demidovich-zad (832426), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Направление градиента функции в данной точке есть ыаправление наибольшей скорости возрастания функции в этой точке, дг т. е. при 1=асада производная — принимает ыаибольшее значение, равное д1 з т! производные н диооврсг!пиалы высших порядков 193 1881. Найти производную функции и = )п (е«+ет+е') в начале координат в направлении, образующем с осями координат ОХ, О)', ОЕ углы, соответственно, а, р, у. 1882. Точка, в которой производная функции в любом направлении равна нулю, называется стационарной точкой этой функции.
Найти стационарные точки следующих функций: а) г=х*+ху+у' — 4х — 2у; б) г=х'+у' — Зху; в) и = 2у'+ г' — ху — уг+ 2х. уз 1883. Показать, что производная функции г = —, взятая х в любой точке эллипса 2х'+у' = Сз вдоль нормали и эллипсу, равна нулю. 1884. Найти йгаб г в точие (2; )), если г = х'+ у' — Зху.
1885, Найти йгаб г в точке (5;:!), если г = )«х' — у'. 1886. Найти йгаб и в точке (1; 2; 3), если и=хуг. 1887. Найти величину и направление нгаб и в точке (2; — 2, "1), если и=х'+у'+г'. 1888. Найти угол между градиентами функции г = 1п — в точу х нах А ( —; — ) и В (1; 1). 1889. Найти величину наибольшего подъема поверхности г = х'+ 4у' в точке (2; 1; 8). 1890.
Построить векторное поле градиента следующих функций: а) г=х+у; в) г=х'+у', б) г = ху; г) и = ! р«х ту +г 9 7. Производные н двфференциалы высших порядков !'. Частные производные высших порядков. Часшнымн проазеодпыми второго порядка функннн г==((х, у! называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Для производных второго порядка употребляются обозначення д /дгт д'г — — — ( у); дх (,дх) дха д ('дг) д'г ду !,дх~ дх ду «з — = — =/ (х, у) н т.
д 7 под вод. Б. П. денхдоввча 194 ЮУНКНИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1гл. ч! х г= агс12— у Решен не. Найдем сначала частные производные первого порядка: дг ! 1 у у ха+уз' дх хв уз ду + х' уз хз+ уз Теперь днфференцнруем вторнчно: двг д у у ~ !.(хз+.ув) — 2у.у ха втуз дх ду ду (хв-)- ув) (х'-)- ув)з (х'-(- у')в ' Заметны, что так называемую всмешаннуюз частную пронэводаую можно нззтн н иначе, а ниенна: дзг дзг д х ) 1 (ха+уз) — 2х х хз — у' дх ду ду дх дх ( ха+уз (к" +у')г (х'+у")з 2'. Д н ф ф е р е н ц н а л ы в ы с ш н х и о р я д к о в.
Лиффврвнциалом второго порядка функции г=! (х, у) назызаетсн дифференциал от днфференцнала (первого порядка) этой функции двг = д (дг)', Аналогично определяются дифференциалы функции а порядка выше второго, например: бэг = д (дзг) н, вообще, длг=д (дв-г г) (л=2,3, ...). Если г=)(х, у), где х н у — неззвнснмые переменные н функцня ! имеет Непрерывные частные пронэводные второго порядка, то дифференциал 2-го порядка функцнн г вычнсляется по формуле двг двг дзг ачг = — дхз + 2 — дх ду+ — дув. дхв дх ду ду' (1) Аналогнчно определяются н обозначаютск частные производные порядка выше второго. Если частные пронэводные, подлежашне вычислению, непрерывны, то результат многократного даффврвкцировакия кв зависит от порядка даффв.
