demidovich-zad (832426), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Предполагая, что в начальный момент времени количество вещества составляло (;)„ определить количество вещества дссч' через промежуток времени 1, если прирост количества вещества происходит каждую и-ю часть промежутка времени я=-. а' Найти Щ= 1!ш с<сс"'. $4. Бесконечно малые и бесконечно большие 1'. Б е с к о н е ч н о м а л ы е. Если 1!а а(х)=0, х а т, е. если (а (х) 1 < е при 0 < )х — а ) < 6 (е), то фуикпия а (х) называется бесконечно малой при х — а.
Аналогично определяется бесконечно малая о(х) при х ов. Сумма и произведение ограниченного числа бесконечно малых при х-ьа есть также бесконечно малые при х ' а. Если а(х) м ))(х) — бесконечно малые при х а и а (х) , Р (х) Па — =С, где С вЂ” некоторое число, отличное от нуля, то функцяя а(х) и 11(х) называются бесконечно малыми одного и того жг порядка; если же С=О, то говорят, что функция о(х) есть бесконечно малая выссигго порядка по сравнанию с р(х).
Функция сс(х) вазывается бесконечно малой порядка а по сравнению с функцией р(х), если Па а ") =С, в (Р(х)1" где 0 < ) С ) <+ оа. Если в в р (х) то функции 'а(х) и () (х) называются равносильными (вквивалгнтными) бесконечно малыми при х-ьа: сс (к) — 11 (х). Например, при х-ьО имеем: в(пх х; 1ях х; 1п(1+х) х ит. и. Сумма двух бесконечно малых различных порядков равносильна тому из слагаемых, порядок которого ниже. Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если члены отношения заменить равносильнымн им величинами.
В сиду атой теоремы при нахождении предела дроби Ба —, сс (х) в в р (х) (ГЛ. 1 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ где и(«) -«О н ()(х) -«О при х «а, в числителе и знаменателе дроби можно откидывать (нли добавлять) бесконечно малые высших порядков, подобранные так, чтобы оставшиеся величины были равносильными прежним. Пример 1. 3/ха+2«4 3,/~~ Нш = Еш «в 1п (1+2«) «в 2х 2'.. Бесконечно большие. Если для любого сколь угодно большого числа Аг существует такое б(М), что при 0 <1« — а(< б(У) выполнено неравенство 1 / (х) ( > Аг, то функция 1(х) называется бесконечно болмиоб прн х а. Аналогично определяется бесконечно большая 1(х) при х- во.
Подобно тому как зто сделано для бесконечно малых, вводится понятие бесконечно больших различных порядков. 288. Доказать, что функция 1(х) = — ""* х является бесконечно малой при х- оо. Для каких значений х выполнено неравенство (((х)) < е, если е — произвольное число? Произвести расчет для: а) а=0,1; б) е=0,01; в) В=0,001. 289. Доказать, что функция ~(х) = 1 — х' является бесконечно малой при х — !. Для каких значений х выполнено условие !г (х)! ( е если е — произвольное положительное число? Произвести численный расчет для: а) в=0,1; б) В=0,01; в) В=0,001. 290. Доказать, что функция « — 2 1 является бесконечно большой при х — 2. В каких окрестностях ) х — 2 ( с.
6 выполнено неравенство 1)". (х) ! > АГ, если У вЂ” произвольное положительное числа? Найти 6, если: а) У=!О; б) Л(=100; в) У=1000. 29!. Определить порядок малости: а) поверхности шара, б) объема шара, если радиус шара г есть бесконечно малая % е! БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКО»!ЕЧНО БОЛЬШИЕ 33 Х агсяп 297. Пп! г' 1 к- о 1и (! — х) 299. !!ш— .* о ! соох яп Зх-яп зх (х — хо) о 298. 1! и! — . 'к,! — -' 300*.
