпх+Зсоах. 384 =з'""+са'х з1п х — саз х 386. у = агс15 х+ агсс1и х. 388. у = х агсз(п х. В. Функции пок тельные и логарифмические 391. у=(х — 1)е. х' 393. у= —. е" 395. у = (х' — 2х+ 2) е '. хз 397. у= —. 1и х ' 390. у =х'е». е» 392. у= —,, хе ' 394. ((х) =е»созх. 396. у=е"агсв!пх. 398. у=х'1пх —. хз з' 1 1пх 399. у = — + 2 1п х — — . х х 400. у = 1п х 15 х — 1п а 1о6, х.
хз 402. у= — „. сйх' 404. у= —. Зс!!з х !пх 401. у=ха(1 х. 403. у=йх — х. Г. Гиперболические и обратные гиперболические функции танличное диФФеРенциРОВАние 405. у = а ге(д х — Аг1)г х. 406. у = агсз(п х Агз)г х. Агсих Асс на х 407. у= —. а 408. у=— ха Д. Сложные функции Найти производные следу!Ои(их функций (в Лез№ 409 — 456 необходимо использовать правило дифферегннирования сложной функции с одним промежуточным аргументом): 409.
у=(!+Зх — 5хз)а". Решение. Обозначим 1+Зх — Бх'=и; тогда у=им. Имеем: у,',=ЗОиай и„=-3 — !Ох; у,: — 30и" (3 — !Ох) —.30(! ! Зх — 5х')а' (3 — 10х). 410 — ( ох ~ ь)а 411. ) (у) =- (2а -1- ЗЬу) з. 412. у=(3+2хз)'. 413. 3 1 ! 56 (2х — 1)г 24 (2х — 1)а 40 (2х — 1)а ' 4!4. у = ! 1 — х' 415. у = !!а+ Оха. 416. у=(ап — хг)н.
4!7. у=(3 — 25!пх)з. Р е ш е н и е. у' =5 (3 — 2 з(их)',(3 — 2 з(п х)' =5 (3 — 2 з!и х)' ( — 2 сон х) = = — 10 соз х (3 — 2 з( и х)а. 4!В у !ах 3 19~к+ !и х 1 ! 5 419. у=)'с(их — )'с1да. 420. у=2х+5соз'х. 421*. х=созеса!+Веса!. 422. !(х) =— 1 6 (1 — 3 соз х)з ' 425. у= у'з!пах+, 426. у=$' 1+агсз!пх. а 1 427. у =- ) гааге 19 х — (агсейп х)'. 428. у= ! 429. у =)l хес+х агсгк х ' 430. у= — РГ2ех — 2" +1+1п'х. 43!. у=з!пЗх+соа — +1д$'х.
5 Р с ш е н и е. у' = соз Зх (Зх)' — шп — ( — ) + ( у' х )' = 5 (, 5 ) созе р'"х 1, х 1 == 3 соз Зх — — з1п — + 2 )гх созе )гх 452. у=з!п(хз — 5х+1)+19 —. 453. 1(х) =соя(ах+Я. 434. 7(!) =5!п(з!п(1+<р). 435. у=',+"",. 436. ~(х) =ас16-„.
! 1 437. у= — — соа(5х') — — соах'. 20 ' ' 4 438. у = агсвп2х. Решение. у'= ' (2х)'= 1, 2 У 1 — (2х)в 'г' ! — 4хв 439. у= агсвп —,. 440. 7 (х) = агссоя $'х. 44!. у= агс!д —. 1 442. у = агсс1д —, 1+х 443. у=5е ". 444. у= —,. 1 ах 445. у =х'1О". 446. 7'(!) — -! вп 2'.
447. у = агссояех. 448. у = 1п (2х + 7). 449. у = 1д в п х. 450. у =! и (! — х'). 451. у =-)п'х — 1п ()их). 452. у=-!п(ех+5я!их — 4агса)их). 453. у =- агс(6 (1п х) +1п (агс16 х). 454. у =--)l )их+1+!и(Ух+1). Е. Раэные функции 455"". у=вп'5хсозв —. э' 456 457 458 460 462 463 464 465 466 467 468 469 дифааеанциеовхниа авиаций 11 4 у=— 2(х — 2)в х — 2' 18 10 1 у 4 (х — 3)в 8 (х — 3)в 2 (х — 3)в хв 459 - в 2х 2х+1 8 (1 — хв)' ' х хв у= 461.
