demidovich-zad (832426), страница 17
Текст из файла (страница 17)
гу неопведилиннщн ннтигрлл 2'. Метод Остроградского. Если 1)(х) имеет кратные корни, то — — ° — з(х= — + — з(х, Р(х) Х(х) Р Р(х) Я(к) Оз(х) 3 !)з(х) (6) .где !)з(х) — наибольший общий делитель много иена 1) (х) и его производной 0'(), Е,()=()():0 () Х (х) и г' (х) — многочлены с неопределенными коэффициентами, степени которых соответственно на единицу меньше степеней ()з(х) и Цз(х).
Неопрелеленные козффмцненты многочлепов Х (х) н К (х) вычисляются при помощи дифференцнроваявя тождества (6). Пример 4. Найти Р е ш е н и е. — — +~ '- Ах Ахз+Вх+С ! Вхз+Ех+Р (хз Цз хз ! +) «з Дифференцируя это тождество, получим: 1 (2Ах+ В) (хз — Ц вЂ” Зхз (Ахз+ Вх+ С) з)хе+ Ех+Р + хз — 1 (хз — цз (хз цз или 1 = (2 Ах+ В) (хз — Ц вЂ” Зхз (Ахз+ Вх+ С) + (Охз+ Ех+ Р) (хз — Ц. Приравнивая коэффициенты прп соответствующих степенях х, будем иметь: .0=0; Š— А=О; Р— 2В=О; В+ЗС=О; и+2А=О; В+Р= — 1; отсюда А=О; В= — —; С=О, В=О; Е=О, Р= —— 1 2 3 ' и, следовательно .Их 1 х 2 !" бх (х' — Ц З вЂ” 1 3) х' — 1 (7) Для вычисления интеграла в правой части равенства (7) разлагаем дробь 1 на элементарные дроби: хз Мх-(- !У х' — ! х — 1 ха+ х+Т' 1 =Е (хе+ х+ Ц+ Мх (х — Ц+ У (х — Ц. (в) Полаган х.=1, получим Е= —.
1 3' Приравнивая коэффициенты прн одинаковых степенях х в правой н левой частих равенства (В), находим: Е+М=О; Ь вЂ” зУ=!, $51 ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 121 т. е. ! 2 3 ' 3' г!х х 1 хв-в хи- 1 2 2х+1 — + — 1и " ',, + — агс!я=+С. (х' — 1)в 3 (х' — 1) 9 (х — 1)в 3 у 3 р'3 Найти интегралы: 1280. (х — !) (х 1-2) (х+3) ' ,) (х — 1) (х+ 3) (х — 4) 1288 (' Зх + 6х+ 9 г( 1289 (' х — 8х+ 7 ,) (х — 3)в(хи.!)' ,) (хв — Зх — 10)в 1294.
~ —. 1295. 1296. ~х,,+ 1297. Зх+ 5 ' 3 (хв — 4х 4 5)в Применяя метод Остроградского, найти следующие интегралы: г(х их 1ЗО1. ~,„ "" .) (х 1)' их Г х' — 2х'+2 1ЗОЗ. ~ —,, 1304. ) (хв — 2х+2)в г(х. (хв — 4х+ 3) (хв+ 4»+ 5) г(х !) (хв ! х4 Цв Применяя различные приемы, найти интегралы: х' Г хв!хв 1 05. ) ( в+!) ( в 8) г(х.
1306. „, г(х. хв — х+!4 208 ' ~ (х — 4)в(х — 2) "' ' 3 х'(хвт1)в ' Паевому 1 2х+1 = — 1и ! х — 1) — — (и (ха+ х+1) — = ага!9 =+ С 3 )гЗ 1г3 122 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1ГЛ. !Ч 1309. хз — 4хг+ 5х — 2 ' 1310*. ( — "" ',! х(хг+!) 1312. (хг+2х+2) (хг+2х+5) ' где Р„(х) — миего член степени л, 9 6.
Интегрирование некоторых иррациональных функций 1'. Интегралы вида Р Рз ! [ (=-)- (."*")- 1" где )! — рациональная функция и Лг, 41, рг, аг, . — целые числа. Интегралы вида (1) находятся с помощью подстановки ах+ Ь вЂ” га ах+ Л где а — наименьшее общее кратное чисел дг, да, .„ Лх Пр и не р 1. Найти ~Б — ! — 1/ 2х — 1 Решение. Подстановка 2х — !=г' приводит иятеграл к виду мя ') — 2) — 2) (г+!+ — )дг =(г+1)г+2 !и ) г — ! )+С=(!+ 1/2х — !) +1и (~/ 2х — 1 — 1) +С. Найти интегралы: 1315. ) — 1(х. 1316.
