demidovich-zad (832426), страница 24
Текст из файла (страница 24)
1760А". Какую работу надо затратить, чтобы тело массы в поднять с поверхности Земли, радиус которой ??, иа высоту 5? Чему равна эта работа, если тело должно быть удалено на бесконечность? 1761"А. Два электрических заряда е,=100 СЗЗЕ н е,=200СЖЕ находятся на оси ОХ соответственно в точках х, = 0 и х, = 1 см. Какая работа будет произведена, если второй заряд переместится в точку х,=10 см? 1762". Цилиндр с подвижным поршнем диаметра Р=20 см и длины 1=80 см заполнен паром при давлении р=10 ЕГ(см .
Какую работу надо затратить, чтобы при неизменной температуре (иэопирмический процесс) объем пара уменьшить в два раза? 1763*А. Определить работу, произведенную при адиабатическом расширении воздуха, имеющего начальные объем Р,=-1 м' и давление р,=! косм', до объема 1~,=10 м'? $ ии пРилОжениЯ интеГРАлОВ к Решению Физических ВАдАч 173 1764"*. Вертикальный вал веса Р и радиуса а опирается на подпятник АВ (рис. 62). Сила трения между небольшой частью а основания вала и прилегающей к ней поверхностью опоры равна Р=ррп, где р =сонэ( есть давление вала на поверхность опоры, отнесенное к единице площади опоры, а р — коэффициент трения. Найти работу силы трения при одном обороте вала.
1765"*. Вычислить кинетическую энергию диска массы М и радиуса 71, вращающегося с угловой скоростью ГА около оси, проходящей через центр диска перпендику- я лярно к его плоскости. 1766. Вычислить кинетическую энергию прямого круглого конуса массы М, вращающегося с угловой скоростью ш около своей оси, если радиус основания конуса )с', а высота Н. 1767*.
Какую работу надо затратить, чтобы остановить железный шар радиуса )с= 2 м, вращающийся с угловой скоростью ш=!000 Об~мин вокруг своего диаметра? (Удельный вес железа 7=7,8 Г~сн .) рес. 69. 1768. Вертикальный треугольник с основанием Ь и высотой Ь погружен в воду вершиной вниз так, что его основание находится на поверхности воды. Найти силу давления воды. 1769.
Вертикальная плотина имеет форму трапеции. Вычислить силу давления воды на всю плотину, если известно, что верхнее основание плотины а = 70 ж, нижнее основание Ь = 50 м, а высота плотины 6=20 м. 1770. Найти силу давления жидкости, удельный вес которой 7, на вертикальный эллипс с осями 2а и 2Ь, центр которого погружен в жидкость на уровень Ь, причем большая ось 2а эллипса параллельна уровню жидкости (Ь) Ь).
!771. Найти силу давления воды на вертикальный круговой конус с радиусом основания )г н высотой Н, погруженный в воду вершиной вниз так, что его основание находится иа поверхности воды. Разные задачи 1772. Найти массу стержня длины 1 = 100 см, если линейная плотность стержня на расстояннн х сн от одного из его концов равна 6 = — (2+0,001 х') —,. 174 1гл. т оповдвленныи интап ал 1773. Согласно эмпирическим данным удельная теплоемкость воды при температуре 1'С (0(1(100') равна с = 0,9983 — 5,184.
10" а 1+ 6,912. 10-з Р. Какое количество тепла нужно затратить, чтобы 1 г воды нагреть от температуры 0'С до температуры 100'СР 1774. Ветер производит равномерное давление р Г(ем' на дверь, ширина которой Ь см и высота Ь см. Найти момент силы давления ветра, стремящейся повернуть дверь на петлях. 1776. С какой силой притяжения действует материальный стержень длины 1 и массы М на материальную точку массы т, находящуюся на одной прямой со стержнем на расстоянии а от одного из его концов? 1776в. При установившемся ламинарном (струйном) течении жидкости .через трубу круглого сечения радиуса а скорость течения о в точке, находящейся на расстоянии г от оси трубы, дается формулой где р — разность давлений жидкости на концах трубы, р — коэффициент вязкости, 1 — длина трубы.
