demidovich-zad (832426), страница 14
Текст из файла (страница 14)
б) Точками разрыва являются точки х= — 1 их=1, причем!1ш у= Зю х -ь 1+ 0 н Нш р=~ ез, следовательно, прямые х=щ 1 являются вертикальнымв х -!+О зснмптотами графика. з) Ищем наклонные асимптоты. Имеем: йз = 1пп — =О, р х-~ч е Х Ьз= 1пп р= ю з-~ е а следовательно, правой иаклоияой аснмптоты нет. Иэ симметрии графика сле дует, что левая наклонная аснмптота также отсутствует. г) Накоднм критические точки 1-го н 2-го рода, т. е.
точки, в которых обршцается в нуль или не существует первая или соответственно втарав производная данной функции. Имеем: хз 3 з (2) й з /~~~ 1)т ' Производные у' н Н' не существуют только прн х= щ 1, т. е. только в тех тачках, где нс существует н сама ~ункция р, поэтому критическими точками будут лишь те точки, где у' или у обращаются в нуль. Таблица 1 й а) пООГРОение ГРАФикОВ пО хАРАктеРным тОчкАм 93 Из (1) и (2) следует: р' = 0 при х = ш $~ 3; Р"=О прн х=О и х= ж 3. Таким образом, у' сохраняет постоянный знак в каждом из интервалов ( — аз, — )Т 3), ( — аг 3, — 1), ( — 1, !), (1, рг 3) и ($~ 3, + аз), а Р" — в каждом из интервалов ( — ае, — 3), ( — 3, — !), ( — 1, 0), (О, 1), (1, 3) и(3, +оз).
Для того чтобы выяснить, каковы именно знаки у'(нлисоответственнор') в каждом из указанных интервалов, достаточно определить знак у' (нлн у') в какой-нибудь одной точке каждого из зтих интервалов. Результаты такага исследования удобно свести в таблицу (таблица 1), вычислив также ординаты характервых точек графика функции. Заметим, что ввиду нечеткости функции у вычисление достаточно провести лишь прн х)0; левая половина графика восстанавливается по принципу нечетной снммырин.
Рнс. 33. д) Пользуясь результатами исследования, строим график функции (рис. 331. При мер 2. Построить график функции 1пх Решение. а) Область существования функции: 0 < х < +еа. б) В области существования точек разрыва нет, но при приближении к граничной точке (х=О) области существования имеем: !их 1пп у=!пп — = — аэ. х з а~а Следовательно, прямая х=О (ось ординат) является вертикальнойасимптотой. 4 41 пОстРОение ГРАФикОВ по КАРАктерным тОчкАм 95 в) Ишем правую наклонную или горизонтальную асимптоту(леваянаклоииая асимптота отсутствует, так как невозможно, чтобы х — ь — оз)з й= 1!т ==-О, у К +з" Ь= !пп У=-О.
к зе Следовательно, правой горизонтальной асвмптотой является ось абсцисс: У=О. г) Находим критические точки. Имеем: 1 — 1ц к у= хз 2 !Пх — 3 У = 1 хз у' и у" существуют во всех точках области сушествования данной функции н у'=О при 1и х=1, т. е. при х=е; у"=О при !их= —, т. е. прн х=е зуз 2 ' Составляем таблицу, включая характерные точки (таблнца П). При этом, кроме найденных характерных точек, полезно найти также точки пересечения Рис.
34. графика с осями координат. Положив у=о, находим х=! (точка пересечения кривой с осью абсцисс); с осью ординат график не пересекаетск. д) Пользуясь результатами исследования, строим график функции (рис. 34). бхз — хз 3 (х — 2)з (х+ 4) Д= 9!6. у =х' — Зх'. 918. у=(х — !)з(х(-2). Построить графики указанных ниже функций, определив для каждой функции область ее существования, точки разрыва, точки экстремума, интервалы возрастания и убывания, точки перегиба ее графика, направление вогнутости, а также асимптоты графика.
96 ЭКСтЕЕМЬМЫ 4 УНКЦИИ. ПЕИЛОжЕНИЯ ПЕОИВВОДНОИ 1ГЛ. ПП 923 929 946. у=хе 948 у е~»» и 950. у=21х! — х'. 947 94Э 951 хв х 952. у= — !ив 2 а 953 954. у=(х+1)!п'(х+1), 956 у 1п У '+— х 958. у=1п (е+ — ) . 980. у=в!пх+ — ". 2 955 957. у=!п(1+е "). 959. у = в!п х + сов х. у = сов х — сов' х. ! У=»1пх+ созх ' 961 963 962.
у=в!и'х+сов'х. 964. у= -"("+ ) 965. у=з!пх.в!п2х. 920. у (хх — 5!х 125 621 х~ — 3 922. у*=— х 924. у = х' + — . 2 925 х' 926. у= —, 8 927 4х — 12 !» — 21~ ' 930 у 4 931 932. у=3/х+)Г4 — х. 933 ЭЗ4. у=х)~'х+3. 935 936. у= ~~ 1 — х'. 937 938. у =2х+2 — З~~ "(х+ 1)'. 939 940. у= ~Г(х+4)' — ~~~(х — '4)'. 941. у= ~''(х — 2)'+ ев~(х — 4)'. 942. у= 943 У4 — х"" 944.
