demidovich-zad (832426), страница 21
Текст из файла (страница 21)
т ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2». Длина дуги крив ой, заданной пара метр я чески. Если кривая задана уравнениями в параметрической форме х=ср(!) и у=ф(!) (ср(!) и ф (Г) — непрерывно дифференцируемые фуякции), то длина дуги з кривой равна с, з=1 у'х'з+у й(, Н где (! и !»-значения параметре, соотвесствующне концам дуги (гс < !»). П р и мер 2. Найти длину одной вркя цяклонды (рис. 50) к=а(С вЂ” з(п с), у = а (! — соз с). с(х » ау Решение. Имеем л'= — =а(! — соз!) н у'= — У=аз(пд Поэтому с(с с(! за та -) Г~С~ — ~)'»- '» ~ю-се!» — »=и. 2 о Пределы интегрирования (т=0 и !»=2я соответствуют крайним точкам арки цнклонды. Если гладкая крявая эадаяа уравневяем г= ((ф) в полярных коорднна.
тах г и ср, то длина дуги з равна в з»» ~ )с г»+г'»с(ф, а где а и 5 — значения полярного угла в крайних точках дуги (а < ()). Рис. 5!. П р н ме р 3. Найти длину всей кривой с=а ып' — (рис. 5!). Бей кри- 3 вая описывается точкой (г, ф) при изменении ф от 0 до Зп. Р е ш е н и е.
Имеем г' = а з(пз — соз —, позтому длина всей криной ф ф 3 3' 3р= а з(п — с(ф = —. ,ф Зпа 3 2 157 $81 ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ 1665. Вычислить длину дуги полукубнческой параболы у' = х' от начала координат до точки с координатами х= 4, у=8. 1666*, Найтндлину дугицепной линниу=асп — от вершины а А(0; а) до точки В(Ь; Ь). 1667. Вычислить длину дуги параболы у=2)Гх от х=О до х=1.
1668. Найти длину дуги кривой у =с", содержащейся между точками (О; 1) и (1; е). 1669. Найти длину дуги кривой у=1пх отх=~'3 до х=) 8. 1670. Найти длину дуги у= агсзйп(е ") от х=О до х=1. 1671. Вычислить длину дуги кривой х=!п Весу, содержащейся между у=0 и у=- —. 3' 1 8 1 1672. Найти длину дуги кривой х= — у' — — 1пу от у=! до 4 2 у =е.
1673. Найти длину дуга правой ветви трактриссы к=)'а8 — у8+а1п~' ' ) " ~ от у=а до у=Ь (0 <Ь<а). у 1674. Найти длину замкнутой части кривой 9ау'=х(х — За)'. 1675. Найти длину дуги кривой у=!п(сй — ) от х=а до х = Ь (О < а < Ь). 1676*. Найти длину дуги развертки окружности х=а(соз1+1з!п1), 1 ) от ! = О до ! = Т. у=а(з!и! — гсоз1) ) 1677. Найти длину эволюты эллипса 88 88 у — згп8 1 (ез — а8 Ь8) Ь 1678. Найти длину кривой х=а(2соз1 — соз2!), ( у = а (2 з!и 1 — з !и 21). ) !679. Найти длину первого витка спирали Архимеда г=аф.
1680. Найти всю длину карднонды г =а(1+созф). 1681. Найти длину части дуги параболы г =овес' ф2, отсекаемой от параболы вертикальной прямой, проходящей через полюс. 1682. Найти длину дуги гиперболической спирали гф=! от ТОЧКИ (2; 2) ДО ТОЧКИ ( —; 2) . 158 1ГЛ. У ОПРЕДЕЛЕННЫИ ИНТЕГРАЛ 1883. Найти длину дуги логарифмической спирали г=ал (пт.Р 0), находящейся внутри окружности г=а. 1884.
Найти длину дуги кривой ф — ~г+ — )отг=1дог=3. 1Г 1т 2 ~ 8 9. Объемы тел 1'. Объем тела вращения. Обьемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=/(х), осью ОХ н двумя вертикалями х=а и х=Ь, вокруг осей ОХ и ОУ, выражаются соответственно формулами: 1) Ух = и ~ у'бх; 2) Уг= 2п ~ ху Их'). Пример 1. Вычислить объемы тел, образуемых вращением фигуры, ограни генной одной палуволной синусоиды у=Них и отрезком О~хю.м осн ОХ вокруг: а) оси ОХ н б) оси ОУ. Решение.
и' а) Ух=я ~ з(пзхпх= —; 2 ' о б) Уг=2п ~ хз(пхбх=йп ( — хсозх+мпх)",=2п'. о Объем тела, образованного вращением около оси ОУ фигуры, ограниченной кривой х=у(у), осью ОУ и двумя параллелямн у=с и у=б (с ( б), можно определять по йюрмуле: Уг = и ') х' г(у, а получающейся иэ приведенной выше формулы 1) путем перестановки каордянатх и у. Если кривая задана в иной форме (параметрнческн, в полярных коорднватах и т.