Определить расход жидкости Я, т. е. количество жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы в единицу времени. 1777". Условие то же, что н в задаче 1776, но труба имеет прямоугольное сечение, причем основание а велико по сравнению с высотой 2Ь.
В этом случае скорость течения о в точке М (х, у) определяется формулой Определить расход жидкости 1). 1778*. При изучении динамических свойств автомобиля часто используется построение диаграмм специального вида: на оси абсцисс откладываются скорости о, на осн ординат †величи, обратные соответствующим ускорениям а. Показать, что площадь Я, ограниченная дугой этого графика, двумя ординатами о= ог и о=о, и осью абсцисс, численно равна времени, необходимому для того, чтобы увеличить скорость движения автомобиля от от до о, (время разгона). 1779.
Горизонтальная балка длины 1 находится в равновесии под действием направленной вниз вертикальной нагрузки, равномерно распределенной по длине балки, и опорных реакций А и В (А =В = †), направленных вертикально вверх. Найтп изгибающий момент М„в поперечном сечении х, т. е. момент $!а) пРилОжениЯ интеГРАлОВ к Решению Физических злдлч 175 относительно точки Р с абсциссой х всех сил, действующих на часть балки АР. 1780. Горизонтальная балка длины 1 находится в равновесии под действием опорных реакций А и В и распределенной по длине балки нагрузки с интенсивностью д:=7гх, где х — расстояние от левой опоры и-гг — постоянный коэффициент. Найти изгибающий момент М„в сечении х. П р и и е ч а н и е.
Интенсивностью распределении нагрузки называется нагрузка (сила), отнесенааи к единице длины. !781". Найти количество тепла, выделяемое переменным синусоидальным током г' = г в з! и ! — ! — !р) / за в течение периода Т в проводнике с сопротивлением 1с, Здесь 1, — амплитуда тока, 1 — время, гр — фаза. ГЛАВА )/1 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ $1. Основные понятны 1е.
П о ы я т н е ф у н к ц ы ы н е с к о л ъ к н х и е р е м е я в ы н, О б о. значения фуыкцвй. Переменная велычнна з называется одыоаначыой функцией двух переменных х, у, еслы каждой совокупности нх зыачеыий (х, у) нз данной абластн соответствует едянстзевное определенное значение з. Переменные х, у нвзываются ариулеишали нлн иезааисилмли лереиеиимии, Фуык. цнональная эазвсямость обозначается так: з=/(х, у), нлн а=Р(х, у) ы ж д. Аналогично определшотся функцын трех я большего чнсла аргументов. Пример 1. Ввразыть абьем конуса г' как функцию его абразукицей х ы радиуса аснооакня у, Решен яе. Из геометрнн ненастно, что объем конуса равен 1 г = — пуаЬ.
3 где Ь вЂ” высота конуса. Но Ь= Ух~ — уз. Следовательно, 1 г' = - пуз У хз — уе. 3 Эта н есть нскомая фунхцнанальнак зависимость, Значенне функция г=/(х, у) в точке Р (а, Ь), т.е. прн х=а я у=Ь, абоаначается /(а, Ь) ялн /(Р). Геаметрнческнм наображением функцнн з =/(х, у) в прямоугольной системе координат Х, )', Я, воабше говоря, является ыекоторая поверхность (рыс. 33).
Пример 2. Найти /(2, — 3) н /(1, — "), если х'+ уе /(х, у)= —. 2ху Решенне. Подставляя х=2 н у= — 3, ыахаднн: 2е+( — 3)з 13 /(2, — 3)= 277 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Подставляя х= ! и заменяя р на —, будем иметь у х' у 3 х т. е. ) ( 1, — у! =) (х, у).