Доказать, что при х — 0 величины — ' и )/1+х — 1 равно- 2 сильны между собой. Пользуясь этим результатом, наказать, что при !х~ малом имеет место приближенное равенство ) !+х-1+ 2 . Применяя формулу (1), приближенно найти: а) )/1,06; б) )/0,9?; в) )/10; г) )/120 и сравнить полученные значения с табличными данными. 301. Доказать, что прн х — 0 с точностью до членов порядка х' имеют место приближенные равенства: 1 а) —, 1 — х; 1+х б) н а'+х ж а+ — '* (а > 0); 2 Под ред. Б, П. Дед»до»мое !-го порядка. Каковы будут порядки малости радиуса шара и объема !Нара по отношению к поверхности этого шара? 292.
Пусть центральный угол а кругового сектора АВО (рис. 9) радиуса )? стремится к нулю. Определить порядки бесконечно малых относительно бесконечно малой Бя а) хорды АВ; б) «стрелки» С0; в) площади /~ АВ0. о 293. Определить при х- 0 порядки малости относительно х функций: 2х а)— г) 1 — созх; а 1 1-х' б) 1/ .х + 1/х; д) !и х — з1п х. ()' 3' Рпс. 9.
в) )/хо — )к х'; 294. Доказать, что длина бесконечно малой дуги окружности постоянного радиуса равносильна длине стягивающей ее хорды. 295. Являются ли равносильными бесконечно малый отрезок и бесконечно малая иолуокружность, построенная на этом отрезке, как на диаметре? Пользуясь теоремой об отношении двух бесконечно малых, найти: 34 1гл.
1 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ в) (1+х)" ям1+пх (н — натуральное); г)' 15 (1 + х) ж Мх, где М = 15е =0,43429... Исходя из этих формул, приближенно вычислить: , О2, 2) о оу, 3),об ! 4) )/15! 5) 1,04'; 6) 0,93; 7) 101,1. Сравнить полученные значения с табличными данными. 302. Показать, что при х- оо целая рациональная функция Р (х) = а,х" + а,х'-'+...
+ а„(а, чь 0) есть бесконечно большая величина, равносильная старшему члену а,х". 303. Пусть х — оо. Принимая х за бесконечно большую величину 1-го порядка, определить порядок роста функций: а) х* — 100х — 1000; в) ~х+Ух. г) з~~х — 2ха. $5. Непрерывность функций 1'. О и р е де л е н н е н е и р е р ы в н о с т н.
Функция У (х) называется яепрераыной прн х=$ (нлн ев точке 5э), еслн: 1) эта функция определена в точке $, т. е. существует числа 1(5]; 2) существует конечный предел 1пп У(х]; 3) этот предел равен авачевяю фувкцвк в точке 2, т. е. а $ Пгп 1(х)=1(5). «-~ 1 Полагая х=с+Ь$, где Ь$ - О, моншо переписать условие (1) так: 1пп а/(е)= 11щ 11($+ь$) — 1$)]=-о, (2) ай- е аз-» е т. е. функция / (х) непрерывна в точке 5 тогда н только тогда, когда в втой точке бесконечно малому прнращенню аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (ннтервала, сегмента н т. и.), то она нааывается непрерывной а ащой облосши.
П р н мер 1. Доказать, что функция у=мпх непрерывна длв любого значения аргумента х. Решен не. Имеем: йх ау= з!и (х-1- Ьх)-з!и х= 2 з!и — соз ~х+ — у! = — ° соз ~х+ — у! .Ьх. 2 35 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ Так каи Ьх э!и— Ьх Бш =1 и ~сов (х+ — ~ ~ац! ° то при любом х имеем: 1!ш ЬУ=О. эх а Следовательно, функция юп х непрерывна при — са < х <+ са. 2'. Точки разрыва фу и кцн и. Говорят, что функция !(Х) терпит рпэрыэ непрерывности при эначении х=ха (или в точке ха), принадлежащем ф Рис.
10, области определения функции или являющемся граничным для этой области если в втой точке нарушается условие непрерывности функции. ! Пример 2. Функция !'(Х)= (рпс. 10, а) раэрывна при х= — 1. Эта (! — х)а функция не определена в точке х=1, и как бы мы ни выбрали число 1(1), пополненная функция т (х) не будет непрерывной при х=1.