у= ав Уа~+хв . 8 У(1+~')' ' Зз — 18 в — 9 з — в б в У = — РХ Хв + — Х ~Г Х + — Х З Хв + — Х' )Х' Х. 2 7 8 18 у = ~,/ (1+ хв)в у'(1+ хе)в 4 ~ / х — 1 у=х'(а — 2х*)'. =( — -'::) 9 3 2 1 у= — — + — — —. 8 (х + 2)в (х -~- 2)' (х + 2)в 2 (х + 2)в у = (а+ х) ~' а — х. у= ! 2! ТАБЛИЧНОЕ ДИФФЕРЕННИРОВАНИЕ г-.— )/ д + )/у. 1(!) =-(2!+1) (31+2) ~l 31+2. ! Ч == !п (1 ! + ек — !) — 1п ($' ! + ек + !). у = = сиах х (3 сиас х — 5) ! |5 !|Е' х — !| !|а'х ! |О |22 х е |! а|дс к 470 471 472 473 474 475 476.
у — — -1И25х. 477. д= —,, а!п(хс). 478. у= Б!пс(гс). 479. у=- За|и хсиасх+Б!псх. 480. у= — „1д'х — !ах+к. 48!' у' зч ' + 3 с!ах. ! СО5Х 4 482. С вЂ” $~ ЕС Дг. Х *. ССЗ. С вЂ” «С ! к — ! 484. д=- —,(агса!их)'агссаах. 485. у — агса!и '— , 486. у.— — агса!п=.
487. у= у! — к ! / /~ 488. у = = а гса | и ( х )/ — 2! . =)/а (, У ° ). .к 489. у =-)/ас — хс+ а агсеЗп — ' Х 490. у = х У а' — х'+ и' агса!и — . 491. д =- агса!и (! — х) + )/2х — хс. ! — ! 492. у.—. (х — —, агса|и )Гх-с —,)/х — х*. 2| '2 493. у =1и (агса!г! 5х). 494. у;-= агса!п(|их). Б!" —, 4 Х х яии 2 2 + 495. у=агс(и — '' —. 496. у= —.агс18 —, ! — к секи ' 3 а 497. у= 352 агс18 ),/ — — (35 |-2х) )/Ьл — х'. 498. у=- — ) 2агсс1 — ' д|а )' 2 499.
у==) е ". 500. у=-е""*'. 501. г" (х) — --(2та +Ь)Р. 502. Р(!) =еи' соа()!. 503. д= .„'.— ' ° 504. у= —,,е-*(3Б|пЗх — соаЗх). |и 2|и 5х — 5 саа 9х!с'"" ! 505. у =- х"а "'. 506. д . — )/С.ОБ ХО саск ! 507. у = 3 *. 508. у == |п(ах'+Ьх+е). 509, д =- |и (х +)/а'+х'). дияяееенциеовлние фкниции (гл. ! 529. у=агс15!пх. 530. у = 1п агс31их+ — 1п'х+агса!и 1п х. 2 531. у= агс15!и —, ! х' 532. у= — агс18=+ — )и— г2 х 1 х — ! 3 Уз 6 х+1' 533, у=!п + ' "+ 2агс15)'3!пх. ! — у к1ох 534. у = — 1п — + — 1и — + — агс1дх.
3 хе+! ! х — ! ! 4 хв — ! 4 х+! 2 535. 1(х) = — 1п(1+х) — — 1и(х' — х+1)+ — агс(д=. ! ! ! 2х — 1 уз у" з ' 536. ~(х)= +1п)' ! — х'. 537 у зйз 2х 539. у=й'2х. кй 541. у= Ага)! —,. 543. у=Агй(1дх). 538. уг е ксЬ!)х. 540. у=!пзЬ2х. 542. у = Агс)! 1п х. 544.
у = Агсй (зсс х) 510. у=х — 21~ х+2 1п (1+1Г х). 511. у=1п(а+х+$'2ах+х*). 512. у= —,„,„. 513. у = 1и соз — . х — 1 (х — 2)в х 514Я. у=!п (х+ !)в ' 515. у=1п „. 516. у= — —,~,„+1п1дх. (х — ))' (х — 2) ! х —,, а' 517. у= — )' х" — а' — — 1п(х+)~ х' — а'). 2 г 518. у= 1п 1п(3 — 2х').
519. у=5 1п'(ах+5). у х'+а'+х И й к — й 520. у= 1п ' . 521. у= — !и (х' — а')+ — 1п —. Ух'+ ав — х 2 2а к —,'- а' а1 ! к 1 сок х 522. у=х в!п (!их — — ). 523. у= — 1п18 —— 4)' 2 2 2 к(век' 524. 1(х)=)'х'-~-1 — 1и ! к~ — 2к+ ! 525. у= — !и ' .
и 526.у=-2"""в" +(1 — агссовЗх)'. 3 х'+к+! ' х аняк, в (а — +3 — УЗ =Зкаэы !. ! ~и",-. 528. у= — '1п 3 сок'Ьх' УЗ ! к) 2 ! Уз ' 2 51 тлзличное диэфвпанцировлнив 545. у=Аг(Ь 1 е 2х 546. у= — (х' — 1)Аг()(х+ — х. 1 1 547. у = ~ — х'+ — ~ Агзй х — — х) Т+хе. /1 , 1! 1 ~2 4,) 4 548. Найти у', если: а) у=!х~; б) д=х)х~.