( з 3 Р' ах+Ь Г'х+1+ Г'(х-(- !)г з 1320. ! )г~+ + г(х. ! (х+!)' — Г' х+1 1322. ) 1325. ( — "' 4(л. "" -+. 2', Интегралы вида Р„(х) г'"ахг+ Ьх+ а 1 61 интегрировании иррациональных юинкнии 123 Полагают *=ч - м Гь'»чтясь) и — 1" Р» (х),, Г г)х 1' аха+Ьх+с,) "Г ахэ-)-Ьхф с гце !2» т (х) — многочлсн степени (л — 1) с неопределенными коэффицвеитами и ) †чис. Коэффпнпснты мпогочлепа !2» т(х) и число В находЯтсЯ пРи поповен дифференцирования тождества (3). — Г ха+4кэ Пример 2. ~хэ Г'х'+4Йх= ~ ' с!х= =~ У..ь 4 =-(Ахэ+Вх'+Сх+В) 3~ хэ —,4+1 ,) 1' ха-)-4 Отсюда =(2 ~хэ-ь2Вх+С) рсха-1 4 1 (Аха-1 Вл' 1-Сх+ О)х+ 2 Умножая на Ргхэт-4 и приравнивая коэффициенты при одвнаковых степе.
нях х, голч шм: А.= —; В=О; С== —,; 0= — О," Х= — 2, 1 1 2 ' Слсдовате.тыла, — ха 4-2х ха Ргхап-4 Их= — ' )Гхэ-)-4 — 21п (х+ )гхэ-)-4)+С, 3'. Интегралы вида (4) (х — а)» 1 аха+Ьх+с приводятся к интегралам вида (2) с помощью подстановки 1 х — а Найти интегралы: 1328. ( е(х. 1329. 1 ,) Г' !+ха ,) хэ 1' ха — 1 (х+ 1)* У х'-~ 2х ,) х 1' ха — хгй ! * 4'. Интегралы от дифференциальных биномов х' (а+Ьх»)лЫх, где т, » и р — рациональные числа. 124 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1Гл. !т Условия Чебышева. Интеграл (5) выражается через конечную ком- бинацию элементарных функций лишь в следующих трех случаяк: 1) если р — целое число; ш+1 2) если — целое число.
здесь применяется подстановка а+зля=аз, и где з — знаменатель дроби р; ш+1 3) если †+р †ц число. В этом случае используется подстановка а ах-я+Ь=г' 1 — — -ь 1 ш+1 2' =2. (Лев ! -4 1 1 1 Решение. Здесь ш= — —; л= —; р=— 2' 4' 3 довательно, имеет место случай 2) интегрнруемостн. Подстановка 1 1+х =аз дает: х= (гз — 1)1; бх=12гз(гз — !)збг. Поэтому — (' гз (гз — 1)з (' 12 1/ 1~1 1= ') х ~1+я' ) ба=12 бг=12" (гб — гз)бг= — гт — баб+С, гз — 1)1,) у где г=У 1+Ух. Найти интегралы $ 7. Интегрирование тригонометрических функций )е.
И в те гр алм вида б!п'я х созе х бх = ум где ш ил-целые числа. а 1332. ) х' (! + 2х') ' бх. 1334. хб УТ+хз ' 1333. ~ хз (2+ха) ' 1333. ( —,"" 1333. 1337. ! й т| интеГРиРОВАние тРиГОнОметРических ФУнкций 125 1) Если гл=2й+! — нечетное положительное число, то полагают )~ „= — ') 5|ива«сов хо (сов«) = — ) (1 — сов'х)в сова «6(соз х).
Аналогично поступают, если и — нечетное положительное число, П р и не р !. ') 5(п 5 х сова ха« = ) 5)п е х (1 — 5|ив х) г( (сйп х) = 5|птг х 5|пгв х = — — — +С, 11 13 2) Если т и л — четные положительные числа, то подынтегральное выра. жение (!) преобразуют с помощью формул: 1 ! жп'к= — (1 — сов 2«), сове«= — (!+ сов 2х), 2 1 юп х сов х = — ьп! 2к. 2 Пример 2. совв Зк 51пв Зх 6« —.— ~ (сов Зх 5|п Зх)в 5|ив Зх ох = Р в|и'6х1 — сов бх 1 à — в|к= — ~ (5|п'бх — 5(пв бх сов бх) их л 4 2 | 1 /1 — со5!2х — 5|п бх соз бх ох= | Ух 5(п|2х — — — — — 5|ив бк) + С. 8| 2 24 |и 3) Если яг= — р и л= — т — целые отрицательные числа одинаковой четности, то 7,„я=~ „= ~ повес" «вес «0(12«)= ь!пн х созе х мы н т-в — -г =~(!+ —,~ (!+16") ° 6(16.) — -1 ~в, = Г(!+16 )' и (1и х).