д.), то в приведенных формулах нужно сделать соответствующую замену переменной интегрирования. В более общем случае объемы тел, образованных 'вращением фигуры, ограниченной кривыми у,=/,(х) и уз=/з (х) (причем /д(х) ~/з(х)) и прямымв х=щ х=Ь вокруг координатных осей ОХ и ОУ, соответственно равны ь Ух=я ') (уз — у )г(х а ') Пусть тело образовано вращением около оси ОУ криволинейной трапеции, ограниченной кривой у =/(х) н прямыми х=а, х= Ь и у=о.
Эа зленент объема июго тела принимают обьем части тела, образованного вращением около асн ОУ прямоугольника со сторонами у н Их, отстоящего от оси ОУ ь на расстоянии х, Тогда злемеит объема бУГ=2пзуг(х, откуда Уу=2п ) хУ ах, е $9! 159 ОБЪЕМЫ ТЕЛ з (Гу — — 2и ) х(уз — уг) бх. П р и м с р 2. Найти обьем тора, образованного вращением круга кз+(у — Ь)зм,а'(Ь за а) вокруг оси ОХ (рис. 52). Решение, Имеем: уг=Ь вЂ” )/аз — х' и уз=-Ь+ )Га" — тз.
Поэтому а а ух=и ) 1(Ь+ г' аз — х')' — (Ь вЂ” 1 а' — хз) ) бх4 4иЬ ) Ь'а' — хзбх=2птазЬ вЂ” а -а (последний интеграл берется подстановкой х=а ып !). Обьем тела, полученного при вращении сектора, ограниченного дугой кривой г=-г" (ф) и двумя полярными радиусами ф = а, ф=-() (а < р), вокруг полярной осн, может быть вычислен по формуле р )Гр= — и ~ газ)пфбф. 3 а Этой же формулой удобно пользоваться при отыскании объема тела, полученного вращением вокруг полярной оси фигуры, ограниченной некоторой замкнутой кривой, заданной а полярных координатах. Рис. 52.
Рнс. 53. П р н м е р 3. Определить объем тела, образованного вращением кривой а=а ып 2ф вокруг полнрной оси. Р е ш е н и е. Ур=2.— и ) ге ып фг(ф= — паз ') ыпз 2ф з!п фйр 3,) 3 а а аа — иаз ) 51п" фсоззфбф = — иаз 3 ) (05 а !гл. ч 160 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2'. Вычисление объемов тел па известным яоперечным сеченивм. Если 8=8(х) — площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к некоторой прямой (которую принимаем зз ось ОХ), в точке с збсциссай х, то обьем этого тела рзиеи Лг У= ~ 5(х)ох, к, где хз н хз — абсциссы крайних сечений тела (хг ( хз).
П р и м е р 4. Определить объем клина, отсеченного от круглого цилиндре плоскостью, проходящей через диаметр основания и наклоненной к осиаввиию пад углам а. Рздиус основания равен В (рис. 53). Решение. Примем зз ась ОХ диаметр основания, по которому секущая плоскость пересекает основание, и зз ось ОУ диаметр основвнин, ему перпендикулярный. Уравнение окружностя осиавзняя будет хе+уз= Вз. Площадь сечения АВС, отстоящего нз расстоянии х от начала координат О, равна 1 1 уз 3 (х)=ил. Д АВС= — АВ.ВС= — уу1яа= — 1йа, 2 2 2 Поэтому искомый объем клина есть ! г 2 У=2.— ~ Уз(каох=1йи з( Яз — хз) ох= — 1да)1«.
'23 3 3. 1686. Найти объем тела, получающегося от вращения вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной осью ОХ и параболой у =ах — х' (а) О). 1686. Найти объем эллнпсонда, образованного вращением хз эллипса —, + —, = 1 вокруг оси ОХ. 1687. Найти объем тела, получающегося прн вращении вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной цепной линней у=ос)! —, осью ОХ и прямыми х= ~а. 1688. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси ОХ кривой у=з)пзх в промежутке от х=О до х=п. 1689. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной полукубической параболой у'=х', осью ОХ и прямой х=-1, вокруг оси ОХ.
1896. Найти объем тела, образованного вращением той же фигуры, что в задаче 1689, вокруг оси ОУ. 1691. Найти объемы тел, образуемых вращением фигуры, ограниченной линиями у=с, х=0, у=0, вокруг: а) оси ОХ и б) оси О)'. 1692. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ог' той части параболы у'=4ах, которая отсекается прямой х=а. ОБЪЕМЫ ТЕЛ 161 1693. Найти объем тела, образованного вращением вокруг прямой х=а той части параболы у« =4ах, которая этой прямой отсекается. 1694.
Найти объем тела, образованного вращением вокруг прямой у= — р фигуры, ограниченной параболой у«=2рх и прямой х = — . Р 2 1695, Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ области, содержащейся между параболами у=х' и у =)Гх. 1696. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ петли кривой (х — 4а] у'= ах(х — За) (а >О). 1697. Найти объем тела, производимого вращением циссоиды хе э«= — вокруг ее асимптоты х=2а. 2а — х 1698. Найти объем параболоида вращения, радиус основания которого Я, а высота О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