Если для функции 1 (х) существуют к о н е ч н ы е пределы: йгп хх (х) =) (ха О) и !!щ ! (х) — ) (ха+ О) *- х,-а х «~ьа 36 (гл. ! ыыидынмы в анализ причем ие все три числа /(хч), /(хч — 0), /(х„+0) равны между собой, то хч называется точкой разрыва !-го рода. В частности, если / (хв — 0) =/(хо+0), то хо называется устрйнимой точкой разрыва. Лля непрерывности функции /(х) в точке хв необходимо н достаточыо, чтобы /(хо)=/(хо — 0) =/(хо+0). Пример 3. Функция /(х)= — имеет разрыв 1-го рода при х=О. э!их [х[ В самом деле, здесь /(+ О) = 1!ш — =+ 1 тих х +ч х /( — 0)= Вт — = — 1. х -«-в Пр им е р 4.
Функция у=Е(х), где Е(х)обозначаетцелуючвсть числа х (т, е. Е(х) есть целое число, удовлетгсряющее равенству х=Е(х)+д, где О~О <!), раэрывна (рис. !О, б) в каждой целочисленной точке: х=О, т 1, т 2, ..., причем все точки разрыва 1-го рада. В самом деле„если н — целое, то Е(н — 0)=л — 1 и Е(н+0) =и. Во всех остальных точках эта функция, очевидно, непрерывна. Тачки ргврына функции, не являющиеся тачками разрыва 1-го рода, называются точками разрыва 2-го рода. К точкам разрыва 2.го рада относятся точки бесконечною риэрвма, т.
е. такие точки хг, лля которык хотя бы один ив одностороаних пределов /(хв — О) или/(хо+0) равен со (см. пример 2). Пр имер б. Функция у=сов — (рнс. 10, в) в точке х=О имеет рвах рыв 2-го рода, так квк здесь не существуют оба односторонних предела: и и ((т соэ — и Вгл савв х-«- О " х-«+О 3'. Свойства непрерывных функций. Принсследованкнфункцни иа непрерывность нужно иметь а виду следующие теоремы: !) сумма и произведение ограниченного числа функций, непрерывных в некоторой области, есть функция, непрерывная в этой же области; 2) частное от деления двух непрерывных в некоторой области функций есть непрерывная функция прн всех аначениях аргумента из этой области, не обращающих делителя в нулей 3) если функпия /(х) непрерывыа в интервале (а, Ь), причем множества ее зыачеыий содержатся в интервале (А, В), и функция «р(х) непрерывна в интервале (А, В), то сложная функиия «р [/(х)[ непрерывна в интервале (а, Ь[.
Функция /(х), ыепрерывнав ыа отрезке [а, Ь[, обладает следующиьш сап йствамы: 1) / (х) огранычена на [а. Ь[, т. е. существует некоторое число М такое, что [/(х) [~М прн ач-х~Ь; 2) /(х) ымеет на [а, Ь) наименьшее ы наибольшее зиачевнн! неппепынность Функций 37 3) ((х) принимает все промежуточные значения между двумя данными, т. е. если ((ы) =А и ((0).=В(а(сс < () ~Ь) и А ж В, то„каково бы ни была число С, ааключеиное между числами А и В, найдется по меньшей мере одно значение хй- у (а < т < р) такое, что ( (у] — -С. В частности, если ((а) ((р) < О, то уравнение / (х) =. О ил1еет в интервале (а, ()) по меньшей иере один вещественный корень. 304. Показать, что функция у==ха непрерывна при любом значении аргумента х.
305. Доказать, что целая рациональная функция Р(х) 4-паха+ахен '+... +а„ непрерынна при любом значении х. 308. Доказать, что дробная рациональная функция а,х"-',-пот"-'а ... +а„ пах'ач-отхм 1+... <-ь, непрерывна для всех значений х, за исключением тех, которые обраьцают знаменатель ее в нуль. 307Я. Доказать, что функция у=-$'х непрерывна при х нб. 308. Доказать, что если функция ) (х) непрерывна и неотрнцательиа в интервале (а, (т), то функция Р() =Уй) также непрерывна в этом интервале. 309*. Доказать что фуякция д==-созх непрерывна при любом х. 310. Для каких значений х непрерывны функции: а) (ох и б) с(йхр 311е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
