demidovich-zad (832426), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Здесь приходится вводить в функцию Лагранжа столько неопределенных множителей, сколько имеется уравнений связи. Пример 2. Найти экстремумы функции »=6 — 4х — Зу экстиимумы Функции ннскольцих нивименныи 221 при условии, что переменные х и у удовлетворяют уравнению хй ! уй Р е шеи не. Геометрически задача сводится к нахождению наибольшега н наименьшего значений апплнкагы г плоскости а=6 — 4к — Зу для точек пере сечения ее с цилиндром хе+уй=- !. Составляем функцию Лагранжа у (х, у) = 6 — 4х — Зу+ Л (кй + уй — !) . дг" . дг" Имеем — = — 4+2йх, — =-3+2Лу. Необходимые условии дают систему дх ' ду уравнений 3 уй= 5 4 к,= —, 5 ' Лй — — — —, 2 ' 4 3 х = — —, у й й 5 ' 5 Так как —,=-2Л, — =О, — — 2Л, ййЕ дйу д~Е дхй ' дх ду ' дуй дйр=йд (ййхй ! дуй).
5 4 3 Если Л=- —, к= — н у=- —, то й(йг" > О, и, следовательно, в этой точке 2' 5 5' 5 4 3 фу г цнй имеет условный минимум. Если Л=- — —, х= — — и у= — —, то 2' 5 5' дйу < О, н, следовательно, в этой точке функция имеет условный максимум. Таким образом, 16 9 гтйй — 6+ + — !!й 5 5 !6 9 гю!й= 6 — — — — =1. 5 5 6'. Наибольшее и наименьшее значения функции. Функция, днфференцируемаи в ограниченной замкнутой области, достигает своего наибольшего (иаименьшего) значения или а стационарной точке или в точке границы области.
Пр имер 3. Определить наибольшее н наименьшее значении функции г = хе+уй — ху й- к+у в области х~б, у~О, к+у~ — 3. решйя которую, найдем; 5 Л = —, 1— г' — 4+2Лх=й, — 3+2Лу=о, хе+у'=- 1, 222 (гл. Уг ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Р е ш е н и е. Укааанная область есть треугольник (рис. 70). 1) Найдем стационарные точки: гк=2х — у+1=О, аа = 2у — х+ 1 = 01 отсюда х= — 1, у= — 1; получаем точку М ( — 1; — 1). и точке М эыачеыие функции хм= †.
Исследование ва вкстремум— не обязательно. 2) Исследуем функцию на границах области. Прн х=О имеем а=у'+у, и аадача сводится к отысканию наибольшего и нанмеыьшего значений этой фуыкции одного аргумента на отрезке — ЗеК ш;уш О. Проведя исследование, найдем, что у (ааааа)к=в=6 в точке (01 3)1 (ааааа)к=а= 1 У 1Х вЂ” — в точке ~0; — — ~, 4 Х При у=О йолучаем к=ха+к. Аналогично найдем, что (х„„а)в е — — 6 в точке ( — 3; 0); (ааа н) =е= — — в точке ~ — — , "0) 4 Прн х+у= — 3 или у= — 3 — х будем ыметь я=Зх'+Ок+6. Аыалогнчным образом найдем, 3 У 3 31 что (ааа и)к+а=-а= — вточке а 2' 2)' (ааааа)а+к= -а = 6 совпадает с (ааааа)а-а и Рис.
70. (хаааа)и=а Йа прямой к+у= — 3 можно было бы исследовать функцию на условный экстремум, не приводя к функции одного аргумента. 3) Сопоставляя все полученные значения функции г, заключаем, что ~вава=6 в точках (О, — 3) и ( — 3; 0); к„, „= — 1 в стационарной точке М. Исследовать на экстремум следующие функции двух переменных: 2008. г = (х — 1)'+ 2у'. 2009. г = (х — 1)' — 2у'. 2010. г=х'+ху+у' — 2х — у. 2011. г=х'у'(6 — х — у) (х > О„у > О). 2012.
г = х'+ у' — 2х'+ 4ху — 2у'. х' уа 2013. г=ху 1 — х — уу. 2014. г = 1 — (ха+ уа) ни 20! 5. г = (х'+ у') е- м'+ и'1. 2018. г=. + р'~+ка+ у~ ' 2010.1. г = — + — + у (х > О, у > О) х у 2018.2. г=е" Я(х* — 2у'). Найти экстремумы функций трех переменных: 2017. и=ха+у*+г' — ху+х — 2г. 2018. и = х+ — "+ — *+ — (х > О, у > О, г > О).
4х у а $ !4! ОтыскАние ИАииОлъших и наименьших знАчений 223 Найти экстремумы функций г, заданных неявно: 2019*. х'+д'+г' — 2х+ 4д — бг — 1! = О. 2020. х' — д* —.Зх+4д+г*+ г — 8 = О. Определить условные экстремумы функций: 2021. г=хд прн х+д= 1. 2022.