у '! 2'. Область существования функции. Под облааиью суще»шве»анил (определения) функции а=)(х, р) понимается совокупность точек (х, у) плоскости ХОУ, в которых данная функция определена (т. е. принимает определенные действительные значения). В простейших случаях область существования функции представляет собой конечную или бесконечную часть координ»тиой л ЩД плоскости ХОг', ограниченную одной или несколькими кривыми (граница об»асжи). Аналогично для функции трек переменныв и = )(х, у, г) областью существования функции служит некоторое тело в пространстве ОХг'2.
Пример 3. Найти область существования функции 1 а= у' 4 — ха — ра Р е ш е и и е. Функция имеет действнтельнме значения, если 4 — х' — уе > 0 нли хе+у» < 4. Последнему неравенству удовлетворяют коор- Рис. бй. динаты точек, лежащих внутри окружности радиуса 2 с центром в начале координат. Область существования функции есть »аутревпость »того круга (рнс. б4).
Рис. 64. Рис. 65. П ример 4. Найти область существования функции х а =агсаш — + )/хр. 2 Решение. Первое слагаемое функции определено прн — 1 ~ — »- ! илн х 2 -2~х~2. Второе слагаемое имеет действительные значения, если ху)0, 178 функции нвскольких пирзмцнных (гл. у! (х)0, (х~О, т. е. в двух случаях: при с ' или при с '. Область существования (у)0 )увсО ' всей ~ункцни изображена йа ряс. 66 и включает границы области. 3.
Линии и поверхности уровня функции. Линией уровня функции х=Г(х, у) называется такая линия Г(х, у)=С на плоскости ХО)', в точках которой функция принимает одно и то же значение а = С (обычно проставляемое на чертеже в виде отметки), Ловврхностью уровня функпли трех аргументов и=у(х, у, а) называется такая поверхность )(х, у, а) = — С„в точках которой функция принимает постоянное значение и=С. П р и м е р Ь, Построить линии уровня функции в=азу. Решение. Уравнение линий урания имеет С внд хау=С или у= —, Полагая С=О, ш), хз ' ~2, ..., получим семейство линий уровня (рис.
66). 1782. Выразить объем )г правильной четырехугольной пирамиды как функцию ее высоты х и бокового ребра у. 1783. Выразить площадь Я боковой поверхности правильной шестиугольной усеченной пирамиды как функцию сторон х и у оснований и высоты з. 1784, Найти ~( —, З~, у(1, — 1), если 1(х, у) ху+ 1785. Найти 1(у, х), 1( — х, — у), ~~ —, — ), —, если /! )1 ! ( х ' у ) ' ! (х, у) ' ~(х, у) = —. 1788. Найти значевия, принимаемые функцией )(х, у) =1+х — у в точках параболы у=ха, и построить график функции г" (х) =7'(х, х'). 1787.
Найти значение функции ! — хз — ул в точках окружности х'+у'= яа. основныв понятия 179 1788*. Определить «(х], если «Я= —" (ху)0). 1789*а. Найти «(х, у), если «(х+у, х — у)=ху+ух. 1790+. Пусть г=Уу+«О/х — 1). Определить функции «и г, если г=х при у=1. 1791*". Пусть а=х«!» 11. Определить функции «и г, если ~х' г=~~Т+у' при х=1. 1792. Найти и изобразить области существования следующих функций: а) г=)'1 — х' — у', и) г:=3~ уз!их; б) а=1+)/ — (х — у)', к) г =!п(х'+у); в) г=!п(х+у); л) г==агс1а!". „",,; г) г=х+агссозу; 1 д) г=3/1 — х'4+$' ! — у*; н) г= У» — 1" х ' е) г=агсз!и-; » о) г:= — + —; ! х Х вЂ” »» ж) г=»'х* — $+$' 4 — у'; и) г =)' з!п(х'+у').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