у= 945 1 хх — 2х+ 2 х~+ 3 у= х 1 у=— »~+3 ' 4х 4+» х 1/ ю— х~ — 4' 3»441-4 хх у =)/8+ х — )/8 — х. у=~ х' — Зх. з х1 ~— х» д= ' 'х+1 — ~~х — !. 8 у— х у — в;(х х у=(а+ — ) е'. у=(2+х')е !вх Ух У=! 1 у = 1п (х' — 1) + „—,, ° $ а! диееирвнпилл дяти. кривизнл 966. у=со*х соя2х. 968. у= агся!п(1 — ~Гхв). 967. у=х+я)пх. 969.
д= )г ! — х' 97!. у=х агс1ах. 970. у=2х — 16х. 972. у=хагсс1а — прях~О и у=0 при х=-О. 974. у= — + агсс1ах. 2 976. у=.Агс)г (х+ — ) .. 978. у=е'"и" ". 973. у =х+2 агсс1ах 975. у = !п я)г х. 977 у=емох 979. у=ем 'а. 980г у=1пя!пх. 98!. у = !п !К ( — — — ) . !а 2! 982. д= 1пх — агс1Кх. 983. у=соях — 1псоях. 984. д= агс1и (1п х). 985.
у = агс я! и 1п (х'+ 1). 1 986. у =х'. 987, д = х ." . Рекомендуется также построить ~рафики функций, указанных в №Мю 826 — 848. Построить графики функций, заданных параметрически: 988. х== !в — 2(, у= !в+2(. 989. х =- а соя' г, у =- а я )п ! (а > 0) . 990. х = Ге', у = ! е '. 99!. х= г+е ', у=2(+е 992. х=а(яЫ вЂ” 1), д=а(с)г! — 1) (а ) О). 9 5. Дифференциал дуги, Кривизна при этом, если уравнение кривой имеет вид: Гнута а) д=!(х), то аа= 1Г !+( — ) ох при дх > О; (,ех1 б) я=А(р), то на= ~~' !+( — у! Ну при др > О; (, ер) //ах~в г арта в) х=~Р(!), У=ф(!), то йз= ~' ( — у! +~ — ) н( пРи Ж > О! 4 под род. Б, и, демидовича !'. Ди ффе ре н ци ал дуг к. Дифференциал дуги з плоской кривой, заданной уравнением в декартовых координатах х и у, выражаетса формулой 45 = и' (Ех)в+(др)в; 98 нкстгимнмы аинкции. ппилохгнння пнонзводнон (гл.
гн Обозначая через а угол, образованный ноложнтельным нвпрзвлениеы касательной (т. е, направленной в сторону возрастания дуги кривой э) с положительным направлением осн ОХ, получим: бх соз а= — ° бэ э1па= —. ду бэ В полярных коордннэтал бэ= )~(бг)ь+(гор)е= ~/ ге+( — ) Йр, Иф Обозначая через () угол между полярным радиусам точки кривой и касательной к кривой в этой точке, имеем: бг соей=Н вЂ”, еэ з(п ()=г —, бр дэ 2е. Кривизна кривой. Кривизной К кривой в ее точке М называется предел отношения угла между положительнымв направлениями Рис.
35. касательных в точках М и Ф кривой (уеол слежяосаи) к длине дуги МЖ=Ьэ, когда й( — «М (рнс. 35), т. е. К= Нш оа Фх ьв -~ о оэ где а — угол между полоипгтельными направлениями касательной в точке М и оси ОХ. Радиусом кривизны )г.называется величине, обратная эбсолютной величнне кривизны, т. е.
99 диююнуннцилл дуги. книнизнл 2) если кривая задана уравнением в неявной форме Р(х. у)=О, то Рук Рху Р» Рту Рук ту Р'„Гу' О (Р т 1 Р'1)гы 3) если кривая задана уравнениями в параметрической форме х=ю((), р=ф(1), то где В полярных координатах, когда кривая задана уравнением г =((ф), имеем: г'+2г'з — гг" (та+ гы) Ы где ог , атг г'= — и г'=— д~рз 3е.
Ок р у же ость к р и в и ни ы, Окружнусюью кривизны (соприкасающейся окружностью) ириной в ее точке М называется предельное положение окружаости, проведенной через точку М и две другие точки кривой Р и Я, когдаР МнЯ М. Радиус охружности кривизны равен радиусу кривизны, а цеатр окружности кривизны (центр кривизны) находится на нормали к кривой, проведенной е точке М в сторону вогнутости кривой.
Координаты Х и У центра хривизны кривой вычисляются по формулам Х=х —" (+" ) ° р 1+у'а ~'=у+ —. ° У Эволюжой кривой называется геометрическое место ее центров кривизны. Если в формулах для определения координат центра кривизны рассматривать Х н У как текущие координаты точки зволюты, то зти формулы дают параметрические уравнения зволюты с параметром х илн у (илн же 1, если сама кривая задана уравнениями в параметрической форме) ! Линиями постоянной кривизны являются окружность (К= —, где а — радиус окружности) и прямая (К=О).
Формулы для вычислении кривизны в прямоугольных координатах следующие (с точностью до звака): 1) если кривая задана уравнением в явной форме у=у(х), то 100 экстРемУмы ФУнкции пРилОжениЯ произиоднои "(гл. Тн Пример !. Найты уравнение эволюты параболы у=хо. 1+ 6хо Решение. Х= — 4хо, К= —. Исключив параметр х, найдем урвв- 2 ! I Х 1о/о ыение эволюты в явном виде )в= — +3 ~ †) 2 ~4) Эвововонтой (инвалютой) крявой ыазывается такая крываи, для которой данная кривая является зволютой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