г=х+2д при х'+д'= 5. 2023. г=х'+д' при -+ — У=1. 2 3 2024. г = созх х+ созх д при д — х =- — . 2023. и = х — 2д+ 2г при х*+ д'+ г* = 9- хх у' х' 2026. и=х'+д'+г' при —,+ —,+-;=1 (а> О >с)О) ох Ох с' 2027. и=хд'г' при х+д+.г=12 (х) О, д) О, г) О). 2028. и=хдг при условиях: х+д+г=5, хд+дг+гх=8. 2029. Доказать неравенство 1-у-)- ~ з, -„— „ если х =О, д -О, г О.
Указание. Искать максимум функции и=хух при условии х+у+ + 1=5. 2030. Определить наибольшее значение функции г= 1+х+2д в областях: а) х>О, д)~О, х+д<1; б) хЪО, д<О, х — д 1. 2031. Определить наибольшие н наименьшие значения функций а) г=х'д и б) г=х' — д' в области х*-(-д' 1, 2032. Определить наибольшее и наименьшее значения функции г=з)пх+з1пд+з(п(х+д) в области О(х( —, О =д~ —. 2033. Определить наибольшее и наименьшее значения функции г= х"+д' — Зхд в области О =.х '2, — 1 (д .2. 9 14.
Задачи на отыскание наибольших и наименьшии значений функций Пример !. Положительное число а требуется разбить на три неотри. цатсльиых слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим. Р е ш е н и е. Пусть искомые слагаемые будут х, у, а — х — у. Ищеы максимум функции 1(х, у) =ху (а — х — у). По смыслу задачи функция 1(х, у) рассматривается внутри замкнутого треугольника хта О, у)О, х+учпа (рис. 7!).
Решая систему 1' (х, у) ми у (а — 2х — у) =О, д (х, у) чих(а — х — ху) =О, а ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ <гл. и< иолучнм для внутренности треугольника единственную стационарную точку ( )- л а~ — — Лля нее вроверяем выполнение достаточных условий. Имеем 3'3! г" (х, у) — 2у, )" (х, у)=а — зх — 2у,/„" (х, у)= = — Эх. Следовательно, (а а< 2 А=)х~ —, — ~= — — а, (3' 3) з /а а< < в=),„~~ —, — )= — —, ~3' 3! 3 /л а< 2 С=гак ~ —, — ~= — — а, ~3'3~ 3 ' Ь= АС вЂ” Ва > О, А ( О. (л,<(< Ри .
7<. ис. Итак, в точке < —; — ) функция достигает мак- (3' 3< самума. Так как на койтуре треугольника функция г(х, у)=О, то этот максимум будет наибольшим значением функции, т. е. а вронэведенне будет наибольшим, если а=у=о — х — у = —, црнчем наибольшее Э' ла вначенне пронэаедення равно — . 27' Примечание. Задачу можно было решать методом условного вкстремума, отыскивая максимум функции и=хуа цри условии а+у+а=л.
2034. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данный объем тг, найти тот, полная поверхность которого наименьшая. 2033. При каких размерах открытая прямоугольная ванна данной вместимости )г имеет наименьшую поверхность? 2036. Из всех треугольников данного периметра 2р найти тот, который имеет наибольшую площадь. 2037. Найти прямоугольный параллелепипед с данной площадью поверхности 8, имеющий наибольший объем. 2038. Представить положительное число а в виде произведения четырех положительных сомножителей так, чтобы их сумма была наименьшей.
2039. На плоскости ХО)' найти точку М(х, у), сумма квадратов расстояний которой от трех прямых Х=О, у=О, х — у+ +1=0 была бы наименьшей. 2040. Найти треугольник данного периметра 2р, который при вращении около одной из своих сторон образует тело наибольшего объема. 2041. На плоскости даны три материальные точки Р,(хт, у,), Р,(х„у,), Ра(х„уа) с массами л<„т„л<а. При каком положении точки Р(х, у) квадратичный момент (момент инерции) данной системы точек относительно точки Р (т. е.
сумма т,Р,Ра+ + т,РаР'+таР,Ра) будет наименьшим? ОТЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ 225 $ !е! 2042. Через точку М(а, Ь, с) провести плоскость, образующую с плоскостями координат тетраэдр наименьшего объема. 2043. В эллипсоид вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема. 2044. Определить наружные размеры открытого прямоугольного ящика с заданной толщиной стенок 6 и емкостью (внутренней) У так, чтобы на его изготовление было затрачено наименьшее количество материала. 2045. В какой точке эллипса д цв — + —,=1 дв Ав касательная к нему образует с осями координат треугольник наименьшей плошади? 2046".
Найти оси эллипса 5хе-, '8ху-, '5уе =-9. 2047. В данный шар вписать иилнндр с наибольшей полной поверхностью. 2048. Русла двух рек (в пределах некоторой области) приближенно представляют параболу у = х' и прямую х — у — 2 = — О. Требуется соединить данные реки прямолинейным каналом наименьшей длины. Через какие точки его провести? 2049.
Найти кратчайшее расстояние от точки М (1, 2, 3) до прямой х у д ! — 3 3 2050*. Точки А и В расположены в различных оптичесних средах, отдаленных одна от другой прямой линией (рис. 72). А А ! Рис. 73. ' Рис. 72!. Скорость распространения света в первой среде равна и„во второй — гте Пользуясь епринцнпом Ферма>, согласно которому светоиой луч распространяется вдоль той линии АМВ, для про- а Псд ред Б.П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