Построить графики функций у н у'. 549. Найти у', если у = 1п)х ~ (хчь О). 550. Найти ('(х), если ( 1 — х при х(0, е-" прн х>0. 551. Вычислить ('(0), если г (х) =е-" соз Зх. Решение, 1' (х) =е" х( — 3 е)пах) — е-" сне зх; 1' (О) = е' ( — 3 4!и О) — е' сое 0 = — 1. 552. 7(х) =1п(1+х)+агсз!п —. Найти (' (1). 553. у=(пе —. Найти нх . Идт 6 (,их1.=.' 554. Найти ~~(0) и )"' (0) для функций: а) 1(х)=)~ з)п(х'); г) ((х) =-х'з)п —, х~О; ((0)=0; б) ( (х) = агсз1п —,,; д) ~ (х) = — х з)п —, х у 0; )" (0) = 0; в) )'(х) = —,, хе — 0; ((0) =0; !+их 555.
Для функции 1(х) =е " найти ) (0)+х(' (0). 556. Для функции ((х) =)Г1-гх найти ((3)+(х — 3)('(3). 557. Даны функции ( (х)=1и х и ср(х) =1п(1 — х), найти —, )' (О) р (0) 558. Для функций 1'(х) =1 — х и ср(х)=1 — и!и — найти —, пх . ~р' (1) 2 (' (!) ' 559.
Доказать, что производная четн ой функции †функц нечетная, а производная нечетной функции — функция четная. 560. Доказать, что производная периодической функции есть функция также периодическая. 561*". Показать, что функция у= хе " удовлетворяет уравнению ху' =(1 — х) у. [гл. и диооаренцировднив оинкцин 662. Показать, что функция у= хг ' удовлетворяет уравнениюю ху' = (1 — х') у. 1 663.
Показать, что функция у = 1 ! удовлетворяет урав1+к+!и х нению ху' =у(у1цх — 1). Ж. «г(огарифмичеокая производная Логарифмической производной функции у=!(к) называется производная от логарифма этой функции, т. е. (!пу)'= — = —, у' Д (к) у / (к) ' Применение предварительного логарифмирования функции иногда упрощает вакожденне ее производной. П р н и е р. Найти производнув сложно-показательной функции у =ие, где и = ~р (к) и о = ф (х). Р е ш е н и с.
Логарифмируя, получки: 1п у =- о )п и. Дифференцируем обе части последнего равенства по к (!пу)'=о'1п и+и(!пи)', илн 1 1 — у'=о'1п и+о — й, у и у' = у (о' 1п и+ — и' ) ° и у'=ив ~о'!пи+ — и'). и 664. Найти у', если У= Э~Ха — 5!пэХСОззХ, э — 1 — х 1+ хэ Решение.
!пу= — )пх+1п(1 — х) — 1п(1+к')+3!пэ(пх+21псоэх; 2 3 1, 2 1 ( — 1) 2х соэк 2з)пх — у' = — — + — — +3— у 3 к 1 — х 1+ха зшк свах ' г2 1 2к откуда у'=у — — — — — +Зс(йк — 21ях). ~Зк 1 — х 1+ хэ й з) производныв оункции, нв являющихся явно изданными 53 565. Найти д', если у=(з!пх)к. 1 Р е ш е н и е. 1п у=х!п з(п х; — у'=!п з!их+хе!и х; у у'=(з)их)к(!и юпх+хс(йх). Найти у', применяя предварительно логарифмирование функции у=)(х): 566.
У=(х+1) (2х+ 1) (Зх+1). 567. Укк (х+ 2)з - /х(х — 1) (х-', 1))а (х-).З)" ' 568. у= "~/— х — 2 з /' (х — 2)к 569. у=-х 1/ —,, 570. у= 571. у=, . 572. У=х'. 'у' (к-)-2)а )/(х+3)а 573. У=х"'. 574. у= )/гх. 575. у = х' ', 576 у = хкк 577 у = хиа к 578, у=(созх)нак. 570.
д= () +-,')". 580. д = (а ге(п х)". $3. Производные Функций, не являющихся явно заданными 1, Производнаи обратной функпнн. Если ллн функции у= ! (к) нронаводнан у„гл О, то нронзеолнан обратной функции х = !" К (у) есть ! хк- — — —, ук нлн г)х 1 Тг(у бу ' Гх Пример 1. Найти праизводиуго ха, если у=х+1пх. ° , 1 х+1 х Ре ш е ни е. Имеем у„=1+ — = —; следовательно, ка — — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