рвкцировакил. П р имер 1. Найти частные производные второго порядка от функцнн 4 т) производиыи и диеэврвииидлы высших порядков 195 Вообще, прп наличии соответствующих производных справедлива символиче ская формула д дта йлг — (йх +йу а дх ду) Если к и у — независимые переменные, то )ах=о, йзу=о и формула (2) становится тождестнеиной формуле (!). П р имер 2. Найти полные дифференциалы (-го и 2-го порядков функции г = 2хз — Зху — уз, Решение. 1-й способ. Имеем: дг дг дх ' ду — =4х — Зу, — = — Зх — 2у. Поэтому йг = — йх+ — йу = (4х — Зу) йх — (ах+ 2у) йу.
дг дг дх ду Далее д'г — 2, дуз дтг дзг — =4 — = !3 дкз ' дх ду откуда следует, что дзг д'г д'г йзг = — йха+ 2 — йх йу+ — йуз = 4 йх" — 6 йх йу — 2 йуз, дхз дх ду дуз 2-й с п о с о б. Дифференцированием находим: йг = 4х йх — 3 (у йх+ х йу) — 2у йу == (4х — Зу) йх — (Зк+ 2у) йу, Дифференцируя еще раз и помня, что йк н йуне зависят от х и у, получям! йзг=(4йх — Зйу) йх — (Зйх+ййу) йу=чйхз — бйхйу — 2йуз д'г даг дзг 1891, Найти —, —, —, если дха' дхду' дуз ' а =с 1уг — + —, / ха аз Ьа даг дзг д'г 1892, Найти — — — если дхз' дхду' дуз ' г = 1и (х'+ у). дзг 1893, Найти — „, если г = 1/ 2ху ! уа. которая формально развертывается по бинэмиальному закону. Если г=-г(х, у), где аргументы х и у суть функции одного илн несколь ких независимых переменных. то д'г , дзг д г , дг , дг йзг= — йхт+2 — йкйу+ —,йу + — й к+ — й у.
дха дх ду д'у дх ду (21 вункции нескольких пеуеменных 1гл. ю' 1894, Найти д кд если дгг г= агс1и — . к+у 1 — ку ' 1898. Найти —,, если дгг г =)Гхг+у*+г'. 1896. Найти все частные производные 2-го порядка функции и =ху+у2+гх. 189?.
Найти —, если дгк дкдудг ' и = хгуегт. 1898 Найти дкд " если дгг 2 = з|п (ху). 1899. Найти ~"„(О, О), 7,г(0, 0)„1гг(0, 0), если г (х у) (| +х)т(|+у)г д'г дгг 1900. Показать, что — = —, если дкду дудк ' Гк — у г = агсз|п ге к дгг дгг 1901. Показать, что — = — „если дхду дудк" г=хг.
1902*. Показать, что для функции к'- уг 1(х, у) =ху — „, е добавочным условием 1(0, 0) =0 имеем )гг(0, 0) = — |, )"„',(О, 0) =+1. дгг дгг дгг 1903. Найти — — —, если дкг ' дкду ' дуг ' 2=1(и, о), где и=х'+у', о=ху. дги 1904. Найти дз, если дк ' и =1(х, у, г), где г ~р (х, у). г 7( пРОизВОдные и диФФеРенциАлы Высших погядков 197 дгх дгх дгх 1905. Найти —, —, —, если дх* ' дхду ' дуг ' х=)(и, и), где и=(р(х, у), о=ф(х, у). 1906.
Показать, что функция и = агс(д— у х удовлетворяет уравнению Лапласа дги д'и — + — =О. дхг дуг 1907. Показать, что функция 1 и =(и —, Ю где г = у (х — а)'+(у — Ь)г, удовлетворяет уравнению Лапласа д'и д'и — + — =О. дхг дуг 1908. Показать, что функция и (х, 1) = А гйп (аМ + (р) з(п )(х удовлетворяет уравнению колебаний струны д'и д" и а; ах 1909.