165«) 16н х В частности, к этому случаю сводятся интегралы — (', "() " "(- ) з|п (х+ — ) Пример 3. с «а(16«) =! (1+16 «)6(!6«)=!ах+ 3 !а х+С. 1353. " .~ ~ !(х вгп х сов х 1352. х в!п — сова 2 2 1354',) 1па „ г дх 13П5. ) Пес'4хг(х. 1356, ~ (да5хс(х. 1357. ~ с(да хо(х. 1358. ) С(п'х!(х. 1359. ~ ( (иа — + (6' — ~ !(х. 3 ЗУ 1360. ~ х 3!и' х' !(х, 1 в(п~х 1362. ~вп'х~х соахдх.
1363. ) )ГВп х сова х 1364. ( = $'(Ех 2'. Ив гегралы вида ) а!Птхсовпхих, ) а(птха1ппхдх и сов тх сов пх Лх. В этих случаях применяются формулы: ! 1) яптх сових= — (яп (т+п) х+в1п (т — и) х); 2 1 2) ми тх я и пх = — (сов (т — и) х — сов (т + п) х); 2 ! 3) сов та сов пх= — [сов (т — и) х+сов (т 1-и) х). 2 Пример 7. г' 1 ! . 1 ми Ох яп хдх= ) — (соа Ех — сов !ох) да= — яп Ях — — яп 1Ох+ С. 16 Найти интегралы: 1365. ) П(ЦЗхсо35хг(х. 1367.
) соа — „соа — дх. 1369. $ соа (ах+ Ь) соа (ах — Ь) г(х. 1370. ~ в(пго(вп(я!+гр)Ш. 1371. ) совхсоввЗхс(х. 1372. ) 3(п х вп 2х в п Зх г(х. 3'. Интегралы вида )7 (в( п х, сов х) Ех, 1366. ) вп10хв!п!5хс(х х 2х 1368. ~ а!п — сов — !(х. 3 3 42) г д е )2 в р а ц и о и а л ь и а я ф у н к ц и я. 1 Т] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 127 128 (гл. Ит ИЕОПРЕДЕЛЕИИЫИ ИНТЕГРАЛ 1) С помощью подстановки 1я — =1, х 2 откуда ! — (в 2г(1 соа х= —, ба= —, 1+Ге' 1+!а' 21 шпх= —, 1+ бы интегралы вида (2) прииодятся к интегралам от рациональных функций новой переменной 1, Пример 8.
Найти дх 1 + а!п х + соа х х Решение. Полагая 1Š— =1, будем иметь: 2 2Ж Г+11 Р Л 1 х 21 ! — Га .)!+! =) — =1п11+1)+С=!в~~1+12 ~+С. 2 1+ — +— 1+(а 1+ге 2) Если имеет место тождество ]1( — а]пх, — свах)— = ]2(а!пх, свах), 1 сов х= У~+!а х= агс(91. Пример 9. Найти ох 1+а]пах Решение. Полагая гв М шпал= —, ба= —, !+Ем 1+!а' 1нх=(, будем иметь Жг Ж 1 б(1Р '2) (1+,)(1+ га '] .)1+2!а ~2) 1-(-(гр'2)а 1+(а/ = — ага!а(! у 2)+С= — асс!и(1' 2(дх)+С, ! 1 У2 Р 2 то для приведения интеграла (2) к подстановку (п а=1. Здесь а]пх= У 1+ге рациональному виду можно применить $51 интагяиговлнив гинягволичиских вянкции 129 Найти интегралы: бх 8+бсоьх 1374.
8 — 4ь|пха 7 сов х ' 1З7В. 85!их+2 соьх 251п х+8 с05 х х. бх яп х+851пхс05х — свьех 5!п' х — 8 яп х соа х ' 1368. ь!и 2х |+ а|п'х 1З87. е 5)пе х — б 5|п х+8 Х 1389 1 — яп х+ сов х !+яп х — соз х с(х.
1373 яп х+ соь х япх х. | — Ь|ПХ 1378 1377 соьх+2япх+3 !+!нх 1 1379** 1381*. 1382* 3 я п' х + й соь' х' 1383* 5|и Х (| — С05 Х)5 С05 2Х СОЬЕХ+51ПЕ Х х. 1384" 1386 1388 (2 — 5|п х) (3 — ь!п х) 1390* 9 8. Интегрирование гиперболических функций Интегрирование гиперболических функций вполне аналогична интегрированию тркгоноиетрических функций, Следует помнить основные формулы: 1) СЬ5 х — 5Ь'х=1; 2) ьйзх= — (сЬ2х — !); | 2 3) сЬзх= — (сЬ 2х.+ !); 1 2 ч) 5Ь х сЬ х= — 5Ь 2х.
| 2 Пример |. Найти ~ сйзхбх. Решение. Имеем: сЬе х ба= ~ — (сЬ 2х-|-1) ах= — ьЬ 2х+ — х-|-С. Р 1 ! 1 В 2 З Иад сед. Б. П, демидовиче Заметим, что интеграл (3] вычисляется более быстро, если предварительно числитель и знаменатель дроби разделить на совах. В отдельных случаях полезно применять искусственные приемы (см., например, № 1879). (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