Показать, что функция (г-кд*+(Р-у,(гг(г-г„(г и(х, у, х,1) =,е (зд у ()г (х„у„х„а — постоянные) удовлетворяет уравнению теплопро- Водности 1910. Показать, что функция и = (р (х — а1) + ()( (х+ а1), где Ч( и (р — произвольные дважды дифференцируемые функции, удовлетворяет уравнению колебаний струны дги дги аг д(г дхг ' 199 1гл. Уг 4УНКЦИИ НЕСКОЛЪКНХ ПЕРЕМЕННЫХ 1911. Показать, что функция г = х<р.( ~ ) + ф ( — ") удовлетворяет уравнению дгг д'г д'г х' — + 2ху — +у' — = О. дхг дх ду дуг 1912.
Показать, что функция и = ср (ху) + 1Г ху ф ( р ) удовлетворяет уравнению д'и даи х' — у' — = О. дхг дрх 1913, Показать, что функция г=Цх+~р(уЦ удовлетворяет уравнению дг дгг дг дгг дк дх др др дх' ' 1914. Найти ие а(х, у), если дги — =О. дк ду 1915.
Определить внд функции и=и(х, у), удовлетворяющей уравнению —,— О. 1916. Найти г(гг, если г — гхг. 1917. Найти Иги, если и =хуг. 1918. Найти Уг, если г=~р(1), где 1=х'+уг. 1919. Найти г(г и г('г, если к г=и', где и= —, о=ху. 1920. Найти г(гг, если г=((и, з), где и=ах, и=йу.
интнгРНРОВАнне полнъ|х диФФепннциалов 199 з а! 1921. Найти г(эг, если г=)(и, и), где и==хат, о=ус', 1922. Найти йтг, если г=е»сазу. 1923. Найти дифференциал 3-го порядка функции г=хсозу+уз!пх, определить все частные производные 3-го порядка. !924. Найти г(~(1, 2) и г(э~(1, 2), если ~(х, у) =х'+ху+у' — 41пх — 10!ну. 1925. Найти с(з)(0, О, О), если у(х, у, г) =х'+2у'+Зг' — 2ху+4хг+2уг. $8. Интегрирование полных дифференциалов !'.
У слов не полного диф фере н цикла. Для того чтобы выражеиве Р(х, у) да+с)(х, у) лу, где функции Р (х, у) и Я(х, у) непрерывны в одиосвязвой области 0 вместе со своими частными производными первого порядка, представляло собой в области Г) полный дифференциал некоторой функции и(х, у), необходимо н достаточно выполнение условия дй др дх ду Пример !. Убедиться в том, чта выражение (2х+ у) дх+ (х+ 2у) г(у есть полный дифференциал некоторой функции, и найти зту функцию. Решен и е. В данном случае Р=2х+у, Я=х+2у, Поэтому дЯ дР— = — =! н, следовательно, дх ду ди ди (2»+у) дх+(х+2у) ду =ли= — г(х+ — ду, дх ду где и †иском фувкция.
ди По условию — =2х+у, следовательно, ду и= ) (2х+у) да=ха+ху+ р (у), ди где <р(у) — произвольная функция от у. Но, с другой стороны, у =х+ф'(у)=х+2у, откуда ~р'(у)=2у, ф(у) =уз+С и и=-ха+»у+уз+С. Окончательно, ' (2»+у) их+(»+2у) ду .д(хв 1 ху 1 уз+0). 1гл. и! ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕЫЕИНЫХ 2а. Случай трех переменных. Аналогично выражение Р (х, у, г) ух+Я(х, у, г) бр+Я (х, у, г) дг, где Р (х, у, г), !! (х, у, г), )!(х, у, г) — непрерывные, вместе со свонмп частиымн производными 1.го порядка, функции переменных х, у и г, тогда н только тогда представляет собой полный дифференциал некоторой функции и(х, у, г) в пространственно односвкзной области О, когда в 0 выполнены условие аЕ дР дй дЕ ЗР д!! дх ду ' ду дг ' дг дх Пример 2. Убедиться в том, что выражение (Зх'+Зу — 1)дх+(га+Зх) ду+(2уг+1) дг есть полный дифференциал некоторой функции, и найти эту функцию. Решение Здесь Р=Зхз+Зу — 1, !с=ге+За, Я=2уг+1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
